Moderne Wiskunde 13e ed deel A - Hoofdstuk 1 - Lineaire en exponentiële formules oefentoetsen & antwoorden

$g$ is een constante functie. $f$ is een kwadratische functie$h$ is een lineaire functie.$h$ is een lineaire functie, dus van de vorm $y=richtingscoëfficiënt\cdot x+startgetal$Het startgetal is het snijpunt met de $y$-as, $h$ snijdt de $y$-as in $startgetal=1$Elk stapje naar rechts gaat de functie drie stapjes omhoog, het richtingscoëfficiënt is dus 3. Antwoord: $h(x)=3x+1$$g$ is een constante functie bij $y=-1$Antwoord: $g(x)=-1$ Er is 1 dalende grafiek, dat is de groene, I. Hierbij is de groeifactor kleiner dan 1. dit is A.Grafiek I heeft beginhoeveelheid 8, de blauwe grafiek heeft dezelfde beginhoeveelheid, $g$ heeft dezelfde beginhoeveelheid als $f$. B moet dus wel bij III horen.Vervolgens hebben we twee stijgende grafieken met dezelfde beginhoeveelheid, II stijgt echter harder dan IV. Dus II heeft een grotere groeifactor, dit is dus D.Voor IV blijft C over.Antwoord: A-I, B-III, C-IV, D-II. Een exponentiële functie. Vul voor $x$ 3 in. $v(3)=15\cdot 0.77^3=6.847995$Antwoord: $6.847995$ We moeten de vergelijking $2x-23=47$ oplossen.Stap 1: Werk de losse getallen aan de linkerkant weg.Links staat het losse getal $-23$. We werken deze weg door aan beide kanten $+23$ te doen.$2x-23\red{+23}=47\red{+23}$$2x=70$Stap 2: Deel beide kanten door het getal dat voor de letter staat.$2x\red{:2}=70\red{:2}$$x=35$Stap 3: Controleer je oplossing.$2\times 35-23=47$$70-23=47$$47=47$ Klopt!Antwoord: $x=35$ Alle termen behalve $y$ moeten naar rechts.$3x-5y=8$$-5y=8-3x$ (beide kanten $-3x$)$y=\frac{8}{-5}-\frac{3}{-5}x$ (beide kanten delen door $-5$)$y=-1\frac{3}{5}+\frac{3}{5}x$Het startgetal is het losse getal in de formule, in dit geval $startgetal=-1\frac{3}{5}$De richtingscoëfficiënt is het getal vast aan de $x$, in dit geval $richtingscoëfficiënt=\frac{3}{5}$Antwoord: $y=-1\frac{3}{5}+\frac{3}{5}x$ Je kunt altijd als beste eerst de groeifactor zoeken, dit is het getal dat tot de macht $t$ wordt gedaan. In dit geval dus $1.3$.Het andere getal dat dan voorkomt in de formule is de beginwaarde, $8$.Antwoord: $b=8$, $g=1.3$.$t$ is in uren, in een uur zitten 4 kwartieren. We weten hoe we de groeifactor per halve tijdseenheid berekenen, dus we rekenen eerst terug naar een half uur en vervolgens naar een kwartier.Een half uur is de helft van een uur, de groeifactor per halve tijdseenheid is $\sqrt{g}$$g_{half\ uur}=\sqrt{1,3}=1,14…$ (rond je antwoord nog niet af!)Een kwartier is de helft van een half uur. $g_{kwartier}=\sqrt{1,14…}=1.0677…$ (zet je tussenantwoord uit je rekenmachine in de wortel)Antwoord: $g_{kwartier}=1.068$We moeten de groeifactor tot de macht 6 doen.$g_{6\ uur}=1,3^{6}=4,826…$Antwoord: 4,8 Gebruik de rekenregels van machten.Stap 1: We beginnen met de haakjes wegwerken.In de teller staan haakjes, deze werken we uit. We gebruiken de regel: $(g^a)^b=g^{a\cdot b}$$f(x)=\frac{2^{3x}\cdot (2^{2(x-5)})\cdot 2^5}{2\cdot 2^{4x}}$$f(x)=\frac{2^{3x}\cdot (2^{2x-10}\cdot 2^5}{2\cdot 2^{4x}}$Stap 2: Schrijf de teller en noemer als één macht.We gebruiken de regel: $g^a\cdot g^b=g^{a+b}$$f(x)=\frac{2^{3x+2x-10}\cdot 2^5}{2^{1+4x}}$$f(x)=\frac{2^{5x-10}\cdot 2^5}{2^{1+4x}}$$f(x)=\frac{2^{5x-10+5}}{2^{1+4x}}$$f(x)=\frac{2^{5x-5}}{2^{1+4x}}$Stap 3: Maak van de breuk één macht.We gebruiken de regel: $\frac{g^a}{g^b}=g^{a-b}$$f(x)=2^{5x-5-(1+4x)}$ (let op! De teller moet min héél de noemer dus gebruik haakjes!)$f(x)=2^{5x-5-1-4x}$$f(x)=2^{x-6}$Antwoord: $f(x)=2^{x-6}$ Stap 1: Voor het snijpunt van twee lijnen zetten we de formule van de ene lijn aan de ene kant van de $=$ en de formule van de andere lijn aan de andere kant van de $=$. $-2x+8=3-3x$Stap 2: Vervolgens gebruiken we de balansmethode. Eerst verplaatsen we de losse getallen naar de rechterkant. $-2x\red{+8}=3-3x$ $+8$ is een los getal links. We trekken van beide kanten $-8$ af om deze naar rechts te werken. $-2x+8\red{-8}=3-3x\red{-8}$$-2x=-5-3x$Stap 3: Alle waarden met $x$ erin verplaatsen we naar de linkerkant.$-2x=-5\red{-3x}$, $-3x$ is een getal met $x$ erin aan de rechterkant, deze werken we naar de linkerkant door beide kanten $+3x$ te doen.$-2x\red{+3x}=-5-3x\red{+3x}$$x=-5$Dus de x-coördinaat van $S$ is $x=-5$Stap 4: We moeten niet alleen de x-coördinaat van het snijpunt berekenen maar ook de y-coördinaat. Hiervoor vullen we de x-coördinaat in in één van de twee formules. $x=-5$ in $y=-2x+8$ geeft $y=-2\cdot -5+8$$=10+8=18$$x=-5$ in $y=3-3x$  geeft $y=3-3\cdot -5$$=3+15=18$Dus de y-coördinaat van het snijpunt is $y=18$Je hoeft maar 1 van de twee berekeningen hierboven op te schrijven, uit beide berekeningen komt hetzelfde antwoord.Antwoord: $(-5, 18)$ We moeten substitutie gebruiken. Dat betekent dat we in één van de twee vergelijkingen een variabele moeten vrijmaken en deze moeten substitueren in de andere vergelijking.Stap 1: Maak een variabele vrij in één van de twee vergelijkingen.We maken $y$ vrij in de eerste vergelijking.$7x-3y=8$ (we moeten uiteindelijk links alleen $y$ overhouden)$-3y=8-7x$ (beide kanten $-7x$)$y=\frac{8}{-3}-\frac{7}{-3}x$ (beide kanten delen door $-3$)$y=-2\frac{2}{3}+2\frac{1}{3}x$Stap 2: Substitueer.We vervangen de $y$ in de tweede vergelijking voor $-2\frac{2}{3}+2\frac{1}{3}x$$3x+2(-2\frac{2}{3}+2\frac{1}{3}x)=10$ (denk aan de haakjes)$3x-5\frac{1}{3}+4\frac{2}{3}x=10$ (werk de haakjes uit)$7\frac{2}{3}x-5\frac{1}{3}=10$Stap 3: Los de vergelijking op.$7\frac{2}{3}x-5\frac{1}{3}=10$ (alle getallen met $x$ naar links de rest naar rechts)$7\frac{2}{3}x=5\frac{1}{3}+10$ (beide kanten $+5\frac{1}{3}$)$7\frac{2}{3}x=15\frac{1}{3}$ $x=\frac{15\frac{1}{3}}{7\frac{2}{3}}=2$ (beide kanten delen door $7\frac{2}{3}$)Stap 4: Bereken de y-coördinaat.Vul de $x$-coördinaat in in één van de twee formules om de bijbehorende y-waarde te vinden.$7\cdot 2-3y=8$$14-3y=8$$-3y=-6$$y=2$Antwoord: De oplossing is $(2,2)$ $1500x+1200y=15600$Vul in de vergelijking voor $x=8$ in. $1500\cdot 8+1200y=15600$$12000+1200y=15600$Los de vergelijking op.$1200y=3600$ (beide kanten $-12000$)$y=3$ (beide kanten delen door $1200$)Antwoord: Er zijn 3 banken van type $y$ verkocht.  Het aantal zorginfecties neemt jaarlijks steeds met hetzelfde percentage af. Het aantal zorginfecties neemt af, we trekken dus het percentage van 100 af.$100-2.1=97.9$$97.9:100=0.979$Antwoord: 0.979De beginhoeveelheid is 24060. De groeifactor is 0.979$z(t)=24060\cdot 0.979^t$Vul een getal voor $t$ in en kijk of de uitkomst lager is dan 20000.We proberen 10 jaar.$z(10)=24060\cdot 0.979^{10}=19459.09…$Dit is al lager dan 20000.,we kijken of het aantal zorginfecties al eerder onder de 20000 ligt.We proberen 9 jaar.$z(9)=24060\cdot 0.979^{9}=19876.49…$Dit is ook lager dan 20000, we kijken of het aantal zorginfecties al eerder onder de 20000 ligt.We proberen 8 jaar.$z(8)=24060\cdot 0.979^{8}=20302.85…$Na 8 jaar was het aantal zorginfecties dus nog groter dan 20000.Antwoord: Na 9 jaar.De groeifactor is 1.031, we willen weten welk percentage bij deze groeifactor hoort.Reken van groeifactor naar percentage door te vermenigvuldigen met 100.$1.031\times 100=103.1\%$ De jaarlijkse toename in procenten is dus $103.1-100=3.1\%$Antwoord: 3.1%Een half jaar is de helft van een jaar.De groeifactor per halve tijdseenheid is $\sqrt{g}$$g_{half\ jaar}=\sqrt{1.031}=1.015$Antwoord: 1.015 Gebruik de rekenregels om $g(x)=3^{3x+8}$ te herschrijven.We gebruiken de regel: $g^a\cdot g^b=g^{a+b}$$g(x)=3^{3x}\cdot 3^8$We gebruiken de regel: $(g^a)^b=g^{a\cdot b}$$g(x)=(3^3)^x \cdot 3^8$Reken de machten uit.$g(x)=27^x\cdot 6561$