Moderne Wiskunde 13e ed deel A - Hoofdstuk 3 - Parabolen oefentoetsen & antwoorden

Deze vierhoek is niet lijnsymmetrisch dus het trapezium is niet gelijkbenig.  Als de twee figuren een vergroting van elkaar zijn, moet de deling van elke paar overeenkomende zijden hetzelfde opleveren.$20:30=0,666…$$20,6:30,7=0,671…$Antwoord: De twee delingen leveren niet exact dezelfde factor op, dus de figuren zijn geen vergroting van elkaar. $\angle A_4=\angle A_2$ omdat het overstaande hoeken zijn.$\angle A_4=\angle B_4$ wegens F-hoeken.$\angle B_4=\angle B_2$ omdat het overstaande hoeken zijn. Antwoord: $\angle A_4=\angle A_2=\angle B_4=\angle B_2$ $\angle A=\angle B$ (basishoeken gelijkbenige driehoek)$\angle A+\angle B+\angle C=180^circ$ (hoekensom driehoek)Deze twee punten samen geven:$\angle A+\angle A+\angle C=180^\circ$$2\angle A+\angle C=180^\circ$Beide kanten $-2\angle A$$\angle C=180^\circ-2\angle A$ Bereken de hoeken die je niet weet.∠B=180∘−30−34=116∘\angle B=180^\circ-30-34=116^\circ∠B=180∘−30−34=116∘∠F=180∘−34−116=30∘\angle F=180^\circ-34-116=30^\circ∠F=180∘−34−116=30∘∠A=∠D\angle A=\angle D∠A=∠D∠B=∠E\angle B=\angle E∠B=∠E∠C=∠F\angle C=\angle F∠C=∠FDus alle drie de hoeken zijn gelijk, de driehoeken zijn gelijkvormig.Stap 1: Teken een tabel. Zet gelijkvormige zijden onder elkaar.Zet de grootste driehoek op de bovenste rij.zijden △DEFzijden\ \triangle DEFzijden △DEFDE=…DE=…DE=…EF=…EF=…EF=…DF=9DF=9DF=9zijden △ABCzijden\ \triangle ABCzijden △ABCAB=2AB=2AB=2BC=3BC=3BC=3AC=4AC=4AC=4Stap 2: Bereken de factor. Gebruik twee zijden onder elkaar die je weet. We weten zijden DF=9DF=9DF=9 en AC=4AC=4AC=4factor=9:4=2,25factor=9:4=2,25factor=9:4=2,25Stap 3: Gebruik de factor om de gevraagde zijde te berekenen. We willen EFEFEF weten. EFEFEF is gelijkvormig aan zijde BCBCBC, vermenigvuldig de lengte van zijde BCBCBC met de factor.EF=3×2,25=6,75EF=3\times 2,25=6,75EF=3×2,25=6,75Antwoord: EF=6,75EF=6,75EF=6,75 Stap 1: Omdat  $AB$ en $CD$ evenwijdig zijn kunnen we Z-hoeken gebruiken.o   $AB // CD$ dus $\angle B_2=\angle D_1=72^\circ$Stap 2: We gebruiken de hoekensom van een driehoek om $\angle B_1$ te berekenen.o   $\angle C+\angle B_1+\angle D_1=180^\circ$o   $45+\angle B_1+72=180^\circ$o   $117+\angle B_1=180^\circ$o   $\angle B_1=180-117=63^\circ$Antwoord: $\angle B_1=63^\circ$OfStap 1: We gebruiken in $\triangle ABD$ de hoekensom van een driehoek.$\angle A+\angle B+\angle D_2=180^\circ$$56+72+\angle D_2=180^\circ$$128+\angle D_2=180^\circ$$\angle D_2=180-128=52^\circ$Stap 2: Omdat  $AB$ en $CD$ evenwijdig zijn kunnen we Z-hoeken gebruiken.$AB // CD$ dus $\angle B_2=\angle D_1=72^\circ$$\angle D=\angle D_1+\angle D_2=52+72=124^\circ$Stap 3: We gebruiken de hoekensom van een vierhoek om $\angle B$ te berekenen.$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^\circ$$56+\angle B+45+124=360^\circ$$255+\angle B=360^\circ$$\angle B=360-255=135^\circ$Stap 4: We berekenen $\angle B_1$$\angle B_1=\angle B-\angle B_2$$\angle B_1=135-72=63^\circ$Antwoord: $\angle B_1=63^\circ$ Gebruik de hoekensom van een driehoek in $\triangle CFE$$\angle C+\angle F_1+\angle E_1=180^\circ$ (hoekensom driehoek)Dus $\angle C=180^\circ -\angle F_1-\angle E_1$$\angle F_1=90^\circ$Dus $\angle C=180^\circ-90^\circ-\angle E_1$$\angle C=90^\circ-\angle E_1$$\angle E=\angle E_1+\angle E_2=90^\circ$ (gegeven)Dus $\angle E_1=90^\circ-\angle E_2$Vul $\angle E_1=90^\circ-\angle E_2$ in in $\angle C=90^\circ-\angle E_1$Dus $\angle C=90^\circ-(90^\circ-\angle E_2)$$\angle C=\angle E_2$Hiermee is het gevraagde bewezen. Stap 1: Teken een assenstelsel met de punten AAA en BBB. Stap 2: Spiegel de punten in de xxx-as zodat we een lijnsymmetrische vierhoek krijgen.Spiegel het punt AAA in de xxx-as.De yyy-coördinaat van AAA is 4, dus de yyy-coördinaat van AAA gespiegeld in de xxx-as is -4. Noem het punt CCC.Spiegel het punt BBB in de xxx-as.De yyy-coördinaat van BBB is 3, dus de yyy-coördinaat van BBB gespiegeld in de xxx-as is -3. Noem het punt DDD.Stap 3: Teken het vierhoek door de punten.Antwoord: Doordat het trapezium lijnsymmetrisch is in de xxx-as is dit een gelijkbenig trapezium. Stap 1: Toon gelijkvormigheid aan.∠E=∠I\angle E=\angle I∠E=∠I (Z-hoeken)∠F=∠H\angle F=\angle H∠F=∠H (Z-hoeken)∠G1=∠G2\angle G_1=\angle G_2∠G1​=∠G2​ (overstaande hoeken)Dus △EFG∼△IHG\triangle EFG \sim \triangle IHG△EFG∼△IHG  Let op dat je gelijke hoeken op gelijke plekken zet!Stap 2: Maak een verhoudingstabel. Zet de grootste driehoek op de bovenste rij van de tabel. GI=EI−EGGI=EI-EGGI=EI−EGGI=24−6=18GI=24-6=18GI=24−6=18zijden △IHGzijden\ \triangle IHGzijden △IHGIH=…IH=…IH=…HG=…HG=…HG=…GI=18GI=18GI=18zijden △EFGzijden\ \triangle EFGzijden △EFGEF=7EF=7EF=7FG=…FG=…FG=…GE=6GE=6GE=6Stap 3: Bereken de factor. Gebruik twee zijden onder elkaar die je weet. We weten zijden GI=18GI=18GI=18 en GE=6GE=6GE=6factor=18:6=3factor=18:6=3factor=18:6=3Stap 4: Gebruik de factor om de gevraagde zijde te berekenen. We willen IHIHIH weten. IHIHIH is gelijkvormig aan zijde EFEFEF, vermenigvuldig de lengte van zijde EFEFEF met de factor.IH=7×3=21IH=7\times 3=21IH=7×3=21Antwoord: IH=21IH=21IH=21 We willen de lengte van ABABAB berekenen. Hiervoor kunnen we de gelijkvormigheid van △AED\triangle AED△AED en △ABC\triangle ABC△ABC gebruiken.Stap 1: We tonen gelijkvormigheid aan.∠A\angle A∠A in driehoek ADEADEADE en ∠A\angle A∠A in driehoek ABCABCABC zijn logischerwijs gelijk.∠E\angle E∠E en ∠B\angle B∠B zijn beide rechte hoeken, (een zendmast staat loodrecht) deze hoeken zijn dus ook gelijk.Uit bovenstaande concluderen we dat △ABC∼△AED Stap 2: Maak een verhoudingstabel. Zet de grootste driehoek op de bovenste rij van de tabel. zijden △ABCzijden\ \triangle ABCzijden △ABCAB=…AB=…AB=…BC=300BC=300BC=300AC=…AC=…AC=…zijden △AEDzijden\ \triangle AEDzijden △AEDAE=0,5AE=0,5AE=0,5ED=0,04ED=0,04ED=0,04AD=…AD=…AD=…Stap 3: Bereken de factor. Gebruik twee zijden onder elkaar die je weet. We weten zijden BC=300BC=300BC=300 en ED=0,04ED=0,04ED=0,04factor=300:0,04=7500factor=300:0,04=7500factor=300:0,04=7500Stap 4: Gebruik de factor om de gevraagde zijde te berekenen. We willen ABABAB weten. ABABAB is gelijkvormig aan zijde AEAEAE, vermenigvuldig de lengte van zijde AEAEAE met de factor.AB=0,5×7500=3750AB=0,5\times 7500=3750AB=0,5×7500=3750Antwoord: 3750 meter.