Getal en Ruimte 13e ed deel 1 - Hoofdstuk 5 - Vaardigheden en vergelijkingen oefentoetsen & antwoorden

De term boven de deelstreep noemen we de teller. De term onder de deelstreep noemen we de noemer.Hier is de noemer $3+y$Antwoord: $3+y$ Werk de haakjes uit.16a−10a2−24+15a16a-10a^2-24+15a16a−10a2−24+15aNeem gelijksoortige termen samen en zet de termen met de hoogste macht vooraan.−10a2+31a−24-10a^2+31a-24−10a2+31a−24Antwoord: −10a2+31a−24-10a^2+31a-24−10a2+31a−24Schrijf eerst het kwadraat als dubbele haakjes. (4x+5)(4x+5)(4x+5)(4x+5)(4x+5)(4x+5)Werk de haakjes uit.16x2+20x+20x+2516x^2+20x+20x+2516x2+20x+20x+25Neem gelijksoortige termen samen en zet de termen met de hoogste macht vooraan.16x2+40x+2516x^2+40x+2516x2+40x+25Antwoord: 16x2+40x+2516x^2+40x+2516x2+40x+25 Stap 1: Kijk naar de tweede term. Deel deze door twee en vul hem in. De tweede term is -8, −8:2=−4-8:2=-4−8:2=−4(x−4)2…(x-4)^2…(x−4)2…Stap 2: Trek eraf wat je te veel hebt gerekend. We hebben (−4)2=16(-4)^2=16(−4)2=16 te veel gerekend. (x−4)2−16…(x-4)^2-16…(x−4)2−16…Stap 3: Schrijf de rest van de uitdrukking erachter.(x−4)2−16+134(x-4)^2-16+1\frac{3}{4}(x−4)2−16+143​Stap 4: Schrijf de uitdrukking korter. (x−4)2−1414(x-4)^2-14\frac{1}{4}(x−4)2−1441​Antwoord: (x−4)2−1414(x-4)^2-14\frac{1}{4}(x−4)2−1441​Stap 1: Kijk naar de tweede term. Deel deze door twee en vul hem in. De tweede term is 12\frac{1}{2}21​, 12:2=14\frac{1}{2}:2=\frac{1}{4}21​:2=41​(x+14)2…(x+\frac{1}{4})^2…(x+41​)2…Stap 2: Trek eraf wat je te veel hebt gerekend. We hebben (14)2=116(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}(41​)2=161​ te veel gerekend. (x+14)2−116…(x+\frac{1}{4})^2-\frac{1}{16}…(x+41​)2−161​…Stap 3: Schrijf de rest van de uitdrukking erachter.(x+14)2−116−13(x+\frac{1}{4})^2-\frac{1}{16}-13(x+41​)2−161​−13Stap 4: Schrijf de uitdrukking korter. (x+14)2−13116(x+\frac{1}{4})^2-13\frac{1}{16}(x+41​)2−13161​Antwoord: (x+14)2−13116(x+\frac{1}{4})^2-13\frac{1}{16}(x+41​)2−13161​ We gebruiken kruislings vermenigvuldigen.Stap 1: Kruislings vermenigvuldigen.Denk aan de haakjes.5(2x−8)=2(8−x)5(2x-8)=2(8-x)5(2x−8)=2(8−x)10x−40=16−2x10x-40=16-2x10x−40=16−2xStap 2: Los de vergelijking op.12x=5612x=5612x=56x=423x=4\frac{2}{3}x=432​Antwoord: x=423x=4\frac{2}{3}x=432​Stap 1: Herschrijf de vergelijking zodat aan beide kanten van de === een breuk staat. x−37x+3=7\frac{x-3}{7x+3}=77x+3x−3​=7x−37x+3=71\frac{x-3}{7x+3}=\frac{7}{1}7x+3x−3​=17​Stap 2: Kruislings vermenigvuldigen.x−3=7(7x+3)x-3=7(7x+3)x−3=7(7x+3)x−3=49x+21x-3=49x+21x−3=49x+21Stap 3: Los de vergelijking op. −48x=24-48x=24−48x=24x=−2448=−12x=-\frac{24}{48}=-\frac{1}{2}x=−4824​=−21​Antwoord: x=−12x=-\frac{1}{2}x=−21​ Stap 1: Werk de haakjes uit.Gebruik A⋅B=A⋅B\sqrt{A}\cdot \sqrt{B}=\sqrt{A\cdot B}A​⋅B​=A⋅B​. 215+149−525−35152\sqrt{15}+14\sqrt{9}-5\sqrt{25}-35\sqrt{15}215​+149​−525​−3515​Stap 2: Schrijf de uitdrukking zo kort mogelijk.Reken de wortels die je uit kunt rekenen uit.215+14⋅3−5⋅5−35152\sqrt{15}+14\cdot 3-5\cdot 5-35\sqrt{15}215​+14⋅3−5⋅5−3515​Reken de keersommen uit. 215+42−25−35152\sqrt{15}+42-25-35\sqrt{15}215​+42−25−3515​215+17−35152\sqrt{15}+17-35\sqrt{15}215​+17−3515​Neem de gelijksoortige termen samen.Doordat 2152\sqrt{15}215​ en −3515-35\sqrt{15}−3515​ precies dezelfde wortel hebben, mogen we ze van elkaar af trekken.−3315+17-33\sqrt{15}+17−3315​+17Antwoord: −3315+17-33\sqrt{15}+17−3315​+17Stap 1: Herschrijf 63\sqrt{63}63​Omdat 63=9⋅763=9\cdot 763=9⋅7 kunnen we schrijven:197−29⋅719\sqrt{7}-2\sqrt{9\cdot 7}197​−29⋅7​Gebruik de regel A⋅B=A⋅B\sqrt{A\cdot B}=\sqrt{A}\cdot \sqrt{B}A⋅B​=A​⋅B​197−29⋅719\sqrt{7}-2\sqrt{9}\cdot \sqrt{7}197​−29​⋅7​Stap 2: Reken 9\sqrt{9}9​ uit.197−2⋅3⋅719\sqrt{7}-2\cdot 3\cdot \sqrt{7}197​−2⋅3⋅7​Stap 3: Schrijf de uitdrukking zo kort mogelijk. 197−6719\sqrt{7}-6\sqrt{7}197​−67​13713\sqrt{7}137​Antwoord: 13713\sqrt{7}137​Stap 1: Herschrijf de breuk in de wortel.Zet de helen in de breuk.254−28\sqrt{\frac{25}{4}}-2\sqrt{8}425​​−28​Gebruik AB=AB\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}BA​​=B​A​​254−28\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}-2\sqrt{8}4​25​​−28​Stap 2: Reken de wortels uit. 54−28\frac{5}{4}-2\sqrt{8}45​−28​Stap 3: Herschrijf −28-2\sqrt{8}−28​4⋅2=84\cdot 2=84⋅2=8 dus we kunnen schrijven:54−24⋅2\frac{5}{4}-2\sqrt{4}\cdot \sqrt{2}45​−24​⋅2​Reken de wortel 4\sqrt{4}4​ uit. 54−2⋅2⋅2\frac{5}{4}-2\cdot 2\cdot \sqrt{2}45​−2⋅2⋅2​54−42\frac{5}{4}-4\sqrt{2}45​−42​Antwoord: 54−42\frac{5}{4}-4\sqrt{2}45​−42​Stap 1: Reken de keersom uit.Twee breuken vermenigvuldigen geeft teller⋅tellernoemer⋅noemer\frac{teller\cdot teller}{noemer\cdot noemer}noemer⋅noemerteller⋅teller​13⋅23⋅5−312\frac{13\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{5}}-3\sqrt{12}3​⋅5​13⋅2​​−312​13215−312\frac{13\sqrt{2}}{\sqrt{15}}-3\sqrt{12}15​132​​−312​Stap 2: Haal de wortel uit de noemer. Vermenigvuldig met 1515\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}15​15​​ om de wortel uit de noemer weg te werken.13215⋅1515−312\frac{13\sqrt{2}}{\sqrt{15}}\cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}-3\sqrt{12}15​132​​⋅15​15​​−312​132⋅1515⋅15−312\frac{13\sqrt{2}\cdot \sqrt{15}}{\sqrt{15}\cdot \sqrt{15}}-3\sqrt{12}15​⋅15​132​⋅15​​−312​Als we een wortel met zichzelf vermenigvuldigen, valt de wortel weg. 133015−312\frac{13\sqrt{30}}{15}-3\sqrt{12}151330​​−312​Stap 3: Herschrijf 3123\sqrt{12}312​4⋅3=124\cdot 3=124⋅3=12 dus we kunnen schrijven:133015−34⋅2\frac{13\sqrt{30}}{15}-3\sqrt{4}\cdot \sqrt{2}151330​​−34​⋅2​Reken 4\sqrt{4}4​ uit.133015−3⋅2⋅2\frac{13\sqrt{30}}{15}-3\cdot 2\cdot \sqrt{2}151330​​−3⋅2⋅2​133015−62\frac{13\sqrt{30}}{15}-6\sqrt{2}151330​​−62​Korter kunnen we de uitdrukking niet schrijven, er staat geen wortel meer in de noemer dus we zijn klaar. We halen de wortel in de teller wel nog buiten de breuk.Antwoord: 131530−62\frac{13}{15}\sqrt{30}-6\sqrt{2}1513​30​−62​ Schrijf het kwadraat als dubbele haakjes.2(3b−3)(3b−3)−4(7+8b)(−3+5b)2(3b-3)(3b-3)-4(7+8b)(-3+5b)2(3b−3)(3b−3)−4(7+8b)(−3+5b) Werk beide dubbele haakjes uit.Schrijf nieuwe haakjes omdat er nog een getal voor de haakjes staat, dit getal moet ook nog vermenigvuldigd worden met wat tussen de haakjes staat. 2(9b2−9b−9b+9)−4(−21+35b−24b+40b2)2(9b^2-9b-9b+9)-4(-21+35b-24b+40b^2)2(9b2−9b−9b+9)−4(−21+35b−24b+40b2)Neem gelijksoortige termen tussen de haakjes samen.2(9b2−18b+9)−4(−21+11b+40b2)2(9b^2-18b+9)-4(-21+11b+40b^2)2(9b2−18b+9)−4(−21+11b+40b2)Werk nu ook de nieuwe haakjes uit.18b2−36b+18+84−44b−160b218b^2-36b+18+84-44b-160b^218b2−36b+18+84−44b−160b2Neem gelijksoortige termen samen.−142b2−80b+102-142b^2-80b+102−142b2−80b+102Antwoord: −142b2−80b+102-142b^2-80b+102−142b2−80b+102Schrijf de macht uit met haakjes.(2c−6)(2c−6)(2c−6)(2c-6)(2c-6)(2c-6)(2c−6)(2c−6)(2c−6)Werk de eerste haakjes uit. Schrijf nieuwe haakjes omdat de uitkomst ook nog vermenigvuldigd moet worden met de laatste (2c−6)(2c-6)(2c−6).(4c2−12c−12c+36)(2c−6)(4c^2-12c-12c+36)(2c-6)(4c2−12c−12c+36)(2c−6)Neem de gelijksoortige termen tussen de haakjes samen.(4c2−12c−12c+36)(2c−6)(4c^2-12c-12c+36)(2c-6)(4c2−12c−12c+36)(2c−6)(4c2−24c+36)(2c−6)(4c^2-24c+36)(2c-6)(4c2−24c+36)(2c−6)Werk weer de haakjes uit.8c3−24c2−48c2+144c+72c−2168c^3-24c^2-48c^2+144c+72c-2168c3−24c2−48c2+144c+72c−216Neem gelijksoortige termen samen.8c3−72c2+216c−2168c^3-72c^2+216c-2168c3−72c2+216c−216Antwoord: 8c3−72c2+216c−2168c^3-72c^2+216c-2168c3−72c2+216c−216Werk de haakjes uit.18m2+36mn+63m−6mn−12n2−21n18m^2+36mn+63m-6mn-12n^2-21n18m2+36mn+63m−6mn−12n2−21nNeem gelijksoortige termen samen. 18m2−12n2+30mn+63m−21n18m^2-12n^2+30mn+63m-21n18m2−12n2+30mn+63m−21nAntwoord: 18m2−12n2+30mn+63m−21n18m^2-12n^2+30mn+63m-21n18m2−12n2+30mn+63m−21n Stap 1: Kijk naar de tweede term. Deel deze door twee en vul hem in. De tweede term is −3-3−3, −3:2=−112-3:2=-1\frac{1}{2}−3:2=−121​(x−112)2…(x-1\frac{1}{2})^2…(x−121​)2…Stap 2: Trek eraf wat je te veel hebt gerekend. We hebben (−112)2=214(-1\frac{1}{2})^2=2\frac{1}{4}(−121​)2=241​ te veel gerekend. (x−112)2−214…(x-1\frac{1}{2})^2-2\frac{1}{4}…(x−121​)2−241​…Stap 3: Schrijf de rest van de uitdrukking erachter.(x−112)2−214=4(x-1\frac{1}{2})^2-2\frac{1}{4}=4(x−121​)2−241​=4Stap 4: Breng −214-2\frac{1}{4}−241​ naar rechts. (x−112)2=614(x-1\frac{1}{2})^2=6\frac{1}{4}(x−121​)2=641​Stap 5: Gebruik de wortel om het kwadraat weg te werken.x−112=614∨x−112=−614x-1\frac{1}{2}=\sqrt{6\frac{1}{4}} \vee x-1\frac{1}{2}=-\sqrt{6\frac{1}{4}}x−121​=641​​∨x−121​=−641​​x−112=212∨x−112=−212x-1\frac{1}{2}=2\frac{1}{2} \vee x-1\frac{1}{2}=-2\frac{1}{2}x−121​=221​∨x−121​=−221​Stap 6: Bereken xxx.Tel aan beide kanten 1121\frac{1}{2}121​ op.x=4∨x=−1x=4 \vee x=-1x=4∨x=−1Antwoord: x=4∨x=−1x=4 \vee x=-1x=4∨x=−1 Stap 1: Ontbindt de teller en noemer in factoren.In de teller kunnen we 2 buiten haakjes halen.$\frac{2(q+3)}{3q^2+2q-21}$Het zou handig zijn als we in de noemer ook de factor $q+3$ tussen de haakjes krijgen.Om de eerste term $3q^2$ te krijgen moet in ieder geval $(3q…)$ tussen de tweede set haakjes komen te staan.Om de laatste term, $-21$ te krijgen moeten we de 3 uit de eerste haakjes vermenigvuldigen met $-7$We krijgen dan $(q+3)(3q-7)$. Werk de haakjes nogmaals uit om te controleren of het klopt.$\frac{2(q+3)}{(q+3)(3q-7)}$Stap 2: Kijk of er een factor is die je boven en onder weg kunt delen.De factor $q+3$ wordt zowel met de teller als de noemer vermenigvuldigd. Deze kunnen we dus wegdelen.$\frac{2}{(3q-7)}$Verder kunnen we de breuk niet herleiden.Antwoord: $\frac{2}{(3q-7)}$Om breuken op te tellen of af te trekken moeten de breuken gelijknamig zijn.Stap 1: Maak de breuken gelijknamig. Vermenigvuldig de linkerteller en noemer met $2-m$$\frac{(m-3)(2-m)}{(m+1)(2-m)}-\frac{m+5}{2-m}$Vermenigvuldig de rechterteller en noemer met $m+1$$\frac{(m-3)(2-m)}{(m+1)(2-m)}-\frac{(m+5)(m+1)}{(2-m)(m+1)}$Stap 2: Trek de breuken van elkaar af.$\frac{(m-3)(2-m)-(m+5)(m+1)}{(m+1)(2-m)}$Stap 3: Werk de haakjes in de teller uit, in de noemer mag je ze laten staan.$(m-3)(2-m) = 2m-m^2-6+3m = -m^2+5m-6$$(m+5)(m+1) = m^2 +5m + 1m +5 = m^2 + 6m + 5$Dus teller: $-m^2+5m-6 - (m^2 + 6m + 5) = -2m^2-m-11$Let op dat je nieuwe haakjes schrijft bij het uitwerken van deze vergelijking. Omdat er een – voor de haakjes staat moet alles namelijk nog keer $-1$$\frac{-2m^2-m-11}{(m+1)(2-m)}$Antwoord: $\frac{-2m^2-m-11}{(m+1)(2-m)}$Gebruik de regel: Delen door de breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerd.Stap 1: Keer de tweede breuk om en maak van delen door keer.$\frac{m-3}{m+1}\cdot \frac{2-m}{m+5}$Stap 2: Gebruik de regel voor het vermenigvuldigen van breuken: $\frac{teller\cdot teller}{noemer\cdot noemer}$$\frac{(m-3)(2-m)}{(m+1)(m+5)}$Stap 3: Werk de haakjes uit, de haakjes in de noemer mag je laten staan.$\frac{2m-m^2-6+3m}{(m+1)(m+5)}$Neem gelijksoortige termen samen.$\frac{-m^2-6+5m}{(m+1)(m+5)}$Antwoord: $\frac{-m^2+5m-6}{(m+1)(m+5)}$We hebben hier een breuk in een breuk. We werken de breuk in de breuk weg door te vermenigvuldigen met de noemer van de breuk.Stap 1: Vermenigvuldig de teller en de noemer met $2p$$\frac{\frac{3}{2p}\cdot 2p}{60\cdot 2p}$$\frac{3}{120p}$Stap 2: Vereenvoudig de breuk.We kunnen de teller en de noemer delen door 3. $\frac{1}{40p}$Omdat de letter in de noemer van de breuk staat, kunnen we deze niet buiten de breuk halen. We kunnen de breuk dus niet korter schrijven dan dit. Antwoord: $\frac{1}{40p}$ Dit is een omgekeerd evenredig verband: hoe meer winnaars, hoe minder prijzengeld per persoon. De formule is dus van de vorm y=axy=\frac{a}{x}y=xa​. In dit geval is dit y=20000xy=\frac{20000}{x}y=x20000​ met yyy het prijzengeld per persoon en xxx het aantal winnaars.Antwoord: y=20000xy=\frac{20000}{x}y=x20000​In totaal worden er dus, naast Jan nog 150, 151 juiste inzendingen gedaan. x=151x=151x=151 geeft y=20000151=132.45y=\frac{20000}{151}=132.45y=15120000​=132.45. Hij wint €132,45. Antwoord: €132,45.  Werkwijze: Voor het berekenen van de oppervlakte van een driehoek hebben we de lengte van een zijde en de bijbehorende hoogte nodig. Van driehoek ABDABDABD weten we zijde DBDBDB, dit is de hoogte die hoort bij zijde ADADAD. We berekenen daarom ADADAD. Om ADADAD te berekenen moeten we eerst de lengte van CDCDCD berekenen om vervolgens te gebruiken AD=AC−DCAD=AC-DCAD=AC−DC.Stap 1: Bereken de lengte van CDCDCD in driehoek BCDBCDBCD.We gebruiken de stelling van Pythagoras. ∠D=90∘\angle D=90^\circ∠D=90∘ dus CD2+BD2=CD2CD^2+BD^2=CD^2CD2+BD2=CD2CD2+(11315)2=(215)2CD^2+(1\frac{1}{3}\sqrt{15})^2=(2\sqrt{15})^2CD2+(131​15​)2=(215​)2Zet de helen in de breuk om makkelijk het kwadraat te kunnen nemen van 1131\frac{1}{3}131​CD2+(4315)2=(215)2CD^2+(\frac{4}{3}\sqrt{15})^2=(2\sqrt{15})^2CD2+(34​15​)2=(215​)2Nu kunnen we gewoon de teller en noemer kwadrateren.CD2+169⋅15=4⋅15CD^2+\frac{16}{9}\cdot 15=4\cdot 15CD2+916​⋅15=4⋅15CD2+169⋅15=4⋅15CD^2+\frac{16}{9}\cdot 15=4\cdot 15CD2+916​⋅15=4⋅15CD2+803=60CD^2+\frac{80}{3}=60CD2+380​=60CD2=1003CD^2=\frac{100}{3}CD2=3100​CD=1003CD=\sqrt{\frac{100}{3}}CD=3100​​Gebruik AB=AB\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}BA​​=B​A​​CD=1003CD=\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{3}}CD=3​100​​CD=103CD=\frac{10}{\sqrt{3}}CD=3​10​We mogen geen wortel in de noemer van een breuk laten staan dus we vermenigvuldigen de breuk met 33\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}3​3​​CD=103⋅33CD=\frac{10}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}CD=3​10​⋅3​3​​CD=1033⋅3CD=\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}CD=3​⋅3​103​​CD=1033CD=\frac{10\sqrt{3}}{3}CD=3103​​CD=3133CD=3\frac{1}{3}\sqrt{3}CD=331​3​Stap 2: Bereken zijde ADADAD.AD=AC−CDAD=AC-CDAD=AC−CDAD=63−3133AD=6\sqrt{3}-3\frac{1}{3}\sqrt{3}AD=63​−331​3​AD=2233AD=2\frac{2}{3}\sqrt{3}AD=232​3​Stap 3: Bereken de oppervlakte van de driehoek.oppervlakte driehoek=12⋅zijde⋅hoogteoppervlakte\ driehoek=\frac{1}{2}\cdot zijde\cdot hoogteoppervlakte driehoek=21​⋅zijde⋅hoogteoppervlakte△ABD=12⋅AD⋅DBoppervlakte\triangle ABD=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot DBoppervlakte△ABD=21​⋅AD⋅DBoppervlakte△ABD=12⋅2233⋅11315oppervlakte\triangle ABD=\frac{1}{2}\cdot 2\frac{2}{3}\sqrt{3}\cdot 1\frac{1}{3}\sqrt{15}oppervlakte△ABD=21​⋅232​3​⋅131​15​Zet de helen in de breuken om makkelijk de breuken te vermenigvuldigen.=12⋅833⋅4315=\frac{1}{2}\cdot \frac{8}{3}\sqrt{3}\cdot \frac{4}{3}\sqrt{15}=21​⋅38​3​⋅34​15​=86⋅433⋅15=\frac{8}{6}\cdot \frac{4}{3}\sqrt{3\cdot 15}=68​⋅34​3⋅15​=321845=\frac{32}{18}\sqrt{45}=1832​45​=1699⋅5=\frac{16}{9}\sqrt{9}\cdot \sqrt{5}=916​9​⋅5​=169⋅35=\frac{16}{9}\cdot 3\sqrt{5}=916​⋅35​=4895=\frac{48}{9}\sqrt{5}=948​5​=5135=5\frac{1}{3}\sqrt{5}=531​5​Antwoord: oppervlakte△ABD=5135oppervlakte\triangle ABD=5\frac{1}{3}\sqrt{5}oppervlakte△ABD=531​5​ Stap 1: De wortel isoleren.De wortel moet alleen aan één kant van de === staan.3x−11=4\sqrt{3x-11}=43x−11​=4 (beide kanten +5+5+5)Stap 2: Kwadrateer om de wortel weg te werken.3x−11=423x-11=4^23x−11=423x−11=163x-11=163x−11=16Stap 3: Los de vergelijking op.3x=273x=273x=27 (beide kanten +11+11+11)x=9x=9x=9 (beide kanten delen door 3)Antwoord: x=9x=9x=9Stap 1: De wortel isoleren.De wortel moet alleen aan één kant van de === staan.−2x=−30-2\sqrt{x}=-30−2x​=−30 (beide kanten −19-19−19)x=15\sqrt{x}=15x​=15 (beide kanten delen door −2-2−2)Stap 2: Kwadrateren.Om de wortel weg te werken kwadrateren we beide kanten van de ===.x=152x=15^2x=152x=225x=225x=225Antwoord: x=225x=225x=225