Moderne Wiskunde 13e ed deel A - Hoofdstuk 4 - De abc-formule oefentoetsen & antwoorden

atste term, wat is keer elkaar 7?Kijk vervolgens naar de tweede term, wat is opgeteld -8?$-7\times -1=7$$-7+-1=-8$Dus de termen die we zoeken zijn -7 en -1.$(x-7)(x-1)=0$$x-7=0$ of $x-1=0$$x=7$ of $x=1$Antwoord: $x=7$ of $x=1$ Bereken de discriminant en gebruik:D<0D<0D<0, de vergelijking heeft geen oplossingen.D=0D=0D=0, de vergelijking heeft één oplossing.D>0D>0D>0, de vergelijking heeft twee oplossingen.Stap 1: Herleid op nul.Breng hiervoor −2-2−2 naar links.x2−3x+214=0x^2-3x+2\frac{1}{4}=0x2−3x+241​=0Stap 2: Bereken de discriminant.In deze vergelijking geldt a=1,b=−3,c=214a=1, b=-3, c=2\frac{1}{4}a=1,b=−3,c=241​D=b2−4acD=b^2-4acD=b2−4acD=(−3)2−4⋅1⋅214D=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 2\frac{1}{4}D=(−3)2−4⋅1⋅241​D=9−9=0D=9-9=0D=9−9=0Antwoord: D=0D=0D=0 dus de vergelijking heeft één oplossing. Stap 1: Schrijf de vergelijking in de vorm (x+…)2−(…)2+4=0(x+…)^2-(…)^2+4=0(x+…)2−(…)2+4=0We kijken naar de tweede term van de vergelijking, dit is 12, deze delen we door 2 en de uitkomst zetten we op de puntjes. Let op! De tweede term van de vergelijking is positief, dus we schrijven tussen de haakjes x+…x\red{+}…x+…(x+6)2−(6)2+4=0(x+6)^2-(6)^2+4=0(x+6)2−(6)2+4=0Stap 2: Schrijf de vergelijking korter. (x+6)2−36+4=0(x+6)^2-36+4=0(x+6)2−36+4=0(x+6)2−32=0(x+6)^2-32=0(x+6)2−32=0Stap 3: Schrijf de vergelijking naar de vorm (x+…)2=…(x+…)^2=…(x+…)2=…(x+6)2=32(x+6)^2=32(x+6)2=32 (beide kanten +32+32+32)Stap 4: Los de vergelijking op met behulp van de wortel.x+6=32x+6=\sqrt{32}x+6=32​ of x+6=−32x+6=-\sqrt{32}x+6=−32​ (de wortel is het tegenovergestelde van het kwadraat, dus het kwadraat kunnen we wegwerken door beide kanten de wortel te nemen)x=−6+32x=-6+\sqrt{32}x=−6+32​ of x=−6−32x=-6-\sqrt{32}x=−6−32​ (beide kanten −6-6−6)Antwoord: x=−6+32x=-6+\sqrt{32}x=−6+32​ of x=−6−32x=-6-\sqrt{32}x=−6−32​Stap 1: Schrijf de vergelijking in de vorm (m−…)2−(…)2+30=0(m-…)^2-(…)^2+30=0(m−…)2−(…)2+30=0We kijken naar de tweede term van de vergelijking, dit is -10, deze delen we door 2 en de uitkomst zetten we op de puntjes. Let op! De tweede term van de vergelijking is negatief, dus we schrijven tussen de haakjes m−…m\red{-}…m−…(m−5)2−(−5)2+30=0(m-5)^2-(-5)^2+30=0(m−5)2−(−5)2+30=0Stap 2: Schrijf de vergelijking korter. (m−5)2−25+30=0(m-5)^2-25+30=0(m−5)2−25+30=0(m−5)2+5=0(m-5)^2+5=0(m−5)2+5=0Stap 3: Schrijf de vergelijking naar de vorm (m−…)2=…(m-…)^2=…(m−…)2=…(m−5)2=−5(m-5)^2=-5(m−5)2=−5 (beide kanten −5-5−5)Stap 4: Los de vergelijking op met behulp van de wortel.Als we hier de wortel nemen krijgen we −5\sqrt{-5}−5​. Maar een negatief getal onder de wortel geeft geen oplossing. Dus deze vergelijking heeft geen oplossing.Antwoord: Geen oplossing Gebruik de ABC-formule.Stap 1: Bereken de discriminant.In deze formule geldt: a=3,b=−6a=3, b=-6a=3,b=−6 en c=19c=19c=19D=b2−4acD=b^2-4acD=b2−4acD=(−6)2−4⋅3⋅19D=(-6)^2-4\cdot 3\cdot 19D=(−6)2−4⋅3⋅19D=36−12⋅19D=36-12\cdot 19D=36−12⋅19D=36−228=−192D=36-228=-192D=36−228=−192Antwoord: D<0D<0D<0 dus deze vergelijking heeft geen oplossingen. Gebruik de ABC-formule.Stap 1: Herleid op 0.Breng hiervoor 9x−59x-59x−5 naar de andere kant. −4x2−9x+5=0-4x^2-9x+5=0−4x2−9x+5=0Stap 2: Bereken de discriminant.In deze formule geldt: a=−4,b=−9a=-4, b=-9a=−4,b=−9 en c=5c=5c=5D=b2−4acD=b^2-4acD=b2−4acD=(−9)2−4⋅−4⋅5D=(-9)^2-4\cdot -4\cdot 5D=(−9)2−4⋅−4⋅5D=81+16⋅5D=81+16\cdot 5D=81+16⋅5D=81+80=161D=81+80=161D=81+80=161Stap 3: Bereken de oplossingen.x=−b−D2ax=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a} x=2a−b−D​​ of x=−b+D2a x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}x=2a−b+D​​x=−−9−1612⋅−4x=\frac{--9-\sqrt{161}}{2\cdot -4} x=2⋅−4−−9−161​​ ofx=−−9+1612⋅−4 x=\frac{--9+\sqrt{161}}{2\cdot -4} x=2⋅−4−−9+161​​x=9−161−8x=\frac{9-\sqrt{161}}{-8} x=−89−161​ ​ ofx=9+161−8 x=\frac{9+\sqrt{161}}{-8} x=−89+161​​x=0,46x=0,46 x=0,46 ofx=−2,71 x=-2,71 x=−2,71Antwoord: x=0,46x=0,46 x=0,46 ofx=−2,71 x=-2,71 x=−2,71Stap 1: Werk de haakjes uit.x(x+2)−8=5x+5x(x+2)-8=5x+5x(x+2)−8=5x+5x2+2x−8=5x+5x^2+2x-8=5x+5x2+2x−8=5x+5Stap 2: Herleid op 0.x2+2x−8−5x−5=0x^2+2x-8-5x-5=0x2+2x−8−5x−5=0x2−3x−13=0x^2-3x-13=0x2−3x−13=0Stap 3: Gebruik de ABC-formule.In deze vergelijking is a=1,b=−3,c=−13a=1, b=-3, c=-13a=1,b=−3,c=−13Bereken de discriminant.D=b2−4acD=b^2-4acD=b2−4acD=(−3)2−4⋅1⋅−13D=(-3)^2-4\cdot 1\cdot -13D=(−3)2−4⋅1⋅−13D=9+52=61D=9+52=61D=9+52=61Bereken xxxx=−−3−612⋅1x=\frac{--3-\sqrt{61}}{2\cdot 1} x=2⋅1−−3−61​​ ofx=−−3+612⋅1 x=\frac{--3+\sqrt{61}}{2\cdot 1} x=2⋅1−−3+61​​x=3−612x=\frac{3-\sqrt{61}}{2} x=23−61​​ ofx=3+612 x=\frac{3+\sqrt{61}}{2} x=23+61​​x=−2,41x=-2,41 x=−2,41 ofx=5,41 x=5,41 x=5,41Antwoord: x=−2,41 x=-2,41 x=−2,41 ofx=5,41 x=5,41 x=5,41 Deze vergelijking kunnen we schrijven naar de vorm (x+p)2=c(x+p)^2=c(x+p)2=cStap 1: Herleid naar de vorm (x+p)2=c(x+p)^2=c(x+p)2=c.Alles behalve (x−2)2(x-2)^2(x−2)2 moet naar rechts.−3(x−2)2=−27-3(x-2)^2=-27−3(x−2)2=−27 (beide kanten −5-5−5)(x−2)2=9(x-2)^2=9(x−2)2=9 (beide kanten delen door −3-3−3)Stap 2: Gebruik bordjes om de vergelijking op te lossen.(3)2=9(3)^2=9(3)2=9 of (−3)2=9(-3)^2=9(−3)2=9x−2=3x-2=3x−2=3 of x−2=−3x-2=-3x−2=−3x=5x=5x=5 of x=−1x=-1x=−1Antwoord: x=5x=5 x=5 ofx=−1 x=-1 x=−1 Stap 1: Herleid op nul.Werk alle getallen naar links.14x2+4x+12=0\frac{1}{4}x^2+4x+12=041​x2+4x+12=0 (beide kanten −x−13-x-13−x−13)Stap 2: Werk de breuken weg en zorg dat a=1a=1a=1Vermenigvuldig met 4 om 14\frac{1}{4}41​ weg te werken.x2+16x+48=0x^2+16x+48=0x2+16x+48=0Stap 3: Ontbind in factoren.Begin bij de laatste term, wat is keer elkaar 48?Kijk vervolgens naar de tweede term, wat is opgeteld 16?12×4=4812\times 4=4812×4=4812+4=1612+4=1612+4=16Dus de termen die we zoeken zijn 12 en 4.(x+12)(x+4)=0(x+12)(x+4)=0(x+12)(x+4)=0x+12=0x+12=0x+12=0 of x+4=0x+4=0x+4=0 (A⋅B=0A\cdot B=0A⋅B=0 geeft A=0A=0A=0 of B=0B=0B=0)x=−12x=-12x=−12 of x=−4x=-4x=−4Antwoord: x=−12x=-12x=−12 of x=−4x=-4x=−4 Een merkwaardig product is van de vorm (x+p)(x−p)=0(x+p)(x-p)=0(x+p)(x−p)=0Stap 1: Zorg dat a=1a=1a=1.Vermenigvuldig de vergelijking met -1.x2−144=0x^2-144=0x2−144=0Stap 2: Bedenk welk getal keer zichzelf 144 is.12⋅12=14412\cdot 12=14412⋅12=144p=12p=12p=12Stap 3: Schrijf de vergelijking als merkwaardig product.(x+12)(x−12)=0(x+12)(x-12)=0(x+12)(x−12)=0Stap 4: Los de vergelijking op.x+12=0x+12=0x+12=0 of x−12=0x-12=0x−12=0x=−12x=-12x=−12 of x=12x=12x=12Antwoord: x=−12x=-12x=−12 of x=12x=12x=12 Stap 1: Stel de vergelijking op.We willen weten wanneer de bal op 2 meter hoogte is, hiervoor stellen we de formule gelijk aan 2.$-0,05a^2+0,7a+0,55=2$Stap 2: Herleid op 0.$-0,05a^2+0,7a+0,55-2=0$ (Beide kanten -2)$-0,05a^2+0,7a-1,45=0$Stap 3: Gebruik de ABC-formule.In deze vergelijking is $a=-0,05, b=0,7, c=-1,45$Bereken de discriminant.$D=b^2-4ac$$D=(0,7)^2-4\cdot -0,05\cdot -1,45$$D=0,49-0,29=0,2$Bereken $a$$a=\frac{-0,7-\sqrt{0,2}}{2\cdot -0,05} $ of $ a=\frac{-0,7+\sqrt{0,2}}{2\cdot -0,05}$$a=\frac{-0,7-\sqrt{0,2}}{-0,1} $ of $ a=\frac{-0,7+\sqrt{0,2}}{-0,1}$$a=11,47 $ of $ a=2,53$Antwoord: na 2,53 meter is de bal voor het eerst op 2 meter hoogte, na 11,47 meter voor de tweede keer.  A en B zijn de snijpunten van $f$ met de $x$-as. In het snijpunt met de $x$-as geldt $y=0$. Stap 1: Los op $f(x)=0$$5x^2+5x-60=0$Deel eerst de hele vergelijking door 5. $x^2+x-12=0$Ontbind in factoren.Kijk welk product -12 oplevert en welke som 1 oplevert. $(x+4)(x-3)=0$ $x+4=0 $ of $ x-3=0$$x=-4 $ of $ x=3$Stap 2: Bepaal welke coördinaat bij A hoort en welke bij B.A ligt links van de $x$-as dus de $x$-coördinaat van A is negatief. $A(-4,0)$$B(3,0)$Antwoord: $A(-4,0)$ en $B(3,0)$C is het snijpunt van $f$ met de $y$-as. Hier is $x=0$.$f(0)=5\cdot 0^2+5\cdot 0-60$$=-60$Antwoord: $C(0,-60)$D en E zijn de snijpunten van $f$ en $g$.Stap 1: Los op $f(x)=g(x)$$5x^2+5x-60=-5x-45$Herleid op 0.$5x^2+5x-60+5x+45=0$$5x^2+10x-15=0$Deel door 5.$x^2+2x-3=0$Ontbind in factoren.$(x+3)(x-1)=0$$x+3=0 $ of $ x-1=0$$x=-3 $ of $ x=1$Stap 2: Bereken de $y$-coördinaten van de snijpunten.Vul $x=-3$ in in één van de twee formules, het maakt niet uit welke, beide zullen dezelfde uitkomst geven.$g(-3)=-5\cdot -3-45$$=15-45=-30$$D(-3,-30)$Vul $x=1$ in in één van de twee formules, het maakt niet uit welke, beide zullen dezelfde uitkomst geven.$g(1)=-5\cdot 1-45$$=-5-45=-50$$E(1,-50)$Antwoord: $D(-3,-30)$ en $E(1,-50)$ Om de breedte van de trekkershut te berekenen hebben we de snijpunten met de bbb-as nodig. Stap 1: Los op h(b)=0h(b)=0h(b)=0−0,48b2+2,4b=0-0,48b^2+2,4b=0−0,48b2+2,4b=0b(−0,48b+2,4)=0b(-0,48b+2,4)=0b(−0,48b+2,4)=0b=0b=0 b=0 of−0,48b+2,4=0 -0,48b+2,4=0 −0,48b+2,4=0b=0b=0 b=0 of−0,48b=−2,4 -0,48b=-2,4 −0,48b=−2,4b=0b=0 b=0 ofb=5 b=5 b=5Stap 2: Bereken de breedte van de hut. De hut is dus 5 meter breed. Antwoord: 5 meter.