Kern Wiskunde A/C deel 2 - Hoofdstuk 6 - Kansrekening oefentoetsen & antwoorden

Deze bewering is onjuist. Dit noemen we een empirische kans.Deze bewering is juist. De grootst mogelijke uitkomst met twee dobbelstenen is $6+6=12$.Meer dan 9 zijn de uitkomsten 10, 11 en 12.We maken een schema met daarin alle mogelijke uitkomsten en tellen het aantal uitkomsten groter dan 9. We zien dat er 6 uitkomsten zijn met een score hoger dan 9.In totaal zijn er 36 mogelijke uitkomsten.De kans de som van het aantal ogen meer is dan 9 is dan $P\left( \text{som meer dan 9} \right)=\frac{6}{36}\approx 0.167$De grootst mogelijke uitkomst met twee dobbelstenen is $6+6=12$.De priemgetallen kleiner dan 12 zijn 2, 3, 5, 7 en 11.We maken een schema met daarin alle mogelijke uitkomsten:We zien dat we op 15 manieren een priemgetal kunnen gooien.De kans de som van het aantal ogen een priemgetal is dan $P\left( \text{som is priem} \right)=\frac{15}{36}\approx 0.417$ Het aantal mogelijke uitkomsten is ${{2}^{6}}=64$We zijn op zoek naar het aantal gunstige uitkomstenBijvoorbeeld: K M M K M M.Dit kan op $\binom{6}{4}=15$ manieren.De kans op vier keer munt is dan $P\left( 4\text{ keer munt} \right)=\frac{15}{64}\approx 0.234$Het aantal mogelijke uitkomsten is ${{2}^{6}}=64$Vaker munt dan kop, dus de gunstige uitkomsten zijn: 4 keer munt, 5 keer munt en 6 keer munt.Dit kan op $\binom{6}{4}+\binom{6}{5}+\binom{6}{6}=15+6+1=22$ manieren.De kans op meer keren munt dan kop is dan $P\left( \text{meer munt dan kop} \right)=\frac{22}{64}\approx 0.344$Of$P\left( \text{vaker munt dan kop} \right)=P\left( \text{4 keer munt} \right)+P\left( \text{5 keer munt} \right)+P\left( \text{6 keer munt} \right)$$=\frac{\binom{6}{4}}{64}+\frac{\binom{6}{5}}{64}+\frac{\binom{6}{6}}{64}=\frac{15}{64}+\frac{6}{64}+\frac{1}{64}\approx 0.344$Afwisselend kop en munt, dus de gunstige uitkomsten zijn: KMKMKM of MKMKMK$P\left( \text{KMKMKM} \right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{64}$ en $P\left( \text{MKMKMK} \right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{64}$$P\left( \text{KMKMKM} \right)+P\left( \text{MKMKMK} \right)=\frac{1}{64}+\frac{1}{64}\approx 0.031$ Drie paarse knikkers uit 32 paarse knikkers kan op $\binom{32}{3}$ manieren.Drie gele knikkers uit 12 paarse knikkers kan op $\binom{12}{3}$ manieren.Geen groene knikkers kan op $\binom{18}{0}=1$ manier.Zes knikkers uit 62 knikkers kan op $\binom{62}{6}$ manieren.Het aantal gunstige uitkomsten is dan $\binom{32}{3}\cdot\binom{12}{3}\cdot\binom{18}{0}$.Het totale aantal uitkomsten is $\binom{62}{6}$.$P\left ( \text{drie paars en drie geel} \right )=\frac{\binom{32}{3}\cdot\binom{12}{3}\cdot\binom{18}{0}}{\binom{62}{6}}\approx 0.018$ Het is (te) veel werk om de kans op alle mogelijke manieren op minimaal één paarse knikker te berekenen. Het is handiger om de kans op geen enkele paarse knikker te berekenen en dan de complementregel te gebruiken om de kans op minsten één paarse knikker te berekenen.$P\left( \text{minimaal 1 paars} \right)=1-P\left( \text{geen paars} \right)=1-\frac{\binom{30}{6}\cdot\binom{32}{0}}{\binom{62}{6}}\approx 0.990$  Vier paarse knikkers uit 32 paarse knikkers kan op $\binom{32}{4}$ manieren.Vier paarse knikkers, dus twee knikkers van een andere kleur. We kunnen deze knikkers kiezen uit 12 gele en 18 groene knikkers, dus in totaal 30 knikkers.Dit kan op $\binom{30}{2}$ manieren.$P\left ( \text{vier paars} \right )=\frac{\binom{32}{4}\cdot\binom{30}{2}}{\binom{62}{6}}\approx 0.254$ Er is maar één vaas met rode knikkers. De groene knikker moet dus uit de vaas komen met 18 groene knikkers.$P\left( \text{1 groene en 1 rode} \right)=P\left( \text{gr} \right)=\frac{18}{62}\cdot \frac{6}{14}\approx 0.124$ $P \left( \text{een 4} \right)= P \left( 4 \not{4} \not{4} \right) + P \left( \not{4} 4 \not{4} \right) + P \left( \not{4}\not{4}4 \right)$ $P\left( \text{ } \! \! \acute{\mathrm{e}} \! \! \text{} \! \! \acute{\mathrm{e}} \! \! \text{ n 4} \right)=\frac{1}{4}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{9}{10}+\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{9}{10}+\frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{10}=0.3625$  $P\left( \text{twee keer 3} \right)=P\left( 33\not{3} \right)+P\left( 3\not{3}3 \right)+P\left( \not{3}33 \right)$ $P\left( \text{twee keer 3} \right)=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{9}{10}+\frac{1}{4}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{10}+\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{10}\approx 0.071$  Eerst de verschillende mogelijkheden systematisch noteren:4.6.8 – 4.5.9 – 4.4.10 3.6.9 – 3.5.102.6.10De kans op elk van de zes uitkomsten is $\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{10}$$P\left( \text{18 ogen} \right)=6\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{10}=0.025$ We kijken in de rij van de 16-jarigen en we zien dat 21 leerlingen een leeftijd hebben van 16 jaar.Het totale aantal leerlingen is 81.$P\left( \text{16 jaar} \right)=\frac{21}{81}\approx 0.259$We weten al dat de leerling niet in H4A zit. We delen straks niet door de totale frequentie van 81 leerlingen, want we zoeken leerlingen uit een beperkte groep. Namelijk de leerlingen in H4B en H4C.In de klassen H4B en H4C zitten samen $29+25=54$leerlingen.Van deze 54 leerlingen hebben $14+9=23$ een leeftijd van 15 jaar.$P\left( \text{15 jaar}|\text{uit H4B/C} \right)=\frac{23}{54}\approx 0.426$Deze opgave lijkt veel op de vorige, maar is net even anders. Bij de vorige opgave hebben we alleen gekeken naar de 54 leerlingen uit H4B en H4C, want we kijken naar de leerlingen die niet in H4A zitten. In deze opgave gaat het niet om een beperkte groep maar om alle leerlingen met als eis dat ze in H4B of H4C (want niet in H4A) zitten én de eis dat ze 15 jaar oud zijn.In de tabel zien we dat $14+9=23$ leerlingen aan deze twee eisen voldoen.$P\left( \text{Uit H4B/C en 15 jaar} \right)=\frac{23}{81}\approx 0.284$ Ook ditmaal hebben we te maken met een beperkte groep. We moeten kiezen uit de groep die jonger is dan 17 jaar. Oftewel, de 15- en 16-jarigen.Dit zijn in totaal $35+21=56$ leerlingen.We willen nu de kans berekenen dat een leerling uit deze groep in klas H4C zit.In de tabel zien we dat $9+8=17$ leerlingen in klas H4C 15 of 16 jaar zijn.$P\left( \text{in H4C}|\text{15/16 jaar} \right)=\frac{17}{56}\approx 0.304$ Het toernooi kan twee of drie wedstrijden duren, want dan moet één van de twee zussen twee keer gewonnen hebben. $V$ kan dus de waarden 2 en 3 aannemen. Wanneer het toernooi twee wedstrijden duurt, heeft Amalia OF Alexia twee keer een wedstrijd gewonnen:  $P(V=2)=P\left( \text{Amalia wint 2 keer} \right)+P\left( \text{Alexia wint 2 keer} \right)={{0.47}^{2}}+{{0.53}^{2}}=0.\text{502}$De (enige) andere mogelijk is dat het toernooi drie wedstrijden duurt.Dit kunnen we snel berekenen met $P(V=3)=1-P(V=2)=1-0.502\approx 0.498$De kansverdeling is: 3 van de 20 kan op $\binom{20}{3}=1140$ manierenElke manier heeft een kans van ${{0.3}^{3}}\cdot {{0.7}^{17}}$Dus $P(\text{3 met bijwerkingen})={\binom{20}{3}\cdot 0.3^3\cdot} 0.7^{17}\approx 0.072$ Minder dan 4, dus 0. 1, 2 of 3 personen.$P(\text{0 met uitwerkingen})={{0.7}^{20}}$$P(\text{1 met bijwerkingen})={\binom{20}{1}\cdot 0.3^1\cdot} 0.7^{19}$$P(\text{2 met bijwerkingen})={\binom{20}{2}\cdot 0.3^2\cdot} 0.7^{18}$$P(\text{3 met bijwerkingen})={\binom{20}{3}\cdot 0.3^3\cdot} 0.7^{17}$$P(\text{minder dan 4})=0.7^{20}\cdot{\binom{20}{1}\cdot 0.3^1\cdot} 0.7^{19}\cdot{\binom{20}{2}\cdot 0.3^2\cdot} 0.7^{18}\cdot{\binom{20}{3}\cdot 0.3^3\cdot} 0.7^{17}\approx 0.170$ Het is te veel werk om de kans op alle mogelijke prijscombinaties te berekenen. Het is handiger om de kans op geen enkele prijs te berekenen en dan de complementregel te gebruiken om de kans op minsten één prijs te berekenen.Let op! De enveloppen worden niet teruggelegd, de noemer wordt dus steeds één kleiner.De kans op geen prijs is:$P\left( \text{geen prijs} \right)=\frac{47}{50}\cdot \frac{46}{49}\cdot \frac{45}{48}=0.8272\cdots $Nu de complementregel gebruiken geeft:$P\left( \text{minstens  }\!\!\acute{\mathrm{e}}\!\!\text{  }\!\!\acute{\mathrm{e}}\!\!\text{ n prijs} \right)=1-P\left( \text{geen prijs} \right)=1-0.8272\cdots \approx 0.173$