Getal en Ruimte 13e ed deel 1 - Hoofdstuk 3 - Kwadratische problemen oefentoetsen & antwoorden

Gebruik $x_{top}=\frac{-b}{2a}$In deze formule geldt $a=-2, b=-8$ en $c=-3$$x_{top}=\frac{- -8}{2\cdot -2}=\frac{8}{-4}=-2$Vul de $x$-coördinaat van de top in in de formule om de $y$-coördinaat van de top te berekenen.$f(-2)=-2\cdot (-2)^2-8\cdot -2-3$$=-2\cdot 4+16-3$$=-8+16-3=5$Antwoord: $(-2,5)$ Bereken de discriminant en gebruik:$D<0$, de vergelijking heeft geen oplossingen.$D=0$, de vergelijking heeft één oplossing.$D>0$, de vergelijking heeft twee oplossingen.Stap 1: Herleid op nul.Breng hiervoor $-2$ naar links.$x^2-3x+2\frac{1}{4}=0$Stap 2: Bereken de discriminant.In deze vergelijking geldt $a=1, b=-3, c=2\frac{1}{4}$$D=b^2-4ac$$D=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 2\frac{1}{4}$$D=9-9=0$Antwoord: $D=0$ dus de vergelijking heeft één oplossing. Stap 1: Werk de haakjes uit.$(\frac{1}{2}x+5)(\frac{1}{2}x+5)=x+13$  $\frac{1}{4}x^2+\frac{5}{2}x+\frac{5}{2}x+25=x+13$$\frac{1}{4}x^2+5x+25=x+13$Stap 2: Herleid op nul.Werk alle getallen naar links.$\frac{1}{4}x^2+4x+12=0$ (beide kanten $-x-13$)Stap 3: Werk de breuken weg.Vermenigvuldig met 4 om $\frac{1}{4}$ weg te werken.$x^2+16x+48=0$Stap 4: Ontbind in factoren.Begin bij de laatste term, wat is keer elkaar 48?Kijk vervolgens naar de tweede term, wat is opgeteld 16?$12\times 4=48$$12+4=16$Dus de termen die we zoeken zijn 12 en 4.$(x+12)(x+4)=0$$x+12=0 \vee x+4=0$ ($A\cdot B=0$ geeft $A=0 \vee B=0$)$x=-12 \vee x=-4$Antwoord: $x=-12 \vee x=-4$Deze vergelijking kunnen we schrijven naar de vorm $(x+p)^2=c$Stap 1: Herleid naar de vorm $(x+p)^2=c$.Alles behalve $(x-2)^2$ moet naar rechts.$-3(x-2)^2=-27$ (beide kanten $-5$)$(x-2)^2=9$ (beide kanten delen door $-3$)Stap 2: Gebruik de wortel om de vergelijking op te lossen.$x-2=\sqrt{9} \vee x-2=-\sqrt{9}$$x-2=3 \vee x-2=-3$$x=5 \vee x=-1$Antwoord: $x=5 \vee x=-1$ Bereken $h(5)$ en $h(12)$, denk aan de rekenvolgorde!$h(5)=6\cdot 5^2-3\cdot 5-8$$=6\cdot 25 -15-8$$=150-15-8=127$$h(12)=6\cdot 12^2-3\cdot 12-8$$=6\cdot 144-36-8$$=864-36-8=820$Antwoord: $h(5)=127$ en $h(12)=820$Vul $x=3$ in in de formule en kijk of de uitkomst 36 is.$h(3)=6\cdot 3^2-3\cdot 3-8$$=6\cdot 9-9-8$$=54-9-8=37$De uitkomst is niet 36.Antwoord: $(3,36)$ ligt niet op de grafiek. $g(x)=3(x+5)^2-9$In deze vorm van een kwadratische functie kun je de top aflezen.$y=a(x-p)^2+q$ geeft top $(p,q)$.In dit geval is de $p$ $-5$, $g(x)=3(x\red{+5})^2-9$$q$ is $-9$, $g(x)=3(x+5)^2\red{-9}$De coördinaten van de top zijn dus $(-5,-9)$$a=3>0$ dus dit is een dalparabool.Antwoord: Het minimum is -9$k(x)=-(x-7)(x+9)$In deze vorm van een kwadratische functie kun je $x_{top}$ als volgt berekenen.$y=a(x-d)(x-e)$ geeft $x_{top}=\frac{d+e}{2}$In dit geval is $d=7$ en $e=-9$, dus $x_{top}=\frac{7+-9}{2}=\frac{-2}{2}=-1$De $y$-coördinaat van de top kunnen we berekenen door $x_{top}=-1$ in te vullen in de formule. $k(-1)=-(-1-7)(-1+9)=-(-8)(8)=64$De coördinaten van de top zijn dus $(-1,64)$.$a=-1<0$ dus dit is een bergparabool.Antwoord: Het maximum is 64$j(x)=-0,5x^2+3x-2$In deze vorm van een kwadratische functie kun je $x_{top}$ als volgt berekenen.$y=ax^2+bx+c$ geeft $x_{top}=\frac{-b}{2a}$In dit geval is $a=-0,5$ en $b=3$, dus $x_{top}=\frac{-3}{2\cdot -0,5}=\frac{-3}{-1}=3$De $y$-coördinaat van de top kunnen we berekenen door $x_{top}=3$ in te vullen in de formule.$j(3)=-0,5(3)^2+3\cdot 3-2=2,5$De coördinaten van de top zijn dus $(3; 2,5)$$a=-0,5<0$ dus dit is een bergparabool.Antwoord: Het maximum is 2,5 Gebruik de ABC-formule.Stap 1: Bereken de discriminant.In deze formule geldt: $a=3, b=-6$ en $c=19$$D=b^2-4ac$$D=(-6)^2-4\cdot 3\cdot 19$$D=36-12\cdot 19$$D=36-228=-192$Antwoord: $D<0$ dus deze vergelijking heeft geen oplossingen. Gebruik de ABC-formule.Stap 1: Herleid op 0.Breng hiervoor $9x-5$ naar de andere kant. $-4x^2-9x+5=0$Stap 2: Bereken de discriminant.In deze formule geldt: $a=-4, b=-9$ en $c=5$$D=b^2-4ac$$D=(-9)^2-4\cdot -4\cdot 5$$D=81+16\cdot 5$$D=81+80=161$Stap 3: Bereken de oplossingen.$x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a} \vee x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$$x=\frac{--9-\sqrt{161}}{2\cdot -4} \vee x=\frac{--9+\sqrt{161}}{2\cdot -4}$$x=\frac{9-\sqrt{161}}{-8} \vee x=\frac{9+\sqrt{161}}{-8}$$x=0,46 \vee x=-2,71$Antwoord: $x=0,46 \vee x=-2,71$Als we -40 naar rechts doen krijgen we een vergelijking van de vorm $x^2=c$$x^2-40=8$$x^2=48$Gebruik de wortel om de vergelijking op te lossen.$x=\sqrt{48} \vee x=-\sqrt{48}$$x=6,93 \vee x=-6,93$Antwoord: $x=6,93 \vee x=-6,93$Stap 1: Werk de haakjes uit.$x(x+2)-8=5x+5$$x^2+2x-8=5x+5$Stap 2: Herleid op 0.$x^2+2x-8-5x-5=0$$x^2-3x-13=0$Stap 3: Gebruik de ABC-formule.In deze vergelijking is $a=1, b=-3, c=-13$Bereken de discriminant.$D=b^2-4ac$$D=(-3)^2-4\cdot 1\cdot -13$$D=9+52=61$Bereken $x$$x=\frac{--3-\sqrt{61}}{2\cdot 1} \vee x=\frac{--3+\sqrt{61}}{2\cdot 1}$$x=\frac{3-\sqrt{61}}{2} \vee x=\frac{3+\sqrt{61}}{2}$$x=-2,41 \vee x=5,41$Antwoord: $ x=-2,41 \vee x=5,41$ Stap 1: Bereken $f(-5)$ en $f(4)$.$f(-5)=5\cdot (-5)^2+5\cdot -5-60$$=5\cdot 25-25-60$$=125-25-60=40$$f(4)=5\cdot 4^2+5\cdot 4-60$$=5\cdot 16+20-60$$=80+20-60=40$Dus er geldt inderdaad $f(-5)=f(4)$Stap 2: Gebruik de symmetrie van de parabool om $x_{top}$ te berekenen. Als geldt $f(a)=f(b)$ dan ligt $x_{top}$ precies tussen $a$ en $b$.$x_{top}$ ligt precies tussen -5 en 4, $x_{top}=\frac{a+b}{2}$$x_{top}=\frac{-5+4}{2}=-\frac{1}{2}$Antwoord: $x_{top}=-\frac{1}{2}$A en B zijn de snijpunten van $f$ met de $x$-as. In het snijpunt met de $x$-as geldt $y=0$. Stap 1: Los op $f(x)=0$$5x^2+5x-60=0$Deel eerst de hele vergelijking door 5. $x^2+x-12=0$Ontbind in factoren.Kijk welk product -12 oplevert en welke som 1 oplevert. $(x+4)(x-3)=0$ $x+4=0 \vee x-3=0$$x=-4 \vee x=3$Stap 2: Bepaal welke coördinaat bij A hoort en welke bij B.A ligt links van de $x$-as dus de $x$-coördinaat van A is negatief. $A(-4,0)$$B(3,0)$Antwoord: $A(-4,0)$ en $B(3,0)$C is het snijpunt van $f$ met de $y$-as. Hier is $x=0$.$f(0)=5\cdot 0^2+5\cdot 0-60$$=-60$Antwoord: $C(0,-60)$D en E zijn de snijpunten van $f$ en $g$.Stap 1: Los op $f(x)=g(x)$$5x^2+5x-60=-5x-45$Herleid op 0.$5x^2+5x-60+5x+45=0$$5x^2+10x-15=0$Deel door 5.$x^2+2x-3=0$Ontbind in factoren.$(x+3)(x-1)=0$$x+3=0 \vee x-1=0$$x=-3 \vee x=1$Stap 2: Bereken de $y$-coördinaten van de snijpunten.Vul $x=-3$ in in één van de twee formules, het maakt niet uit welke, beide zullen dezelfde uitkomst geven.$g(-3)=-5\cdot -3-45$$=15-45=-30$$D(-3,-30)$Vul $x=1$ in in één van de twee formules, het maakt niet uit welke, beide zullen dezelfde uitkomst geven.$g(1)=-5\cdot 1-45$$=-5-45=-50$$E(1,-50)$Antwoord: $D(-3,-30)$ en $E(1,-50)$ Om de breedte van de trekkershut te berekenen hebben we de snijpunten met de $b$-as nodig. Stap 1: Los op $h(b)=0$$-0,48b^2+2,4b=0$$b(-0,48b+2,4)=0$$b=0 \vee -0,48b+2,4=0$$b=0 \vee -0,48b=-2,4$$b=0 \vee b=5$Stap 2: Bereken de breedte van de hut. De hut is dus 5 meter breed. Antwoord: 5 meter.We moeten de coördinaten van de top berekenen.Stap 1: Bereken de $b$-coördinaat van de top.Gebruik $b_{top}=\frac{-b}{2a}$In deze formule is $a=-0,48, b=2,4$ en $c=0$$b_{top}=\frac{-2,4}{2\cdot -0,48}$$b_{top}=\frac{-2,4}{-0,96}$$b=2,5$Stap 2: Bereken de $h$-coördinaat van de top. $h(2,5)=-0,48(2,5)^2+2,4\cdot 2,5$$=-0,48\cdot 6,25+6$$-3+6=3$$h=3$Antwoord: De trekkershut is 3 meter hoog. Van deze parabool weten we de snijpunten met de $x$-as, namelijk $(3,0)$ en $(-4,0)$. We kunnen dus het beste de vorm $y=a(x-d)(x-e)$ gebruiken.Stap 1: Vul in $d=3$ en $e=-4$$y=a(x-3)(x--4)$$y=a(x-3)(x+4)$Stap 2: Bereken $a$ door het punt $(2,6)$ in te vullen in de formule.$6=a(2-3)(2+4)$$6=a(-1)(6)$$6=a\cdot -1\cdot 6$$6=-6a$$a=-1$Antwoord: $y=-(x-3)(x+4)$ Stap 1: We kijken eerst naar de verschuiving naar rechts of links. $k(x)=-(x\red{-2})^2+4$ naar $j(x)=-(x\red{+3})^2-1$We moeten van -2 naar +3, dat betekent dat we naar links moeten schuiven, want als we naar links schuiven tellen we er het aantal stappen van links bij op. Van -2 naar +3 is vijf stappen erbij. Dus 5 naar links. Stap 2: Vervolgens kijken we naar de verschuiving omhoog of omlaag. $k(x)=-(x-2)^2\red{+4}$ verschuiven om $j(x)=-(x+3)^2\red{-1}$We moeten van +4 naar -1, we moeten dus naar beneden schuiven.We schuiven de grafiek 5 omlaag.Antwoord: 5 naar links en 5 omlaag. We weten van deze parabool de top. We gebruiken dus de formule van de vorm $y=a(x-p)^2+q$, hierbij is de top $(p,q)$.Stap 1: Vul de top in in de formule. $y=a(x-3)^2+5$Stap 2: Vul het extra gegeven punt in om $a$ te berekenen.In dit geval is $(-2, 55)$ gegeven naast de top.$55=a(-2-3)^2+5$Los de vergelijking op.$50=a(-5)^2$ (5 naar de andere kant)$50=25a$$a=2$Antwoord: $y=2(x-3)^2+5$ Stap 1: Bepaal of fff een berg- of dalparabool is.a=−1a=-1a=−1, a<0a<0a<0 dus dit is een bergparabool.Stap 2: Voor de ligging ten opzichte van de xxx-as bekijken we de discriminant. Als D<0D<0D<0 snijdt de parabool de xxx-as niet.Als D=0D=0D=0 heeft de grafiek één snijpunt met de xxx-as.Als D>0D>0D>0 snijdt de grafiek de xxx-as twee keer.Bereken de discriminant.In deze formule geldt: a=−1,b=−3,c=−7a=-1, b=-3, c=-7a=−1,b=−3,c=−7D=b2−4acD=b^2-4acD=b2−4acD=(−3)2−4⋅−1⋅−7D=(-3)^2-4\cdot -1\cdot -7D=(−3)2−4⋅−1⋅−7D=9+4⋅−7D=9+4\cdot -7D=9+4⋅−7D=9−28D=9-28D=9−28D=−19D=-19D=−19De discriminant is kleiner dan 0, dus de grafiek snijdt de xxx-as niet. Stap 3: Schets de parabool.We moeten dus een bergparabool onder de xxx-as schetsen, zodat deze de xxx-as niet snijdt. Antwoord: