Getal en Ruimte 13e ed deel 1
- Hoofdstuk 3 - Kwadratische problemen
oefentoetsen & antwoorden
13e editie
Klas 3|Havo
Deze oefentoets behandelt o.m. de volgende onderwerpen: kwadratische functies en vergelijkingen.
Toets Wiskunde
Getal en Ruimte 13e ed deel 1
Online maken
Toets afdrukken
De $a$, het getal voor de $x^2$, is een negatief getal. Namelijk $a=-3$. Dus dit is een bergparabool Gebruik $x_{top}=\frac{-b}{2a}$In deze formule geldt $a=-2, b=-8$ en $c=-3$$x_{top}=\frac{- -8}{2\cdot -2}=\frac{8}{-4}=-2$Vul de $x$-coördinaat van de top in in de formule om de $y$-coördinaat van de top te berekenen.$f(-2)=-2\cdot (-2)^2-8\cdot -2-3$$=2\cdot 4+16-3$$=8+16-3=21$Antwoord: $(-2,21)$ $y=6x^2-3x-8$Bereken $h(5)$ en $h(12)$, denk aan de rekenvolgorde!$h(5)=6\cdot 5^2-3\cdot 5-8$$=6\cdot 25 -15-8$$=150-15-8=127$$h(12)=6\cdot 12^2-3\cdot 12-8$$=6\cdot 144-36-8$$=864-36-8=820$Antwoord: $h(5)=127$ en $h(12)=820$Vul $x=3$ in in de formule en kijk of de uitkomst 36 is.$h(3)=6\cdot 3^2-3\cdot 3-8$$=6\cdot 9-9-8$$=54-9-8=37$De uitkomst is niet 36.Antwoord: $(3,36)$ ligt niet op de grafiek. Begin bij de laatste/derde term, welk product levert 9 op?Product 9som$1\cdot 9$$-1\cdot -9$$3\cdot 3$$-3\cdot -3$Kijk naar de tweede term. Welke som levert 6 op?Product 9som$1\cdot 9$10$-1\cdot -9$-10$3\cdot 3$6$-3\cdot -3$-6Dus de juiste termen zijn 3 en 3Antwoord: $(x+3)(x+3)$ Begin bij de laatste/derde term, welk product levert -24 op?Product -24som$1\cdot -24$$-1\cdot 24$$2\cdot -12$$-2\cdot 12$$-3\cdot 8$$3\cdot -8$$-4\cdot 6$$4\cdot -6$Kijk naar de tweede term. Welke som levert 2 op?Product -24som$1\cdot -24$-23$-1\cdot 24$23$2\cdot -12$-10$-2\cdot 12$10$-3\cdot 8$5$3\cdot -8$-5$-4\cdot 6$2$4\cdot -6$-2Dus de juiste termen zijn -4 en 6.Antwoord: $(x-4)(x+6)$ (controleer eventueel door de haakjes weer uit te werken en te kijken of je weer terugkomt bij de uitdrukking die in de vraag gegeven werd)c. We ontbinden in factorenBegin bij de laatste/derde term, welk product levert 7 op?Product 7som$1\cdot 7$$-1\cdot -7$Kijk naar de tweede term. Welke som levert -8 op?Product 7som$1\cdot 7$8$-1\cdot -7$-8Dus de juiste termen zijn -1 en -7.Antwoord: $(x-1)(x-7)$ Stap 1: Herleid op nul.Werk alle getallen naar links.$\frac{1}{4}x^2+4x+12=0$ (beide kanten $-x-13$)Stap 2: Werk de breuken weg.Vermenigvuldig met 4 om $\frac{1}{4}$ weg te werken.$x^2+16x+48=0$Stap 3: Ontbind in factoren.Begin bij de laatste term, wat is keer elkaar 48?Kijk vervolgens naar de tweede term, wat is opgeteld 16?$12\times 4=48$$12+4=16$Dus de termen die we zoeken zijn 12 en 4.$(x+12)(x+4)=0$$x+12=0 \vee x+4=0$ ($A\cdot B=0$ geeft $A=0 \vee B=0$)$x=-12 \vee x=-4$Antwoord: $x=-12 \vee x=-4$Stap 1: Herleid op 0.$3p^2-15p=0$Stap 2: Haal $3p$ buiten haakjes.$3p(p-5)=0$Stap 3: Gebruik $A\cdot B=0$ geeft $A=0 \vee B=0$$3p=0 \vee p-5=0$$p=0 \vee p=5$Antwoord: $p=0 \vee p=5$ $g(x)=3(x+5)^2-9$In deze vorm van een kwadratische functie kun je de top aflezen.$y=a(x-p)^2+q$ geeft top $(p,q)$.In dit geval is de $p$ $-5$, $g(x)=3(x\red{+5})^2-9$$q$ is $-9$, $g(x)=3(x+5)^2\red{-9}$De coördinaten van de top zijn dus $(-5,-9)$Antwoord: $(-5,-9)$$k(x)=-(x-7)(x+9)$In deze vorm van een kwadratische functie kun je $x_{top}$ als volgt berekenen.$y=a(x-d)(x-e)$ geeft $x_{top}=\frac{d+e}{2}$In dit geval is $d=7$ en $e=-9$, dus $x_{top}=\frac{7+-9}{2}=\frac{-2}{2}=-1$De $y$-coördinaat van de top kunnen we berekenen door $x_{top}=-1$ in te vullen in de formule. $k(-1)=-(-1-7)(-1+9)=-(-8)(8)=64$De coördinaten van de top zijn dus $(-1,64)$.Antwoord: $(-1,64)$$j(x)=-0,5x^2+3x-2$In deze vorm van een kwadratische functie kun je $x_{top}$ als volgt berekenen.$y=ax^2+bx+c$ geeft $x_{top}=\frac{-b}{2a}$In dit geval is $a=-0,5$ en $b=3$, dus $x_{top}=\frac{-3}{2\cdot -0,5}=\frac{-3}{-1}=3$De $y$-coördinaat van de top kunnen we berekenen door $x_{top}=3$ in te vullen in de formule.$j(3)=-0,5(3)^2+3\cdot 3-2=2,5$De coördinaten van de top zijn dus $(3; 2,5)$Antwoord: $(3; 2,5)$ Vul x=0x=0x=0 en x=2x=2x=2 in in hhh en kijk of de uitkomst hetzelfde is. h(0)=−2⋅02+4⋅0−5=h(0)=-2\cdot 0^2+4\cdot 0-5=h(0)=−2⋅02+4⋅0−5==0+0−5=−5=0+0-5=-5=0+0−5=−5h(2)=−2⋅22+4⋅2−5=h(2)=-2\cdot 2^2+4\cdot 2-5=h(2)=−2⋅22+4⋅2−5==−2⋅4+8−5=-2\cdot 4+8-5=−2⋅4+8−5=−8+8−5=−5=-8+8-5=-5=−8+8−5=−5De uitkomsten van h(0)h(0)h(0) en h(2)h(2)h(2) zijn hetzelfde, dus h(0)=h(2)h(0)=h(2)h(0)=h(2)We gebruiken de symmetrie van de parabool.Bereken de xxx-coördinaat van de top.Gebruik: als f(a)=f(b)f(a)=f(b)f(a)=f(b) is xtop=a+b2x_{top}=\frac{a+b}{2}xtop=2a+bNu geldt h(0)=h(2)h(0)=h(2)h(0)=h(2) dus xtop=0+22=1x_{top}=\frac{0+2}{2}=1xtop=20+2=1Bereken de yyy-cöordinaat van de top.Vul hiervoor x=1x=1x=1 in de formule in.h(1)=−2⋅12+4⋅1−5h(1)=-2\cdot 1^2+4\cdot 1-5h(1)=−2⋅12+4⋅1−5=−2+4−5=−3=-2+4-5=-3=−2+4−5=−3Antwoord: De top is (1,−3)(1,-3)(1,−3)Stap 1: Maak een tabel rondom x=1x=1x=1xxx−3-3−3−2-2−2−1-1−1111222333555yyy−3-3−3Bereken de yyy-waarde bij elke xxx-waarde. h(−3)=−2(−3)2+4⋅−3−5h(-3)=-2(-3)^2+4\cdot -3-5h(−3)=−2(−3)2+4⋅−3−5=−2⋅9+−12−5=-2\cdot 9+-12-5=−2⋅9+−12−5=−18−12−5=-18-12-5=−18−12−5=−35=-35=−35xxx−3-3−3−2-2−2−1-1−1111222333555yyy−35-35−35−3-3−3Vul zo de hele tabel in.xxx−3-3−3−2-2−2−1-1−1111222333555yyy−35-35−35−21-21−21−11-11−11−3-3−3−5-5−5−11-11−11−35-35−35Stap 2: Teken een parabool bij de tabel.Teken hiervoor eerst een assenstelsel. Zorg dat je het assenstelsel groot genoeg maakt. In dit geval moeten we de yyy-waarden van -35 tot -3 kunnen zien.Zet de coördinaten uit de tabel in het assenstelsel.
Teken een vloeiende kromme door de punten.Antwoord: Om de breedte van de trekkershut te berekenen hebben we de snijpunten met de $b$-as nodig. Stap 1: Los op $h(b)=0$$-0,48b^2+2,4b=0$$b(-0,48b+2,4)=0$$b=0 \vee -0,48b+2,4=0$$b=0 \vee -0,48b=-2,4$$b=0 \vee b=5$Stap 2: Bereken de breedte van de hut. De hut is dus 5 meter breed. Antwoord: 5 meter.We moeten de coördinaten van de top berekenen.Stap 1: Bereken de $b$-coördinaat van de top.Gebruik $b_{top}=\frac{-b}{2a}$In deze formule is $a=-0,48, b=2,4$ en $c=0$$b_{top}=\frac{-2,4}{2\cdot -0,48}$$b_{top}=\frac{-2,4}{-0,96}$$b=2,5$Stap 2: Bereken de $h$-coördinaat van de top. $h(2,5)=-0,48(2,5)^2+2,4\cdot 2,5$$=-0,48\cdot 6,25+6$$-3+6=3$$h=3$Antwoord: De trekkershut is 3 meter hoog. Stap 1: Bereken $f(-5)$ en $f(4)$.$f(-5)=5\cdot (-5)^2+5\cdot -5-60$$=5\cdot 25-25-60$$=125-25-60=40$$f(4)=5\cdot 4^2+5\cdot 4-60$$=5\cdot 16+20-60$$=80+20-60=40$Dus er geldt inderdaad $f(-5)=f(4)$Stap 2: Gebruik de symmetrie van de parabool om $x_{top}$ te berekenen. Als geldt $f(a)=f(b)$ dan ligt $x_{top}$ precies tussen $a$ en $b$.$x_{top}$ ligt precies tussen -5 en 4, $x_{top}=\frac{a+b}{2}$$x_{top}=\frac{-5+4}{2}=-\frac{1}{2}$Antwoord: $x_{top}=-\frac{1}{2}$A en B zijn de snijpunten van $f$ met de $x$-as. In het snijpunt met de $x$-as geldt $y=0$. Stap 1: Los op $f(x)=0$$5x^2+5x-60=0$Deel eerst de hele vergelijking door 5. $x^2+x-12=0$Ontbind in factoren.Kijk welk product -12 oplevert en welke som 1 oplevert. $(x+4)(x-3)=0$ $x+4=0 \vee x-3=0$$x=-4 \vee x=3$Stap 2: Bepaal welke coördinaat bij A hoort en welke bij B.A ligt links van de $x$-as dus de $x$-coördinaat van A is negatief. $A(-4,0)$$B(3,0)$Antwoord: $A(-4,0)$ en $B(3,0)$C is het snijpunt van $f$ met de $y$-as. Hier is $x=0$.$f(0)=5\cdot 0^2+5\cdot 0-60$$=-60$Antwoord: $C(0,-60)$D en E zijn de snijpunten van $f$ en $g$.Stap 1: Los op $f(x)=g(x)$$5x^2+5x-60=-5x-45$Herleid op 0.$5x^2+5x-60+5x+45=0$$5x^2+10x-15=0$Deel door 5.$x^2+2x-3=0$Ontbind in factoren.$(x+3)(x-1)=0$$x+3=0 \vee x-1=0$$x=-3 \vee x=1$Stap 2: Bereken de $y$-coördinaten van de snijpunten.Vul $x=-3$ in in één van de twee formules, het maakt niet uit welke, beide zullen dezelfde uitkomst geven.$g(-3)=-5\cdot -3-45$$=15-45=-30$$D(-3,-30)$Vul $x=1$ in in één van de twee formules, het maakt niet uit welke, beide zullen dezelfde uitkomst geven.$g(1)=-5\cdot 1-45$$=-5-45=-50$$E(1,-50)$Antwoord: $D(-3,-30)$ en $E(1,-50)$ Stap 1: Bereken het snijpunt met de $y$-as. Als de grafiek de $y$-as snijdt, geldt $x=0$.Vul $x=0$ in.$h(0)=-3(0-2)(0+8)$$=-3\cdot -2\cdot 8$$=48$Het snijpunt met de $y$-as is $(0,48)$Stap 2: Lees de snijpunten met de $x$-as af.In een formule van de vorm $y=a(x-d)(x-e)$ zijn de snijpunten met de $x$-as $x=d$ en $x=e$.In dit geval is $d=2$ en $e=-8$.De snijpunten met de $x$-as zijn $(2,0)$ en $(-8,0)$Stap 3: Bereken de top van de grafiek.De top van een formule van de vorm $y=a(x-d)(x-e)$ bereken je met de formule $x_{top}=\frac{d+e}{2}$$x_{top}=\frac{2+-8}{2}$$=\frac{-6}{2}=-3$Vul $x_{top}=-3$ in $h$ in om de $y$-coördinaat van de top te berekenen.$h(-3)=-3(-3-2)(-3+8)$$=-3\cdot -5 \cdot 5$$=75$De coördinaten van de top zijn $(-3,75)$Antwoord: Het snijpunt met de $y$-as is $(0,48)$, met de $x$-as zijn $(2,0)$ en $(-8,0)$ en de top is $(-3,75)$. Stap 1: We schuiven de grafiek eerst naar rechts.De verschuivingen naar rechts en links zijn over de $x$-richting. Daarom halen we van de $x$ het aantal stapjes naar rechts af, of tellen we er het aantal stapjes naar links bij op. In dit geval wordt de grafiek twee naar rechts geschoven, naar rechts trekken we van $x$ af, dus we trekken twee van $x$ af.$y=-(x-2-2)^2+4$$y=-(x-4)^2+4$Stap 2: Vervolgens schuiven we de grafiek drie omlaag. Verschuivingen omhoog tellen we bij de functie op, verschuivingen omlaag trekken we van de functie af.We schuiven drie omlaag, dus we trekken drie van de functie af.$y=-(x-4)^2+4-3$$y=-(x-4)^2+1$Stap 3: Noem de functie $g$: $g(x)=-(x-4)^2+1$Antwoord: $g(x)=-(x-4)^2+1$Stap 1: We kijken eerst naar de verschuiving naar rechts of links. $k(x)=-(x\red{-2})^2+4$ naar $j(x)=-(x\red{+3})^2-1$We moeten van -2 naar +3, dat betekent dat we naar links moeten schuiven, want als we naar links schuiven tellen we er het aantal stappen van links bij op. Van -2 naar +3 is vijf stappen erbij. Dus 5 naar links. Stap 2: Vervolgens kijken we naar de verschuiving omhoog of omlaag. $k(x)=-(x-2)^2\red{+4}$ verschuiven om $j(x)=-(x+3)^2\red{-1}$We moeten van +4 naar -1, we moeten dus naar beneden schuiven.We schuiven de grafiek 5 omlaag.Antwoord: 5 naar links en 5 omlaag.
Deze toets bestellen?
Voordeligst
Lidmaatschap ToetsMij
€ 12,99/mnd
Snel nog even wat toetsen oefenen? Kies dan onze meest flexibele optie.