Getal en Ruimte 13e ed deel 1 - Hoofdstuk 2 - Gelijkvormigheid oefentoetsen & antwoorden

Twee zijden zijn een vergroting van elkaar en de ingesloten hoeken zijn gelijk.Hierbij hoort gelijkvormigheidskenmerk zhzAntwoord: zhz We beginnen in de eerste twee kolommen, hier hebben we maar één variabele, dat is $x$. De laatste twee kolommen hebben we twee variabelen, $x$ en $y$ dus die kunnen we niet gebruiken.Stap 1: We gaan kruislings vermenigvuldigen.$(x+5)8=3\cdot 6x$ (diagonalen keer elkaar aan elkaar gelijkstellen)$8x+40=18x$ (haakjes uitwerken)$-10x=-40$ (alle getallen met $x$ naar links en alle losse getallen naar rechts)$x=4$ (beide kanten delen door $-10$Stap 2: Vul de uitkomst van $x$ in in de tabel. Nu kunnen we ook $y$ berekenen, we hebben niet meer twee variabelen in de laatste twee kolommen.We gaan weer kruislings vermenigvuldigen.$24\cdot 5=8(y-1)$ (diagonalen keer elkaar aan elkaar gelijkstellen)$120=8y-8$ (haakjes uitwerken)$-8y=-128$ (losse getallen naar rechts, getallen met $y$ naar links)$y=16$ (delen door $-8$)Antwoord: $x=4$ en $y=16$ Stap 1: Toon gelijkvormigheid aan.$\angle E=\angle I$ (Z-hoeken)$\angle F=\angle H$ (Z-hoeken)Dus $\triangle EFG \sim \triangle IHG$ (hh) Let op dat je gelijke hoeken op gelijke plekken zet!Stap 2: Maak een verhoudingstabel. Vul in wat je weet. We kunnen nog niet kruislings vermenigvuldigen omdat we nog te weinig weten. Dit kunnen we oplossen door een zijde gelijk te stellen aan $x$. We stellen, $GI$, de zijde die we willen weten gelijk aan $x$, dan is $GE=25-x$Stap 3: Kruislings vermenigvuldigen.Met kolom 1 en 3 kunnen we kruislings vermenigvuldigen. $9x=16(25-x)$$9x=400-16x$ (haakjes uitwerken)$25x=400$ (alle waarden met $x$ naar links)$x=16$Antwoord: $GI=16$ Stap 1: Zoek gelijke hoeken.$\angle B=\angle E$ (beide rechte hoeken)$\angle C=\angle C$ (overstaande hoeken)Als twee hoeken in twee driehoeken gelijk zijn, weten we dat de derde ook gelijk moet zijn. Stap 2: Schrijf de gelijkvormigheid juist op.Dus $\triangle ABC$ is een vergroting van $\triangle DEC$Zorg ervoor dat hoeken die gelijk zijn op dezelfde plek staan. Hoek $A$ is gelijk aan hoek $D$ dus staan deze beide op dezelfde plek. Hoek $B$ is gelijk aan hoek $E$ dus staan deze beide op de tweede plek. Hoek $C$ is gelijk aan hoek $C$ dus deze staan op de derde plek. $\triangle ABC \sim \triangle DEC (hh)$Antwoord: $\triangle ABC \sim \triangle DEC (hh)$ Stap 1: Zoek gelijkvormige driehoeken in de figuur en toon de gelijkvormigheid aan.$\angle D=\angle C$ (F-hoeken, dit zien we aan de evenwijdigheid van $DE$ aan $CB$)$\angle A=\angle A$ Als twee hoeken in twee driehoeken gelijk zijn, weten we dat de derde ook gelijk zijn. Dus $\triangle ACB$ is een vergroting van $\triangle ADE$ (gelijke hoeken op dezelfde plekken)$\triangle ACB \sim \triangle ADE$ (hh)Stap 2: Teken een tabel. Zet gelijkvormige zijden onder elkaar.Zet de grootste driehoek op de bovenste rij.Vul de maten in die je weet.Stap 3: Bereken CB.Gebruik kruislings vermenigvuldigen. $CB=\frac{9\cdot 3}{4}=6.75$Antwoord: $CB=6.75$ We willen de lengte van $AB$ berekenen. Hiervoor kunnen we de gelijkvormigheid van $\triangle AED$ en $\triangle ABC$ gebruiken.Stap 1: We tonen gelijkvormigheid aan.$\angle A$ in driehoek $ADE$ en $\angle A$ in driehoek $ABC$ zijn logischerwijs gelijk.$\angle E$ en $\angle B$ zijn beide rechte hoeken, (een zendmast staat loodrecht) deze hoeken zijn dus ook gelijk.Uit bovenstaande concluderen we dat $\triangle ABC \sim \triangle AED$ (hh)Stap 2: Vul de tabel in.$DE$ en $BC$ zijn overeenkomende zijden. Zijde $AE$ en zijde $AB$ zijn ook overeenkomende zijden. Zet overeenkomende zijden onder elkaar. Vul de lengten in die je weet. Gebruik kruislings vermenigvuldigen om $AB$ te berekenen.$AB=\frac{300\cdot 0.5}{0.04}=3750$Antwoord: 3750 meter. In $\triangle BEC$ is $\angle E=90^{\circ}$. In $\triangle ADC$ is $\angle D=90^{\circ}$. Dus $\angle E=\angle D = 90^\circ$$\angle C=\angle C$Dus $\triangle ADC \sim \triangle BEC$ (hh)Maak een verhoudingstabel bij $\triangle ADC \sim \triangle BEC$.Als we nu kruislings vermenigvuldigen in de laatste twee kolommen krijgen we:$DC\cdot BC=EC\cdot AC$Beide kanten delen door $AC$ geeft:$\frac{DC\cdot BC}{AC}=EC$Beide kanten delen door $BC$ geeft:$\frac{DC}{AC}=\frac{EC}{BC}$Dus de verhoudingen van de zijden van driehoeken $\triangle ABC$ en $\triangle DEC$ zijn gelijk. Verder geldt $\angle C=\angle C$Dus $\triangle ABC \sim \triangle DEC$ (zhz) Stap 1: Gelijkvormigheid aantonen.$\angle B=\angle E$ (beide rechte hoeken)$\angle C=\angle C$ (overstaande hoeken)Als twee hoeken in twee driehoeken gelijk zijn, weten we dat de derde ook gelijk moet zijn. Dus $\triangle ABC$ is een vergroting van $\triangle DEC$Zorg ervoor dat hoeken die gelijk zijn op dezelfde plek staan. Hoek $A$ is gelijk aan hoek $D$ dus staan deze beide op dezelfde plek. Hoek $B$ is gelijk aan hoek $E$ dus staan deze beide op de tweede plek. Hoek $C$ is gelijk aan hoek $C$ dus deze staan op de derde plek. $\triangle ABC \sim \triangle DEC\ (hh)$Stap 2: Tabel invullen.Vul in aan welke driehoek $\triangle ABC$ gelijkvormig is. Zet gelijke hoeken op dezelfde plekken.$AB$ is gelijkvormig aan $DE$, zet dus $DE$ onder $AB$. Als je de hoeken op de goede plek hebt staan, dus gelijke hoeken onder elkaar, dan staan gelijke zijden ook onder elkaar. $DE$ staat onder $AB$Vul zo ook de laatste twee zijden in.Stap 3: Gebruik $CE=\frac{2}{5}BE$.Als $CE=\frac{2}{5}BE$, dan is $BC=\frac{3}{5}BE$.Stap 4: Kruislings vermenigvuldigen.$AC\cdot \frac{2}{5}BE=CD\cdot \frac{3}{5}BE$Deel beide kanten door $BE$$\frac{2}{5}AC=\frac{3}{5}CD$Vermenigvuldig beide kanten met 5.$2AC=3CD$$AC=\frac{3}{2}CD$Stap 5: Gebruik dat $AC+CD=AD$Substitueer $AC=\frac{3}{2}CD$$\frac{3}{2}CD+CD=AD$$\frac{5}{2}CD=AD$Vermenigvuldig beide kanten met 2.$5CD=2AD$ Stap 1: Teken het assenstelsel met de punten erin.Stap 2: Teken lijnstuk $AB$ en een lijn vanuit $Z$ naar het midden van $AB$.Stap 3: Teken punt $C$.We weten dat de afstand van $Z$ tot punt $C$ twee keer zo lang is als de afstand van $Z$ tot het snijpunt met $AB$. De afstand van $Z$ tot het snijpunt met het midden van $AB$ is het diagonaal van 1 hokje, dus de afstand van $Z$ tot $C$ moet de diagonaal van twee hokjes zijn.Stap 4: Maak de driehoek af en teken de andere twee zwaartelijnen.Leg je geodriehoek langs $B$ en $Z$ om de zwaartelijn vanuit $B$ op $AC$ te tekenen.Teken op dezelfde manier de zwaartelijn vanuit $A$ op $BC$.Antwoord: $\angle R=\angle N$ (beide rechte hoeken)$\angle Q=\angle Q$ (overstaande hoeken)Als twee hoeken in twee driehoeken gelijk zijn, weten we dat de derde ook gelijk moet zijn. Dus $\triangle RQP$ is een vergroting van $\triangle NQM$Zorg ervoor dat hoeken die gelijk zijn op dezelfde plek staan. Hoek $R$ is gelijk aan hoek $N$ dus staan deze beide op dezelfde plek. Hoek $Q$ is gelijk aan hoek $Q$ dus staan deze beide op de tweede plek. Hoek $P$ is gelijk aan hoek $M$ dus deze staan op de derde plek. $\triangle RQP \sim \triangle NQM\ (hh)$Volg de opgave stapsgewijs.Stap 1: Bewijs dat $PQ=2MQ$.$M$ is het midden van $PQ$.Dus $MP=MQ$$PQ=MP+MQ$Samen geeft dit $PQ=MQ+MQ=2MQ$ en $PQ=2MQ$Stap 2: Bewijs dat $2NQ=RQ$Gebruik een verhoudingstabel Gebruik $PQ=2MQ$We gaan kruislings vermenigvuldigen.$2MQ\cdot NQ=RQ\cdot QM$Deel beide kanten door $MQ$.$2NQ=RQ$Stap 3: Bewijs dat $NQ=NR$$QR=NQ+NR$ gebruik $2NQ=RQ$$2NQ=NQ+NR$Trek van beide kanten $NQ$ af.$2NQ-NQ=NQ+NR-NQ$$NQ=NR$Noteer de stelling van Pythagoras in $\triangle NQM$.$NQ^2+MN^2=QM^2$Noteer de stelling van Pythagoras in $\triangle RMN$.$RN^2+MN^2=RM^2$We zien een overeenkomst in deze twee uitdrukkingen, namelijk dat in beide $MN^2$ voorkomt. We maken deze term in beide uitdrukkingen vrij.$MN^2=QM^2-NQ^2$$MN^2=RM^2-RN^2$Als $MN^2$ gelijk is aan $QM^2-NQ^2$ maar ook aan $RM^2-RN^2$, dan moet wel gelden $QM^2-NQ^2=RM^2-RN^2$Maar uit b weten we ook dat $NQ=NR$ dus $QM^2-RN^2=RM^2-RN^2$We tellen aan beide kanten $RN^2$ erbij op.$QM^2=RM^2$Dus $QM=RM$.