Moderne Wiskunde 13e ed deel A - Hoofdstuk 2 - Parabolen oefentoetsen & antwoorden

Het getal voor de $x^2$ is een negatief getal. Namelijk $-3$. Dus dit is een bergparabool Hoe verder de waarde $a$ van 0 ligt, hoe smaller de parabool is. Bij $f$ geldt $a=-4$Bij $g$ geldt $a=3$$-4$ ligt verder van $0$ dan $3$, dus $f$ is smaller dan $g$. De formule moet in de vorm $y=ax^2+bx+c$ staan om te kunnen bepalen of het een dal of bergparabool is.Stap 1: We werken eerst de haakjes $(2x-3)(1-x)$ uit. Maak een vermenigvuldigingstabel.$\times$$1$$-x$$2x$$-3$Reken de keersommen uit en vul ze in.$\times$$1$$-x$$2x$$2x$$-2x^2$$-3$$-3$$3x$Stap 2: Zet de uitkomsten tussen nieuwe haakjes in de formule.We moeten nieuwe haakjes schrijven omdat $-5x$ ook nog vast aan de haakjes staat, alles binnen de haakjes moet dus ook nog worden vermenigvuldigd met $-5$$f(x)=-5(2x-2x^2-3+3x)+2x^2$$f(x)=-5(5x-2x^2-3)+2x^2$Stap 3: Maak een vermenigvuldigingstabel om de nieuwe haakjes uit te werken.$\times$$5x$$-2x^2$$-3$$-5$Reken de keersommen uit en vul de uitkomsten in.$\times$$5x$$-2x^2$$-3$$-5$$-25x$$10x^2$$15$Stap 4: Zet de uitkomsten in de formule en vereenvoudig de formule. $f(x)=-25x+10x^2+15+2x^2$$f(x)=12x^2-25x+15$Antwoord: Het getal voor $x^2$ is positief dus dit is een dalparabool.  Bij een formule van deze vorm is het makkelijker om de snijpunten met de xxx-as te berekenen en vervolgens het midden te zoeken van deze twee xxx-coördinaten.Stap 1: De snijpunten met de xxx-as bereken je door op te lossen g(x)=0g(x)=0g(x)=0(x−3)(x+5)=0(x-3)(x+5)=0(x−3)(x+5)=0x−3=0∨x+5=0x-3=0 \vee x+5=0x−3=0∨x+5=0x=3∨x=−5x=3 \vee x=-5x=3∨x=−5Stap 2: Bereken het midden van de twee xxx-coördinaten, door de symmetrie van een parabool zal daar de top liggen.x=−1x=-1x=−1 is het midden van x=3x=3x=3 en x=−5x=-5x=−5Tel voor het midden eerst de xxx-coördinaten op.3+−5==−23+-5==-23+−5 =−2Deel daarna de uitkomst door 2.−2:2=−1-2:2=-1−2:2=−1Stap 3: Bereken de yyy-coördinaat van de top.Vul x=−1x=-1x=−1 in in de formule.g(−1)=(−1−3)(−1+5)g(-1)=(-1-3)(-1+5)g(−1)=(−1−3)(−1+5)=−4⋅4=−16=-4\cdot 4=-16=−4⋅4=−16De yyy-coördinaat van de top is y=−16y=-16y=−16Antwoord: De top is (−1,−16)(-1,-16)(−1,−16) Het getal voor $x^2$ wordt $a$ genoemd, het getal voor $x$ wordt $b$ genoemd en het losse getal wordt $c$ genoemd.Dus $y=ax^2+bx+c$Bij functie $f$ is $c=0$, deze grafiek gaat dus door de oorsprong.Bij functie $g$ is $b=0$, de top van deze grafiek ligt dus op de $y$-as.De coördinaten van de top zijn dan altijd $(0,c)$. $c=3$ dus de top is $(0,3)$ Het getal voor $x^2$ wordt $a$ genoemd, het getal voor $x$ wordt $b$ genoemd en het losse getal wordt $c$ genoemd.Dus $y=ax^2+bx+c$De grafieken A en C snijden de oorsprong, dat is het geval als $c=0$Bij II en III is $c=0$. A is breder dan C, hoe dichter $a$ bij 0 ligt, hoe breder de grafiek. De $a$ van II ligt dichter bij 0 dan die van III, dus II is breder. A=II, C=IIIDe top van de grafieken B en D liggen op de $y$-as, dat is het geval als $b=0$. Bij I en IV is $b=0$. B is breder dan C, hoe dichter $a$ bij 0 ligt, hoe breder de grafiek. De $a$ van IV ligt dichter bij 0 dan die van I. B=IV, D=IAntwoord: A=II, B=IV, C=III en D=1 Pyloon 1 ligt op de $y$-as, hier de $h$-as. Hier is $x=0$, in dit geval dus $a=0$.Dus bij $a=0$ vinden we de hoogte van de pyloon.Vul $a=0$ in in de formule.$h(0)=0,002(0)^2-0+145$.$h(0)=0,002\cdot 0-0+145$$h(0)=0+145=145$$h=145$, Dus de pyloon is 145 meter hoog. De andere pyloon is even hoog.Antwoord: De pylonen komen 145 meter boven het wegdek uit.We zoeken het laagste punt van de parabool. Ook wel de top.Stap 1: Bij $a=0$ hoort $h=145$, we zoeken de tweede $a$-coördinaat die hoort bij $h=145$We krijgen de vergelijking $h(a)=145$$0,002a^2-a+145=145$.Stap 2: Los de vergelijking op.$0,002a^2-a=0$ (beide kanten $-145$)$a(0,002a-1)=0$ ($a$ buiten haakjes halen)$a=0 \vee 0,002a-1=0$$a=0 \vee 0,002a=1$$a=0 \vee a=500$Stap 3: Bereken de $a$-coördinaat van de top.We gebruiken de symmetrie van de parabool, als we twee punten hebben gevonden met dezelfde $y$-waarde, in dit geval $h$-waarde, is het punt precies in het midden van die twee punten de $a$-coördinaat van de top.We zoeken het punt precies tussen $a=0$ en $a=500$.$a=250$ is precies het midden.Stap 4: Bereken de hoogte die hoort bij $a=250$$h(250)= 0,002(250)^2-250+145$$=0,002\cdot 62500-250+145$ $=125-250+145$$=20$Dus de coördinaten van de top zijn $(250,20)$, $h$ gaat over de hoogte van de kabel boven het wegdek, $h=20$.Antwoord: 20 meterDe top is $(250,20)$De symmetrieas is de verticale lijn door de top. Antwoord: De symmetrieas is $a=250$ Bereken eerst de coördinaten van de top en maak vervolgens een tabel met de $x$-waarden rondom de top.Stap 1: Bereken de coördinaten van de top.Bereken het snijpunt met de $y$-as door $x=0$ in te vullen in de formule.$h(0)=-2\cdot 0^2+4\cdot 0-5=-5$Bereken de tweede waarde waarvoor geldt $h(x)=-5$$-2x^2+4x-5=-5$$-2x^2+4x=0$ (beide kanten $+5$)$x(-2x+4)=0$ ($x$ buiten haakjes halen)$x=0 \vee -2x+4=0$$x=0 \vee -2x=-4$$x=0 \vee x=2$Bereken de $x$-coördinaat van de top.Hiervoor zoeken we het midden van $x=0$ en $x=2$$x=1$ is het midden.Bereken de $y$-cöordinaat van de top.Vul hiervoor $x=1$ in de formule in.$h(1)=-2\cdot 1^2+4\cdot 1-5$$=-2+4-5=-3$De top is $(1,-3)$Stap 2: Maak een tabel rondom $x=1$$x$$-3$$-2$$-1$$1$$2$$3$$5$$y$$-3$Bereken de $y$-waarde bij elke $x$-waarde. $h(-3)=-2(-3)^2+4\cdot -3-5$$=-2\cdot 9+-12-5$$=-18-12-5$$=-35$$x$$-3$$-2$$-1$$1$$2$$3$$5$$y$$-35$$-3$Vul zo de hele tabel in.$x$$-3$$-2$$-1$$1$$2$$3$$5$$y$$-35$$-21$$-11$$-3$$-5$$-11$$-35$Stap 3: Teken een parabool bij de tabel.Teken hiervoor eerst een assenstelsel. Zorg dat je het assenstelsel groot genoeg maakt. In dit geval moeten we de $y$-waarden van -35 tot -3 kunnen zien.Zet de coördinaten uit de tabel in het assenstelsel. Teken een vloeiende kromme door de punten.Antwoord: Om de breedte van de trekkershut te berekenen hebben we de snijpunten met de $b$-as nodig. Stap 1: Los op $h(b)=0$$-0,48b^2+2,4b=0$$b(-0,48b+2,4)=0$$b=0 \vee -0,48b+2,4=0$$b=0 \vee -0,48b=-2,4$$b=0 \vee b=5$Stap 2: Bereken de breedte van de hut. De hut is dus 5 meter breed. Antwoord: 5 meter.We moeten de coördinaten van de top berekenen.Stap 1: Bereken de $b$-coördinaat van de top.Bereken hiervoor het midden van $b=0$ en $b=5$$b=2,5$Stap 2: Bereken de $h$-coördinaat van de top. $h(2,5)=-0,48(2,5)^2+2,4\cdot 2,5$$=-0,48\cdot 6,25+6$$-3+6=3$$h=3$Antwoord: De trekkershut is 3 meter hoog.