Moderne Wiskunde 13e ed deel A - Hoofdstuk 2 - Parabolen oefentoetsen & antwoorden

Het getal voor de $x^2$ is een negatief getal. Namelijk $-3$. Dus dit is een bergparabool Hoe verder de waarde $a$ van 0 ligt, hoe smaller de parabool is. Bij $y=-4x^2-5x-8$ geldt $a=-4$Bij $y=3x^2+8x+7$ geldt $a=3$$-4$ ligt verder van $0$ dan $3$, dus $y=-4x^2-5x-8$ is smaller. De formule moet in de vorm $y=ax^2+bx+c$ staan om te kunnen bepalen of het een dal of bergparabool is.Stap 1: We werken eerst de haakjes $(2x-3)(1-x)$ uit. Maak een vermenigvuldigingstabel.$\times$$1$$-x$$2x$$-3$Reken de keersommen uit en vul ze in.$\times$$1$$-x$$2x$$2x$$-2x^2$$-3$$-3$$3x$Stap 2: Zet de uitkomsten in de formule.$y=2x-2x^2-3+3x+4x^2$$y=5x-2x^2-3+4x^2$$y=2x^2+5x$Antwoord: Het getal voor $x^2$ is positief dus dit is een dalparabool. Bij een formule van deze vorm is het makkelijker om de snijpunten met de $x$-as te berekenen en vervolgens het midden te zoeken van deze twee $x$-coördinaten.Stap 1: De snijpunten met de $x$-as bereken je door op te lossen $(x-3)(x+5)=0$$(x-3)(x+5)=0$$x-3=0 \vee x+5=0$$x=3 \vee x=-5$Stap 2: Bereken het midden van de twee $x$-coördinaten, door de symmetrie van een parabool zal daar de top liggen.$x=-1$ is het midden van $x=3$ en $x=-5$Tel voor het midden eerst de $x$-coördinaten op.$3+-5==-2$Deel daarna de uitkomst door 2.$-2:2=-1$Stap 3: Bereken de $y$-coördinaat van de top.Vul $x=-1$ in in de formule.$y=(-1-3)(-1+5)$$=-4\cdot 4=-16$De $y$-coördinaat van de top is $y=-16$Antwoord: De top is $(-1,-16)$ Het getal voor $x^2$ wordt $a$ genoemd, het getal voor $x$ wordt $b$ genoemd en het losse getal wordt $c$ genoemd.Dus $y=ax^2+bx+c$Bij functie $f$ is $c=0$, deze grafiek gaat dus door de oorsprong.Bij functie $g$ is $b=0$, de top van deze grafiek ligt dus op de $y$-as.De coördinaten van de top zijn dan altijd $(0,c)$. $c=3$ dus de top is $(0,3)$ Het getal voor $x^2$ wordt $a$ genoemd, het getal voor $x$ wordt $b$ genoemd en het losse getal wordt $c$ genoemd.Dus $y=ax^2+bx+c$De grafieken A en C snijden de oorsprong, dat is het geval als $c=0$Bij II en III is $c=0$. A is breder dan C, hoe dichter $a$ bij 0 ligt, hoe breder de grafiek. De $a$ van II ligt dichter bij 0 dan die van III, dus II is breder. A=II, C=IIIDe top van de grafieken B en D liggen op de $y$-as, dat is het geval als $b=0$. Bij I en IV is $b=0$. B is breder dan C, hoe dichter $a$ bij 0 ligt, hoe breder de grafiek. De $a$ van IV ligt dichter bij 0 dan die van I. B=IV, D=IAntwoord: A=II, B=IV, C=III en D=1 Stap 1: We werken eerst de haakjes $(x-2)^2$ uit. $(x-2)^2=(x-2)(x-2)$ Maak een vermenigvuldigingstabel.$\times$$x$$-2$$x$$-2$Reken de keersommen uit en vul ze in.$\times$$x$$-2$$x$$x^2$$-2x$$-2$$-2x$$4$Stap 2: Zet de uitkomsten tussen nieuwe haakjes in de formule.We moeten nieuwe haakjes schrijven omdat $3$ ook nog vast aan de haakjes staat, alles binnen de haakjes moet dus ook nog worden vermenigvuldigd met $3$$y=3(x^2-2x-2x+4)+5$$y=3(x^2-4x+4)+5$Stap 3: Maak een vermenigvuldigingstabel om de nieuwe haakjes uit te werken.$\times$$x^2$$-4x$$4$$3$Reken de keersommen uit en vul de uitkomsten in.$\times$$x^2$$-4x$$4$$3$$3x^2$$-12x$$12$Stap 4: Zet de uitkomsten in de formule en vereenvoudig de formule. $y=3x^2-12x+12+5$$y=3x^2-12x+17$Antwoord: Het getal voor $x^2$ is positief dus dit is een dalparabool.  Pyloon 1 ligt op de yyy-as, hier de hhh-as. Hier is x=0x=0x=0, in dit geval dus a=0a=0a=0.Dus bij a=0a=0a=0 vinden we de hoogte van de pyloon.Vul a=0a=0a=0 in in de formule.h=0,002(0)2−0+145h=0,002(0)^2-0+145h=0,002(0)2−0+145.=0,002⋅0−0+145=0,002\cdot 0-0+145=0,002⋅0−0+145=0+145=145=0+145=145=0+145=145h=145h=145h=145, Dus de pyloon is 145 meter hoog. De andere pyloon is even hoog.Antwoord: De pylonen komen 145 meter boven het wegdek uit.We zoeken het laagste punt van de parabool. Ook wel de top.Stap 1: Bij a=0a=0a=0 hoort h=145h=145h=145, we zoeken de tweede aaa-coördinaat die hoort bij h=145h=145h=145We krijgen de vergelijking 0,002a2−a+145=1450,002a^2-a+145=1450,002a2−a+145=1450,002a2−a+145=1450,002a^2-a+145=1450,002a2−a+145=145.Stap 2: Los de vergelijking op.0,002a2−a=00,002a^2-a=00,002a2−a=0 (beide kanten −145-145−145)a(0,002a−1)=0a(0,002a-1)=0a(0,002a−1)=0 (aaa buiten haakjes halen)a=0∨0,002a−1=0a=0 \vee 0,002a-1=0a=0∨0,002a−1=0a=0∨0,002a=1a=0 \vee 0,002a=1a=0∨0,002a=1a=0∨a=500a=0 \vee a=500a=0∨a=500Stap 3: Bereken de aaa-coördinaat van de top.We gebruiken de symmetrie van de parabool, als we twee punten hebben gevonden met dezelfde yyy-waarde, in dit geval hhh-waarde, is het punt precies in het midden van die twee punten de aaa-coördinaat van de top.We zoeken het punt precies tussen a=0a=0a=0 en a=500a=500a=500.a=250a=250a=250 is precies het midden.Stap 4: Bereken de hoogte die hoort bij a=250a=250a=250h=0,002(250)2−250+145h= 0,002(250)^2-250+145h=0,002(250)2−250+145=0,002⋅62500−250+145=0,002\cdot 62500-250+145=0,002⋅62500−250+145 =125−250+145=125-250+145=125−250+145=20=20=20Dus de coördinaten van de top zijn (250,20)(250,20)(250,20), hhh gaat over de hoogte van de kabel boven het wegdek, h=20h=20h=20.Antwoord: 20 meter De top is (250,20)(250,20)(250,20)De symmetrieas is de verticale lijn door de top. Antwoord: De symmetrieas is a=250a=250a=250 Bereken eerst de coördinaten van de top en maak vervolgens een tabel met de $x$-waarden rondom de top.Stap 1: Bereken de coördinaten van de top.Bereken het snijpunt met de $y$-as door $x=0$ in te vullen in de formule.$y=-2\cdot 0^2+4\cdot 0-5=-5$Bereken de tweede waarde waarvoor geldt $y=-5$$-2x^2+4x-5=-5$$-2x^2+4x=0$ (beide kanten $+5$)$x(-2x+4)=0$ ($x$ buiten haakjes halen)$x=0 \vee -2x+4=0$$x=0 \vee -2x=-4$$x=0 \vee x=2$Bereken de $x$-coördinaat van de top.Hiervoor zoeken we het midden van $x=0$ en $x=2$$x=1$ is het midden.Bereken de $y$-cöordinaat van de top.Vul hiervoor $x=1$ in de formule in.$y=-2\cdot 1^2+4\cdot 1-5$$=-2+4-5=-3$De top is $(1,-3)$Stap 2: Maak een tabel rondom $x=1$$x$$-3$$-2$$-1$$1$$2$$3$$5$$y$$-3$Bereken de $y$-waarde bij elke $x$-waarde. $y=-2(-3)^2+4\cdot -3-5$$=-2\cdot 9+-12-5$$=-18-12-5$$=-35$$x$$-3$$-2$$-1$$1$$2$$3$$5$$y$$-35$$-3$Vul zo de hele tabel in.$x$$-3$$-2$$-1$$1$$2$$3$$5$$y$$-35$$-21$$-11$$-3$$-5$$-11$$-35$Stap 3: Teken een parabool bij de tabel.Teken hiervoor eerst een assenstelsel. Zorg dat je het assenstelsel groot genoeg maakt. In dit geval moeten we de $y$-waarden van -35 tot -3 kunnen zien.Zet de coördinaten uit de tabel in het assenstelsel. Teken een vloeiende kromme door de punten.Antwoord: Om de breedte van de trekkershut te berekenen hebben we de snijpunten met de $b$-as nodig. Stap 1: Los op $h=0$$-0,48b^2+2,4b=0$$b(-0,48b+2,4)=0$$b=0 \vee -0,48b+2,4=0$$b=0 \vee -0,48b=-2,4$$b=0 \vee b=5$Stap 2: Bereken de breedte van de hut. De breedte van de hut is van $b=0$ tot $b=5$, hiertussen zit 5.De hut is dus 5 meter breed. Antwoord: 5 meter.We moeten de coördinaten van de top berekenen.Stap 1: Bereken de $b$-coördinaat van de top.Bereken hiervoor het midden van $b=0$ en $b=5$$b=2,5$Stap 2: Bereken de $h$-coördinaat van de top. Vul daarvoor $b=2,5$ in in de formule.$h=-0,48(2,5)^2+2,4\cdot 2,5$$=-0,48\cdot 6,25+6$$-3+6=3$$h=3$Antwoord: De trekkershut is 3 meter hoog.