Overal Natuurkunde 5.1 ed - Hoofdstuk 11 - Zonnestelsel en heelal oefentoetsen & antwoorden

Voor de standaard groot- en eenheden gebruik je BiNaS tabel 4. daarnaast is het handig als de gebruikte grootheden/eenheden en formules makkelijk en snel kunnen vinden in je BiNaS of uit je hoofd leert. Toelichting: het is belangrijk dat je de eenheden van de gebruikte formules kent of uit je hoofd leert zodat je de juiste (SI) eenheden in kan vullen in de formule.Grootheid Symbool grootheid Eenheid Symbool eenheid Gravitatie constanteGNetwon meter kwadraat per kilogram kwadraat$N^2 m^2 kg^{-2}$Omlooptijd TSecondensConstante van Wien$k_w$Meter Kelvinm K De gravitatie constante vinden we in BiNaS tabel 7A, want het is een natuurkundige constante: $G = 6.67384 \times 10^{-11} N^2 m^2 kg^{-2}$Saturnus bevindt zich in het zonnestelsel, dus moet je zoeken in BiNaS tabel 31. Hierin staat dat de baanstraal van Saturnus: $r_{saturnus} = 1.427 \times 10^{12} m$Voor gegevens van de zon moeten we zoeken in BiNaS tabel 32C, hierin staat de massa van de zon: $M_{zon} = 1.9884 * 10^{30} kg$Voor andere eenheden moeten we zoeken in BiNaS tabel 5. Hierin staat de astronomische eenheid: $1 au/AE = 1.49598*10^{11} m$ en lichtjaar: $1 \text{lichtjaar} = 9.461 \times 10^{15} m$. Voor berekening delen we het geheel door het deel: $\frac{9.461 \times 10^{15}}{1.49598*10^{11}} = 63242.8...$ AE’s in 1 lichtjaar of $6.324 \times 10^4$ als er gelet wordt op significantie.Toelichting: het is belangrijk dat je in de BiNaS weet waar je formules kunt vinden. Zodat je niet lang hoeft te zoeken tijdens de toets. Sterrenstelsel - sterrencluster - zonnestelsel - zon - planeet - maan - planetoïde - komeet - meteor.Toelichting: Sterrenstelsels zijn de grootste eenheden in het universum, deze bestaan weer uit sterrenclusters. In sterrenclusters zitten zonnestelsels, zonnestelsels bestaan uit 1 of meerdere zonnen en planeten die daarom heen cirkelen. Om planeten kunnen manen cirkelen. Planetoïden zijn kleine planeten die niet groot genoeg zijn om een planeet te heten, weer kleiner zijn kometen: rotsblokken die door de ruimte vliegen. Als een komeet op een planeet komt dan verliest deze massa omdat hij deels verbrand in de dampkring van de planeet. Als er komeet op een planeet ligt dan noemen we het een meteoor. De formules van de zwaartekracht en gravitatiekracht vinden we in BiNaS tabel 35A3 & 35A5. De afleiding is als volgt: $F_z=F_g$ $\to mg=\frac{GmM}{r^2}$ $\overset{\text{hier strepen we de kleine "m" weg}}{\to} g=\frac{GM}{r^2}$De formules van de middelpuntzoekende kracht en gravitatiekracht vinden we in BiNaS tabel 35A2 & 35A5. De afleiding is als volgt: $F_{mpz}=F_g$ $\to \frac{mv^2}{r}=\frac{GmM}{r^2}$ $\overset{\text{hier strepen we de kleine "m" weg}}{\to} \frac{v^2}{r}=\frac{GM}{r^2}$ $\overset{\text{hier strepen we de "r" weg}}{\to} v^2=\frac{GM}{r}$$\to \sqrt[]{v^2}=\sqrt[]{\frac{GM}{r}}$ $\to v=\sqrt[]{\frac{GM}{r}}$De formules van de middelpuntzoekende kracht, gravitatiekracht en de baansnelheid vinden we in BiNaS tabel 35A2 & 35A5. De afleiding is als volgt: $F_{mpz}=F_g$ $\to \frac{mv^2}{r}=\frac{GmM}{r^2}$ $\overset{\text{hier strepen we de kleine "m" weg}}{\to} \frac{v^2}{r}=\frac{GM}{r^2}$ $\overset{\text{hier strepen we de "r" weg}}{\to} v^2=\frac{GM}{r}$$\overset{v=\frac{2\pi r}{T}}{\to} (v=\frac{2\pi r}{T})^2=\frac{GM}{r}$ $\to \frac{4 \pi ^2r^2}{T^2}=\frac{GM}{r}$ $\overset{\text{links en rechts vermedigvuldigen met "r"}}{\to} \frac{4 \pi ^2r^3}{T^2}=GM$ $\overset{\text{delen door} 4 \pi^2}{\to} \frac{r^3}{T^2}=\frac{GM}{4 \pi ^2}$ $\overset{\text{breuk links en rechts omdraaien}}{\to} \frac{T^2}{r^3}=\frac{4 \pi ^2}{GM}$Toelichting: het afleiden van deze formules moet je zelf kunnen op het examen, let op dat je ook zelf moet inzien naar de vraag wanneer je dit moet doen. We volgen het volgende stappenplan:Gegevens: $r = 10.5 m$$T=3.25 s$Gevraagd: $v=? (m/s)$Formule: $v=\frac{2 \pi r}{T}$Uitwerking: $v=\frac{2 \pi \times 10.5}{3.25}=20.299.. m/s$Conclusie: De baansnelheid van de achtbaan in de looping is $20.29.. m/s$Significantie: Als we moeten letten op significantie dan is het antwoord $v \approx 20 m/s$We volgen het volgende stappenplan:Gegevens: $m=250 g = 0.25 kg$$r=35 cm =0.35 m$$T=0.75 s$Gevraagd: $F_{mpz} =? N$Formule: $F_{mpz} = \frac{mv^2}{r}$ $v=\frac{2 \pi r}{T}$ $\text{ (we kunnen dit afleiden tot 1 formule, dit is optioneel} \to F_{mpz}=\frac{4m \pi^2 r^2}{T^2r} \to F_{mpz}=\frac{4m \pi^2 r}{T^2})$Uitwerking (korte route): $F_{mpz}=\frac{4m \pi^2 r}{T} = \frac{4 \times 0.25\times\pi^2\times0.35}{0.75^2}= 6.141.. N$Uitwerking (lange route): $v=\frac{2 \pi r}{T}=\frac{2\pi \times 0.35}{0.75}=2.93.. m/s$$\to F_{mpz}=\frac{mv^2}{r}=\frac{0.25 \times 2.93..^2}{0.35}= 6.141.. N$Conclusie: De middelpuntzoekende kracht op de steen is $6.141…$ NewtonSignificantie: Als we op significantie moeten letten dan is het antwoord $F_{mpz} \approx 6.14 N$We volgen het volgende stappenplan:Gegevens: $M_{jupiter}=1900 \cdot 10^{24} kg$ (BiNas)$M_{zon} = 1.9884\cdot 10^{30} kg$ (BiNas)$G = 6.67384 10^{-11} N m^2 kg^{-2}$ (BiNas)$r=0.7883\cdot 10^{12} m$ (BiNas) (de straal tussen Jupiter en de Zon is gelijk aan de baanstraal van Jupiter)Gevraagd: $F_g=?N$Formule: $F_g=\frac{GmM}{r^2}$Uitwerking: $F_g=\frac{GM_{jupiter}M_{zon}}{r^2}=\frac{6.67384\cdot 10^{-11} \times 1900\cdot 10^{24} \times 1.9884 \cdot 10^{30}}{(0.7883\cdot 10^{12})^2} = 4.057421..\cdot 10^{23} N$Conclusie: De gravitatiekracht tussen Jupiter en de Zon is dus gelijk aan $4.057421..\cdot 10^{23} N$Significantie: Als we moeten letten op significantie dan is het antwoord $F_g \approx 4.057\cdot 10^{23} N$We volgen het volgende stappenplan:Gegevens: $\lambda_{max} = 200 mm = 200\cdot 10^{-3} m$$k_w=2.8977721\cdot 10^{-3} mK$ (uit BiNas tabel 7A)Gevraagd: $T = ? (K)$Formule:  $\lambda_{max}T=k_w \to T=\frac{\lambda_{max}}{k_w}$Uitwerking: $T=\frac{\lambda_{max}}{k_w}=\frac{200\cdot 10^{-3}}{2.8977721\cdot 10^{-3}}=69.018540..K$Conclusie: De temperatuur van deze planeet is dus $69.018540..K$Significantie: Als we moeten letten op significantie dan is het antwoord $T \approx 69.0 K$ We volgen het volgende stappenplan:Gegevens: $v= 85 \% \, v_{top}$$v_{top}=85 km/h=23.61.. m/s$$\to v=0.85 \times 23.61..=20.069..m/s$ $r=20m$Gevraagd: De omlooptijd van de achtbaan = ?Formule: $v=\frac{2\pi r}{T}\to T=\frac{2\pi r}{v}$Uitwerking: $T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi \times20}{20.069..}=6.626.. s$Significantie: We moeten letten op significantie, het kleinste aantal is hier 2 significante cijfers. Oftewel $T=6.6 s$.Conclusie: De omlooptijd van het karretje in de looping is dus 6.6 seconden.We volgen het volgende stappenplan:Gegevens: $v=85 \% \, v_{top}$$v_{top}=85 km/h=23.61.. m/s$ $\to v=0.85 \times 23.61.. = 20.069.. m/s$ $r=20m$ $m=2000 kg$Gevraagd: Bereken de kracht die de baan moet leveren, oftewel de middelpuntzoekende kracht = ?Formule: $F_{mpz}=\frac{mv^2}{r}$Uitwerking: $F_{mpz}=\frac{mv^2}{r} \to F_{mpz}=\frac{2000 \times (20.069)^2}{20}=4.0278..\cdot 10^4N=40.278.. kN$Significantie: We moeten hier letten op significantie, het keinste aantal is hier 2 significante cijfers. Oftewel: $F_{mpz} \approx 40 kN$Conclusie: De kracht die de baan moet leveren is dus 40 kN. Er zijn verschillende strategieën om deze vraag aan te pakken, hieronder zie je twee uitgewerkte manieren om deze vraag op te lossen:Methode 1: Baansnelheid van de middelpuntzoekende kracht vergelijken met de normaal uitgerekende baansnelheid.Gegevens: $M_{aarde}=5.972\cdot 10^{24} kg$ (BiNaS)$G=6.67384\cdot 10^{-11} N kg^2 m^{-2}$ (BiNaS)$M=3.2 \times 5.972\cdot 10^{24} kg = 1.91104\cdot 10^{25} kg$ $r=R_{Aerion}+h_{geostationair} = 10354\cdot 10^3 +202000\cdot 10^3 = 2.12354\cdot 10^8m$$T = 48 h = 48 \times 60 \times 60 = 172800 s$ Gevraagd: Is dit de geostationaire hoogte? (strategie: reken de baansnelheid vanuit de standaardformule en de afgeleide formule, als dit de geostationaire baan is, dan zullen deze gelijk zijn)Formules: $v=\frac{2 \pi r}{T}$$F_{mpz}=F_g$ $\to \frac{mv^2}{r}=\frac{GmM}{r^2}$ $\overset{\text{hier strepen we de kleine "m" weg}}{\to} \frac{v^2}{r}=\frac{GM}{r^2}$ $\overset{\text{hier strepen we de "r" weg}}{\to} v^2=\frac{GM}{r}$ $\to \sqrt[]{v^2}=\sqrt[]{\frac{GM}{r}}$ $\to v=\sqrt[]{\frac{GM}{r}}$ (deze afleiding moet je elke keer opnieuw maken op je toets/SE/CSE)Uitwerking: $v=\frac{2 \pi r}{T}=\frac{2\pi \times 2.12354\cdot 10^8}{172800}=7.72..\cdot 10^3 m/s$$v=\sqrt[]{\frac{GM}{r}}=\sqrt[]{\frac{6.67384\cdot 10^{-11} \times 1.91104\cdot 10^{26}}{2.12354\cdot 10^8}}=7.749.. \cdot 10^3 m/s$Conclusie: Deze twee getallen zijn niet exact hetzelfde, maar wel bijna het gelijk, de geostationaire baan zal dus wel rond de 202 000 km liggen.Significantie: is niet relevant voor deze vraag.Methode 2: Omlooptijd van deze baan uitrekenen met de wet van Kepler en vergelijken met de omlooptijd van de planeet om zijn eigen as.Gegevens: $M_{aarde}=5.972\cdot 10^{24} kg$ (BiNaS)$G=6.67430\cdot 10^{-11} N kg^2 m^{-2}$ (BiNaS)$M=3.2 \times 5.972\cdot 10^{24} kg = 1.91104\cdot 10^{25} kg$ $r=R_{Aerion}+h_{geostationair} = 10354\cdot 10^3 +202000\cdot 10^3 = 2.12354\cdot 10^8m$$T = 48 h = 48 \times 60 \times 60 = 172800 s$ Gevraagd: Is dit een geostationaire baan? (strategie: we gaan de omlooptijd uitrekenen met de wet van Kepler en deze vergelijken met de omlooptijd van deze planeet (=48 h))Formule: $\frac{T^2}{r^3}=\frac{4 \pi^2}{GM} \to T^2 = \frac{4 \pi^2 r^3}{GM} \to T=\sqrt[]{\frac{4 \pi^2 r^3}{GM}}$Uitwerking: $T=\sqrt[]{\frac{4 \pi^2 r^3}{GM}}=\sqrt[]{\frac{4 \pi^2 (2.12354\cdot 10^8)^3}{6.67430\cdot 10^{-11} \times 1.91104\cdot 10^{25}}} = 5.444.. \cdot 10^5 s =151 h$Conclusie: Dit is niet gelijk aan de 48h die beschreven staat in de opdracht, dus dit is geen geostationaire baan.Significantie: is niet relevant voor deze opdracht.We volgen het volgende plan:Gegevens: $M_{aarde}=5.972\cdot 10^{24} kg$ (BiNaS)$G=6.67384\cdot 10^{-11} N kg^2 m^{-2}$ (BiNaS)$g_{aarde} = 9.81 m s^{-2}$ (BiNaS)$M=3.2 \times 5.972\cdot 10^{24} kg = 1.91104\cdot 10^{25} kg$ $R_{Aerion} = 10354\cdot 10^3 m$Gevraagd: De valversnelling aan het oppervlakte + hoe dit verhoudt tot de valversnelling op aarde.Formule - We moeten eerst de formule van de valversnelling afleiden:$F_z=F_g$ $\to mg=\frac{GmM}{r^2}$ $\overset{\text{hier strepen we de kleine "m" weg}}{\to} g=\frac{GM}{r^2}$Uitwerking: $g_{Aerion}=\frac{GM}{r^2}$$\to g_{Aerion}=\frac{6.67430\cdot 10^{-11} \times 1.91104\cdot 10^{25}}{(10354\cdot 10^3)^2}= 11.89.. ms^{-2}$ $\to \frac{g_{Aerion}}{g_{aarde}} = \frac{11.89}{9.81}=1.21..$Significantie: We moeten afronden op 3 significante cijfers dus: $1.21$Conclusie: De valversnelling aan het oppervlakte van Aerion is $1.21$ keer groter dan de valversnelling aan het oppervlakte van de aarde.We volgen het volgende plan:Gegevens: $T_{aarde,gemiddeld}=295K$ (BiNaS)$k_w = 2.8977721\cdot 10^{-3} mK$ (BiNaS)$T_{Aerion,gemiddeld}=T_{aarde,gemiddeld}=295K$Gevraagd: De maximaal uitgezonden golflengte ($\lambda_{max}$)Formule: $\lambda_{max} \times T =k_w \to \lambda_{max}=\frac{k_w}{T}$Uitwerking: $\lambda_{max}=\frac{k_w}{T}$ $\to \lambda_{max}=\frac{2.89777721\cdot 10^{-3}}{295}=9.8229..\cdot 10^{-6}m (=9.89... \mu m)$Conclusie: De golflengte met de maximale intensiteit van Aerion is $\lambda_{max}=9.8229..\cdot 10^{-6}m (=9.82... \mu m)$Significantie: Er wordt in deze vraag niet gevraagd om te letten op significantie, als dit wel zo zou zijn, dan zouden we moeten afronden op 3 significante cijfers: $\lambda_{max}=9.82\cdot 10^{-6}m (=9.82 \mu m)$Dit is een vraag met meerdere denkstappen om tot het antwoord te komen. We rekenen eerst de baansnelheid van Aerion uit, dan stellen we de middelpuntzoekende kracht en de gravitatie kracht aan elkaar gelijk en lossen we op voor de Massa van de zon. Dan kunnen we de gegevens invullen. We volgen het volgende stappenplan:Gegevens: $1 AE = 1.49598\cdot 10^{11} m$ (BiNaS)$G=6.67384\cdot 10^{-11} N kg^2 m^{-2}$ (BiNaS)$r_{baan}=0.8AE=0.8 \times 1.49598\cdot 10^{11}=1.196..\cdot 10^{11}m$ $T=320 d=2.7648\cdot 10^7 s$Gevraagd: Bereken de massa van de zon van AerionFormules: $v=\frac{2\pi r}{T}$$F_{mpz}=\frac{mv^2}{r}$$F_g=\frac{GmM}{r^2} \to F_{mpz}=F_g$$\to \frac{mv^2}{r}=\frac{GmM}{r^2}$$\overset{\text{hier strepen we de kleine "m" weg}}{\to} \frac{v^2}{r}=\frac{GM}{r^2}$$\overset{\text{hier strepen we de "r" weg}}{\to} v^2=\frac{GM}{r}$ $\overset{\text{Hier lossen we op voor "M"}}{\to} M=\frac{rv^2}{G}$Uitwerking: $v=\frac{2\pi r}{T}$$\to v=\frac{2 \pi \times 1.196\cdot 10^{11}}{2.7648\cdot 10^7}=2.717.. \cdot 10^4 m/s \to M=\frac{rv^2}{G} = \frac{1.196\cdot 10^{11}\cdot(2.717.. \cdot 10^4)^2}{6.67384\cdot 10^{-11}}=1.323..\cdot 10^{30} kg$Conclusie: De massa van de zon waar Aerion omheen cirkelt is $1.323..\cdot 10^{30} kg$.Significantie: Er wordt niet gevraagd om te letten op significantie, als dit wel het geval was, dan zal dit 1 significante cijfer zijn, oftewel: $M \approx 1\cdot 10^{30} kg$