Getal en Ruimte 13e ed deel 2 - Hoofdstuk 6 - Goniometrie oefentoetsen & antwoorden

De schuine zijde ligt altijd tegenover de rechte hoek. ∠B\angle B∠B is de rechte hoek, dus ACACAC is de schuine zijdeAntwoord: ACACACWe kijken vanuit hoek AAA. We hebben de overstaande zijde nodig, dus de zijde tegenover hoek AAA.Tegenover hoek AAA ligt zijde BCBCBC. Antwoord: BCBCBCWe kijken vanuit hoek CCC.We hebben de aanliggende zijde nodig, dus de zijde vast aan hoek CCC.Er zitten twee zijden vast aan hoek CCC, namelijk ACACAC en BCBCBC. ACACAC is al de schuine zijde. Dus BCBCBC is dan de aanliggende zijde van ∠C\angle C∠C.Antwoord: BCBCBC We gebruiken de formule: $hellingspercentage=\frac{verticale\ verplaatsing}{horizontale\ verplaatsing}\cdot 100\%$De verticale verplaatsing is 8, de horizontale verplaatsing is 9, we vullen dit in.$hellingspercentage=\frac{8}{9}\cdot 100\%=88,9\%$Antwoord: 88,9% Stap 1: Bereken het hellingsgetal.hellingsgetal=verticale verplaatsinghorizontale verplaatsinghellingsgetal=\frac{verticale\ verplaatsing}{horizontale\ verplaatsing}hellingsgetal=horizontale verplaatsingverticale verplaatsing​ABABAB is de verticale verplaatsing. BCBCBC is de horizontale verplaatsing.hellingsgetal=ABBChellingsgetal=\frac{AB}{BC}hellingsgetal=BCAB​hellingsgetal=6,923hellingsgetal=\frac{6,92}{3}hellingsgetal=36,92​Stap 2: Bereken de hellingshoek.hellingshoek=tan⁡−1(hellingsgetal)hellingshoek=\tan^{-1}(hellingsgetal)hellingshoek=tan−1(hellingsgetal)∠C=tan⁡−1(6,923)=66,6∘\angle C=\tan{-1}(\frac{6,92}{3})=66,6^\circ∠C=tan−1(36,92​)=66,6∘Antwoord: ∠C=66,6∘\angle C=66,6^\circ∠C=66,6∘ Stap 1: We moeten hoek LLL weten, we kijken vanuit hoek LLL en benoemen de zijden.De schuine zijde benoem je altijd als eerste. Dit is de zijde tegenover de rechte hoek. Vervolgens kijken we vanuit hoek LLL, want deze willen we weten. Welke zijde ligt vast aan hoek LLL? Deze noemen we de aanliggende zijde.Welke zijde ligt tegenover hoek LLL? Dit noemen we de overstaande zijde.Stap 2: We gebruiken SOSCASTOA.We willen hoek LLL weten, en weten de overstaande zijde en de aanliggende zijde. SOSCASTOASOSCAS\red{TOA}SOSCASTOATOATOATOA staat voor tan⁡(hoek)=oa\tan(hoek)=\frac{o}{a}tan(hoek)=ao​tan⁡(∠L)=0,370,22\tan(\angle L)=\frac{0,37}{0,22}tan(∠L)=0,220,37​∠L=tan⁡−1(0,370,22)=59,3∘\angle L=\tan^{-1}(\frac{0,37}{0,22})=59,3^\circ∠L=tan−1(0,220,37​)=59,3∘Antwoord: ∠L=59,3∘\angle L=59,3^\circ∠L=59,3∘Gebruik de hoekensom van een driehoek.∠M+∠N+∠L=180∘\angle M+\angle N+\angle L=180^\circ∠M+∠N+∠L=180∘90+∠N+59,3=180∘90+\angle N+59,3=180^\circ90+∠N+59,3=180∘149,3+∠N=180∘149,3+\angle N=180^\circ149,3+∠N=180∘∠N=180−149,3=30,7∘\angle N=180-149,3=30,7^\circ∠N=180−149,3=30,7∘Antwoord: ∠N=30,7∘\angle N=30,7^\circ∠N=30,7∘ Stap 1: Benoem de zijden.De schuine zijde benoem je altijd als eerste. Dit is de zijde tegenover de rechte hoek. Vervolgens kijken we vanuit hoek AAA, want deze weten we.Welke zijde ligt vast aan hoek AAA? Deze noemen we de aanliggende zijde.Welke zijde ligt tegenover hoek AAA? Dit noemen we de overstaande zijde.Stap 2: We gebruiken SOSCASTOA.We willen de schuine zijde weten, en weten de aanliggende zijde. SOSCASTOASOS\red{CAS}TOASOSCASTOACASCASCAS staat voor cos⁡(hoek)=as\cos(hoek)=\frac{a}{s}cos(hoek)=sa​cos⁡(∠A)=ABAC\cos(\angle A)=\frac{AB}{AC}cos(∠A)=ACAB​cos⁡(40)=12AC\cos(40)=\frac{12}{AC}cos(40)=AC12​Stap 3: We berekenen ACACAC.Maak een tabel.cos⁡(40)\cos(40)cos(40)121ACAC=12cos⁡(40)AC=\frac{12}{\cos(40)}AC=cos(40)12​ AC=15,66AC=15,66AC=15,66Antwoord: AC=15,66AC=15,66AC=15,66 Stap 1: Bereken het hellingsgetal.Gebruik: hellingsgetal=hellingspercentage:100hellingsgetal=hellingspercentage:100hellingsgetal=hellingspercentage:100hellingsgetal=0,4:100=0,004hellingsgetal=0,4:100=0,004hellingsgetal=0,4:100=0,004Stap 2: Bereken de verticale verplaatsing.Gebruik: hellingsgetal=verticale verplaatsinghorizontale verplaatsinghellingsgetal=\frac{verticale\ verplaatsing}{horizontale\ verplaatsing}hellingsgetal=horizontale verplaatsingverticale verplaatsing​Vul in wat je weet.0,004=verticale verplaatsing12000,004=\frac{verticale\ verplaatsing}{1200}0,004=1200verticale verplaatsing​Maak een tabel.0,004Verticale verplaatsing11200verticale verplaatsing=0,004⋅1200=4,8verticale\ verplaatsing=0,004\cdot 1200=4,8verticale verplaatsing=0,004⋅1200=4,8verticale verplaatsing=4,8verticale\ verplaatsing=4,8verticale verplaatsing=4,8Antwoord: de verticale verplaatsing is 4,8 Werkwijze: Bereken eerst de horizontale en verticale verplaatsing, bereken vervolgens met Pythagoras de afstand van de helling. Stap 1: Maak een schets bij de situatie.De verticale verplaatsing kunnen we berekenen, het kamp is op 7950 meter hoogte en de top is op 8848 meter hoogte, dus verticale verplaatsing=8848−7950=898 meterverticale\ verplaatsing=8848-7950=898\ meterverticale verplaatsing=8848−7950=898 meterStap 2: Bereken de horizontale verplaatsing.tan⁡(hellingshoek)=verticale verplaatsinghorizontale verplaatsing\tan(hellingshoek)=\frac{verticale\ verplaatsing}{horizontale\ verplaatsing}tan(hellingshoek)=horizontale verplaatsingverticale verplaatsing​tan⁡(27∘)=898horizontale verplaatsing\tan(27^\circ)=\frac{898}{horizontale\ verplaatsing}tan(27∘)=horizontale verplaatsing898​Maak een tabel.tan⁡(27)\tan(27)tan(27)8981Horizontale verplaatsinghorizontale verplaatsing=898:tan⁡(27∘)=1762,4…horizontale\ verplaatsing=898:\tan(27^\circ)=1762,4…horizontale verplaatsing=898:tan(27∘)=1762,4…Rond je antwoord nog niet af!Stap 3: Bereken de lengte van de helling met Pythagoras.8982+1762,4…2=helling2898^2+1762,4…^2=helling^28982+1762,4…2=helling2 (reken met je onafgeronde antwoord verder)3912543,18…=helling23912543,18…=helling^23912543,18…=helling2Neem de wortel om de helling te berekenen.helling=3912543,18…=1978,014…helling=\sqrt{3912543,18…}=1978,014…helling=3912543,18…​=1978,014…Antwoord: 1978 meterEen alternatieve uitwerking is het gebruik van de sinus.We weten namelijk de overstaande zijde (de hoogte is 898 meter), en willen de schuine zijde (de helling) weten. We gebruiken SOSCASTOA\red{SOS}CASTOASOSCASTOASOSSOSSOS staat voor sin⁡(hoek)=os\sin(hoek)=\frac{o}{s}sin(hoek)=so​sin⁡(27)=898helling\sin(27)=\frac{898}{helling}sin(27)=helling898​Stap 3: We berekenen de helling.Maak een tabel.sin⁡(27)\sin(27)sin(27)8981hellinghelling=898:sin⁡(27)=1978,014…helling=898:\sin(27)=1978,014…helling=898:sin(27)=1978,014…Antwoord: helling=1978helling=1978helling=1978 Stap 1: We moeten hoek E2E_2E2​ weten, we kijken vanuit hoek E2E_2E2​ en benoemen de zijden. Omdat ∠E2\angle E_2∠E2​ in driehoek DEFDEFDEF ligt, benoemen we de zijden in driehoek DEFDEFDEF.De schuine zijden benoem je altijd als eerste. Dit is de zijde tegenover de rechte hoek. Vervolgens kijken we vanuit hoek E2E_2E2​, want deze willen we weten. Welke zijde ligt vast aan hoek E2E_2E2​? Deze noemen we de aanliggende zijde.Welke zijde ligt tegenover hoek E2E_2E2​? Dit noemen we de overstaande zijde.Stap 2: We gebruiken SOSCASTOA.We willen hoek E2E_2E2​ weten, en weten de aanliggende zijde en de schuine zijde. SOSCASTOASOS\red{CAS}TOASOSCASTOACASCASCAS staat voor cos⁡(hoek)=as\cos(hoek)=\frac{a}{s}cos(hoek)=sa​cos⁡(∠E2)=5,79,2\cos(\angle E_2)=\frac{5,7}{9,2}cos(∠E2​)=9,25,7​∠E2=cos⁡−1(5,79,2)=51,7∘\angle E_2=\cos^{-1}(\frac{5,7}{9,2})=51,7^\circ∠E2​=cos−1(9,25,7​)=51,7∘Antwoord: ∠E2=51,7∘\angle E_2=51,7^\circ∠E2​=51,7∘We gebruiken de hoekensom van een driehoek. De hoeken in driehoek DEF samen zijn 180∘180^\circ180∘∠D+∠F+∠E2=180∘\angle D+\angle F+\angle E_2=180^\circ∠D+∠F+∠E2​=180∘90+∠F+51,7=180∘90+\angle F+51,7=180^\circ90+∠F+51,7=180∘141,7+∠F=180∘141,7+\angle F=180^\circ141,7+∠F=180∘∠F=180−141,7=38,3∘\angle F=180-141,7=38,3^\circ∠F=180−141,7=38,3∘Antwoord: ∠F=38,3∘\angle F=38,3^\circ∠F=38,3∘Manier 1: We berekenen eerst ∠E1\angle E_1∠E1​, dan kunnen we met de hoekensom hoek GGG berekenen.Stap 1: Bereken ∠E1\angle E_1∠E1​Gebruik: ∠E1+∠E2=90∘\angle E_1+\angle E_2=90^\circ∠E1​+∠E2​=90∘∠E1+51,7=90∘\angle E_1+51,7=90^\circ∠E1​+51,7=90∘∠E1=90−51,7=38,3∘\angle E_1=90-51,7=38,3^\circ∠E1​=90−51,7=38,3∘Stap 2: Bereken ∠G\angle G∠G.Gebruik de hoekensom in driehoek DEGDEGDEG.∠D+∠E1+∠G=180∘\angle D+\angle E_1+\angle G=180^\circ∠D+∠E1​+∠G=180∘90+38,3+∠G=180∘90+38,3+\angle G=180^\circ90+38,3+∠G=180∘128,3+∠G=180∘128,3+\angle G=180^\circ128,3+∠G=180∘∠G=180−128,3=51,7∘\angle G=180-128,3=51,7^\circ∠G=180−128,3=51,7∘Manier 2: Gebruik de hoekensom in driehoek GEFGEFGEF. ∠G+∠E+∠F=180∘\angle G+\angle E+\angle F=180^\circ∠G+∠E+∠F=180∘∠G+90+38,3=180∘\angle G+90+38,3=180^\circ∠G+90+38,3=180∘128,3+∠G=180∘128,3+\angle G=180^\circ128,3+∠G=180∘∠G=180−128,3=51,7∘\angle G=180-128,3=51,7^\circ∠G=180−128,3=51,7∘Antwoord: ∠G=51,7circ\angle G=51,7^circ∠G=51,7∘ Stap 1: Teken een hulplijn vanuit KKK loodrecht op lijn MSMSMS.Bereken hoek KKK in driehoek SKZSKZSKZ, heel hoek KKK was 132∘132^\circ132∘, na het tekenen van de hulplijn is hoek KKK in SKZSKZSKZ 132−90=42∘132-90=42^\circ132−90=42∘.De lengte van MZMZMZ weten we, dit is 13:2=6,5 meter13:2=6,5\ meter13:2=6,5 meterWe moeten de lengte van ZSZSZS nog berekenen, hiervoor gebruiken we SOSCASTOA.Stap 2: Benoem de zijden in driehoek SKZSKZSKZ. We weten hoek KKK, dus we kijken vanuit hoek KKK.De schuine zijde benoem je altijd als eerste. Dit is de zijde tegenover de rechte hoek. Vervolgens kijken we vanuit hoek KKK, want deze weten we.Welke zijde ligt vast aan hoek KKK? Deze noemen we de aanliggende zijde.Welke zijde ligt tegenover hoek KKK? Dit noemen we de overstaande zijde.Stap 3: We gebruiken SOSCASTOA.We willen de overstaande zijde weten, en weten de schuine zijde. SOSCASTOA\red{SOS}CASTOASOSCASTOASOSSOSSOS staat voor sin⁡(hoek)=os\sin(hoek)=\frac{o}{s}sin(hoek)=so​sin⁡(∠K)=SZKZ\sin(\angle K)=\frac{SZ}{KZ}sin(∠K)=KZSZ​sin⁡(42)=SZ8\sin(42)=\frac{SZ}{8}sin(42)=8SZ​Stap 4: We berekenen SZSZSZ.sin⁡(42)\sin(42)sin(42)SZ18SZ=sin⁡(42)⋅8SZ=\sin(42)\cdot 8SZ=sin(42)⋅8SZ=5,35…SZ=5,35…SZ=5,35… MS=MZ+SZMS=MZ+SZMS=MZ+SZMS=6,5+5,35…=11,85MS=6,5+5,35…=11,85MS=6,5+5,35…=11,85Antwoord: MS=11,85MS=11,85MS=11,85 meter Schets eerst voorgevel BCFJEBCFJEBCFJE.Stap 1: We hebben een rechthoekige driehoek nodig om een hoek te kunnen berekenen met behulp van SOSCASTOA. We tekenen hiervoor hulplijn EKEKEK loodrecht op de stippellijn door hoek JJJ. Stap 2: Gebruik de maten die je weet om de lengten van de zijden van de driehoek te berekenen.JK=7,5−3,75=3,75JK=7,5-3,75=3,75JK=7,5−3,75=3,75EK=8:2=4EK=8:2=4EK=8:2=4Stap 3: Gebruik SOSCASTOA om de helft van hoek JJJ te berekenen. We weten de aanliggende en overstaande zijde dus we gebruiken TOA.tan⁡(half J)=overstaandeaanliggende\tan(half\ J)=\frac{overstaande}{aanliggende}tan(half J)=aanliggendeoverstaande​tan⁡(half J)=43,75\tan(half\ J)=\frac{4}{3,75}tan(half J)=3,754​half J=tan⁡−1(43,75)=46,84…∘half\ J=\tan^{-1}(\frac{4}{3,75})=46,84…^\circhalf J=tan−1(3,754​)=46,84…∘Heel hoek JJJ is dus 2×46,84…=94∘2\times 46,84…=94^\circ2×46,84…=94∘Antwoord: 94∘94^\circ94∘ Stap 1: Maak een schets van driehoek SBDSBDSBD.Stap 2: We moeten hoek BBB weten, we kijken vanuit hoek BBB en benoemen de zijden.De schuine zijden benoem je altijd als eerste. Dit is de zijde tegenover de rechte hoek. Vervolgens kijken we vanuit hoek BBB, want deze willen we weten. Welke zijde ligt vast aan hoek BBB? Deze noemen we de aanliggende zijde.Welke zijde ligt tegenover hoek BBB? Dit noemen we de overstaande zijde.Stap 3: We gebruiken SOSCASTOA.We willen hoek BBB weten, en weten de overstaande zijde en de schuine zijde. SOSCASTOA\red{SOS}CASTOASOSCASTOASOSSOSSOS staat voor sin⁡(hoek)=os\sin(hoek)=\frac{o}{s}sin(hoek)=so​sin⁡(∠B)=1928\sin(\angle B)=\frac{19}{28}sin(∠B)=2819​∠B=sin⁡−1(1928)=42,7∘\angle B=\sin^{-1}(\frac{19}{28})=42,7^\circ∠B=sin−1(2819​)=42,7∘Antwoord: ∠SBD=42,7∘\angle SBD=42,7^\circ∠SBD=42,7∘