Getal en Ruimte 13e ed deel 1 - Hoofdstuk 1 - Lineaire problemen oefentoetsen & antwoorden

$(\red{a},7)$, het eerste getal van een coördinaat is de $x$-coördinaat. $(a,\red{7})$, het tweede getal van een coördinaat is de $y$-coördinaat. Stap 1: We willen $a$, oftewel de $x$-coördinaat weten, hiervoor vullen we eerst de coördinaten in. $-3\cdot a +13=7$Stap 2: Gebruik de balansmethode. Eerst verplaatsen we de losse getallen naar de rechterkant. $-3\cdot a \red{+13}=7$ $+13$ is een los getal links. We trekken van beide kanten $-13$ af om deze naar rechts te werken. $-3\cdot a+13 \red{-13}=7\red{-13}$ $-3a=-6$Stap 3:  Deel beide kanten door het getal dat voor de letter staat. In dit geval $-3$.$-3a\red{:-3}=-6\red{:-3}$$a=2$Antwoord: $a=2$ Vul de $x$-coördinaat $x=-2$ in en kijk of er $y=-1$ uit komt.$g(-2)=-7\cdot -2+13$$g(-2)=14+13=27$ Dus de uitkomst is niet $-1$Antwoord: De lijn gaat niet door het punt $(-2,-1)$ Stap 1: Werk eerst de haakjes uit.$7x+12=-2(3x+7)$$7x+12=-6x-14$Stap 2: Gebruik de balansmethode. Eerst verplaatsen we de losse getallen naar de rechterkant. $7x\red{+12}=-6x-14$ $+12$ is een los getal links. We trekken van beide kanten $-12$ af om deze naar rechts te werken. $7x+12\red{-12}=-6x-14\red{-12}$$7x=-6x-26$Stap 3: Alle waarden met $x$ erin verplaatsen we naar de linkerkant.$7x=\red{-6x}-26$, $-6x$ is een getal met $x$ erin aan de rechterkant, deze werken we naar de linkerkant door beide kanten $+6x$ te doen.$7x\red{+6x}=-6x-26\red{+6x}$$13x=-26$Stap 4:  Deel beide kanten door het getal dat voor de letter staat. In dit geval $13$.$13x\red{:13}=-26\red{:13}$$x=-2$Antwoord: $x=-2$Stap 1: Werk eerst de breuken weg.Om de breuken weg te werken vermenigvuldig je de hele vergelijking met de noemers van de breuken.Vermenigvuldig eerst de vergelijking met $3$.$6-(x-1)=\frac{3}{4}(x-14)$Vermenigvuldig de vergelijking vervolgens met $4$.$24-4(x-1)=3(x-14)$Tip: Je had ook gelijk de vergelijking kunnen vermenigvuldigen met $12$, het product van de twee noemers. Stap 2: Werk de haakjes uit.$24-4(x-1)=3(x-14)$$24-4x+4=3x-42$$28-4x=3x-42$Stap 3: Gebruik de balansmethode. Eerst verplaatsen we de losse getallen naar de rechterkant. $\red{28}-4x=3x-42$ $28$ is een los getal links. We trekken van beide kanten $28$ af om deze naar rechts te werken. $28-4x\red{-28}=3x-42\red{-28}$$-4x=3x-70$Stap 4: Alle waarden met $x$ erin verplaatsen we naar de linkerkant.$-4x=\red{3x}-70$ $3x$ is een getal met $x$ erin aan de rechterkant, deze werken we naar de linkerkant door beide kanten $-3x$ te doen.$-4x\red{-3x}=3x-70\red{-3x}$$-7x=-70$Stap 5:  Deel beide kanten door het getal dat voor de letter staat. In dit geval $-7$.$-7x\red{:-7}=-70\red{:-7}$$x=10$ (let op $-:-=+$)Antwoord: $x=10$ Stap 1: De grafiek is een lijn, dus de formule is van de vorm $y=ax+b$De lijn heet $l$ dus $l: y=ax+b$Stap 2: Bereken de richtingscoëfficiënt. $rc_l=a$Het hellingsgetal is hoeveel de grafiek toe- of afneemt bij elk stapje naar rechts. Zoek twee roosterpunten.Tussen $-1$ en $4$ ligt $5$, dus horizontaal is er 5 bijgekomen. Tussen $15$ en $-25$ is er $40$ afgegaan, dus verticaal is $-40$$a=\frac{verticaal}{horizontaal}$$a=\frac{-40}{5}=-8$$l: y=-8x+b$Stap 3: Bereken $b$.Om $b$ te berekenen vullen we een roosterpunt in. We vullen $(-1,15)$ in.$-8\cdot -1+b=15$$8+b=15$Doe beide kanten $-8$$b=7$Antwoord: $l: y=-8x+7$ Stap 1: We weten de $y$-coördinaat van $G$ en willen de $x$-coördinaat weten. Hiervoor vullen we de $y$-coördinaat in.$3x+20=5$Stap 2: Gebruik de balansmethode. Eerst verplaatsen we de losse getallen naar de rechterkant. $3x \red{+20}=5$ $+20$ is een los getal links. We trekken van beide kanten $-20$ af om deze naar rechts te werken. $3x+20 \red{-20}=5\red{-20}$ $3x=-15$Stap 3:  Deel beide kanten door het getal dat voor de letter staat. In dit geval $3$.$3x\red{:3}=-15\red{:3}$$x=-5$Antwoord: $x_G=-5$ Stap 1: Snijpunt met de $y$-as.In het snijpunt met de $y$-as is $x=0$.$f(0)=2-\frac{1}{3}\cdot 0$$f(0)=2$$A(0,2)$Stap 2: Snijpunt met de $x$-as.In het snijpunt met de $x$-as is $y=0$.$0=2-\frac{1}{3}x$$-2=-\frac{1}{3}x$ (beide kanten $-2$)$6=x$ (beide kanten delen door $-\frac{1}{3}$)$B(6,0)$Antwoord: Snijpunt $y$-as $A(0,2)$, snijpunt $x$-as $B(6,0)$. Vul voor $x$ in de formule 6 in.$3\cdot 6-5y=8$$18-5y=8$ (reken de keersom uit)$-5y=8-18$ (breng alle losse getallen naar rechts en de getallen met een letter naar links)$-5y=-10$$y=\frac{-10}{-5}=2$ (deel beide kanten door $-5$)Antwoord: y=2$Vul voor $y$ in de formule $-4$ in.$3x-5\cdot -4=8$$3x+20=8$ (reken de keersom uit)$3x=8-20$ (beide kanten $-20$)$3x=-12$ $x=\frac{-12}{3}=-4$ (beide kanten delen door 3)Antwoord: $x=-4$Als we $y$ vrij willen maken moeten alle termen behalve $y$ naar rechts.$3x-5y=8$$-5y=8-3x$ (beide kanten $-3x$)$y=\frac{8}{-5}-\frac{3}{-5}x$ (beide kanten delen door $-5$)$y=-1\frac{3}{5}+\frac{3}{5}x$Antwoord: $y=-1\frac{3}{5}+\frac{3}{5}x$ Stap 1: Maak een variabele vrij in één van de twee vergelijkingen.We maken $y$ vrij in de eerste vergelijking.$7x-3y=8$ (we moeten uiteindelijk links alleen $y$ overhouden)$-3y=8-7x$ (beide kanten $-7x$)$y=\frac{8}{-3}-\frac{7}{-3}x$ (beide kanten delen door $-3$)$y=-2\frac{2}{3}+2\frac{1}{3}x$Stap 2: Vervang.We vervangen de $y$ in de tweede vergelijking voor $-2\frac{2}{3}+2\frac{1}{3}x$$3x+2(-2\frac{2}{3}+2\frac{1}{3}x)=10$ (denk aan de haakjes)$3x-5\frac{1}{3}+4\frac{2}{3}x=10$ (werk de haakjes uit)$7\frac{2}{3}x-5\frac{1}{3}=10$Stap 3: Los de vergelijking op.$7\frac{2}{3}x-5\frac{1}{3}=10$ (alle getallen met $x$ naar links de rest naar rechts)$7\frac{2}{3}x=5\frac{1}{3}+10$ (beide kanten $+5\frac{1}{3}$)$7\frac{2}{3}x=15\frac{1}{3}$ $x=\frac{15\frac{1}{3}}{7\frac{2}{3}}=2$ (beide kanten delen door $7\frac{2}{3}$)Stap 4: Bereken de $y$-coördinaat.Vul de $x$-coördinaat in in één van de twee formules om de bijbehorende $y$-waarde te vinden.$7\cdot 2-3y=8$$14-3y=8$$-3y=-6$$y=2$Antwoord: De oplossing is $(2,2)$ Normaal nemen we bij een lijn $y=ax+b$. Bij de $y$-as staat hier $G$ en bij de $x$-as $t$. We nemen dus $G=at+b$. We hebben de $y$ vervangen voor $G$ en de $x$ voor $t$. Stap 1: Bepaal $b$. Het begingetal $b$ kun je vinden in de grafiek. Dit is het snijpunt met de verticale as. Dus $b=400$Stap 2: Bereken $a$. $a=\frac{verticaal}{horizontaal}$We zoeken eerst twee roosterpunten.Vervolgens kijken we wat tussen deze twee roosterpunten horizontaal is gebeurt.We vullen dus bij horizontaal $4$ in. $a=\frac{verticaal}{4}$Daarna kijken we wat er verticaal is gebeurd.We vullen bij verticaal $100$ in. $a=\frac{100}{4}=25$Elk stapje naar rechts komt er dus 25 bijStap 3: Vul $a$ en $b$ in in de formule$G=25t+400$Antwoord: $G=25t+400$De jaarlijkse toename is gelijk, dus $a=25$ net als in de grafiek.Het begingetal is anders, namelijk $b=250$.In 2010 gebruikte het buurland 250 duizend ton olieVoor het buurland geldt de formule $G=25t+250$ Als twee lijnen evenwijdig zijn, hebben ze dezelfde richtingscoëfficiënt. De richtingscoëfficiënt is het getal voor de $x$ in een lijn. $f(x)=\red{\frac{1}{4}a}x+6$$k: y=\red{3}x-9$Hierboven zijn de richtingscoëfficiënten rood gemaakt. De richtingscoëfficiënten moeten gelijk zijn, dus er moet gelden:$\frac{1}{4}a=3$We lossen deze vergelijking op.We delen beide kanten door $\frac{1}{4}$ (je kunt ook beide kanten vermenigvuldigen met 4, dat is hetzelfde)$a=12$Dus als $a=12$ zijn deze twee lijnen evenwijdig.Antwoord: $a=12$ Stap 1: Voor het snijpunt van twee lijnen zetten we de formule van de ene lijn aan de ene kant van de $=$ en de formule van de andere lijn aan de andere kant van de $=$. $-2x+8=3-3x$Stap 2: Vervolgens gebruiken we de balansmethode. Eerst verplaatsen we de losse getallen naar de rechterkant. $-2x\red{+8}=3-3x$ $+8$ is een los getal links. We trekken van beide kanten $-8$ af om deze naar rechts te werken. $-2x+8\red{-8}=3-3x\red{-8}$$-2x=-5-3x$Stap 3: Alle waarden met $x$ erin verplaatsen we naar de linkerkant.$-2x=-5\red{-3x}$, $-3x$ is een getal met $x$ erin aan de rechterkant, deze werken we naar de linkerkant door beide kanten $+3x$ te doen.$-2x\red{+3x}=-5-3x\red{+3x}$$x=-5$Dus de x-coördinaat van $S$ is $x=-5$Stap 4: We moeten niet alleen de x-coördinaat van het snijpunt berekenen maar ook de y-coördinaat. Hiervoor vullen we de x-coördinaat in in één van de twee formules. $x=-5$ in $y=-2x+8$ geeft $y=-2\cdot -5+8$$=10+8=18$$x=-5$ in $y=3-3x$  geeft $y=3-3\cdot -5$$=3+15=18$Dus de y-coördinaat van $S$ is $y=18$Je hoeft maar 1 van de twee berekeningen hierboven op te schrijven, uit beide berekeningen komt hetzelfde antwoord.Antwoord: $S(-5, 18)$ $1500x+1200y=15600$Vul in de vergelijking voor $x=8$ in. $1500\cdot 8+1200y=15600$$12000+1200y=15600$Los de vergelijking op.$1200y=3600$ (beide kanten $-12000$)$y=3$ (beide kanten delen door $1200$)Antwoord: Er zijn 3 banken van type $y$ verkocht.