Moderne Wiskunde 13e ed deel A - Hoofdstuk 6 - Goniometrie oefentoetsen & antwoorden

De langste zijde ligt altijd tegenover de rechte hoek. $\angle B$ is de rechte hoek, dus $AC$ is de langste zijdeAntwoord: $AC$We kijken vanuit hoek $A$. We hebben de overstaande zijde nodig, dus de zijde tegenover hoek $A$.Tegenover hoek $A$ ligt zijde $BC$. Antwoord: $BC$We kijken vanuit hoek $C$.We hebben de aanliggende zijde nodig, dus de zijde vast aan hoek $C$.Er zitten twee zijden vast aan hoek $C$, namelijk $AC$ en $BC$. $BC$ is de enige rechthoekszijde van de twee, want alleen $BC$ zit vast aan de rechte hoek. Dus $BC$ is dan de aanliggende zijde van $\angle C$.Antwoord: $BC$ $\angle E_1$ ligt in driehoek $DEG$. Als we een hoek willen benoemen met drie letters benoemen we eerst de hoek waar we vandaan komen, dan de hoek die we bedoelen en vervolgens de hoek waar die naartoe gaat.$\angle E_1$ komt van $\angle G$ en gaat vervolgens naar $\angle D$.$\angle E_1=\angle GED$Antwoord: $\angle GED$, $\angle DEG$ is ook goed. $\angle F$ ligt in driehoek $DEF$, maar ook in driehoek $EFG$, we kunnen $\angle F$ dus op twee manieren met drie letters opschrijven.Als we een hoek willen benoemen met drie letters, benoemen we eerst de hoek waar we vandaan komen, dan de hoek die we bedoelen en vervolgens de hoek waar die naartoe gaat.$\angle F$ komt in driehoek $DEF$ van $\angle D$ en gaat vervolgens naar $\angle E$.$\angle F=\angle DFE$$\angle F$ komt in driehoek $EFG$ van $\angle E$ en gaat vervolgens naar $\angle G$.$\angle F=\angle EFG$Antwoord: $\angle DFE$ of $\angle EFG$ Stap 1: Schrijf de tangens op die bij de hellingshoek hoort. We gebruiken de formule: $\tan(\angle F)=\frac{hoogte}{afstand}$De hoogte is 8, de afstand is 9, we vullen dit in.$\tan(\angle F)=\frac{8}{9}$Stap 2: Gebruik $\tan{-1}$ om bijbehorende hellingshoek te berekenen.$\angle F=\tan{-1}(\frac{8}{9})=42^\circ$ (rond altijd af op hele graden)Antwoord: De hellingshoek is $42^\circ$ Stap 1: We moeten hoek LLL weten, we kijken vanuit hoek LLL en benoemen de zijden.De langste zijde benoem je altijd als eerste. Dit is de zijde tegenover de rechte hoek. Vervolgens kijken we vanuit hoek LLL, want deze willen we weten. Welke rechthoekszijde ligt vast aan hoek LLL? Deze noemen we de aanliggende zijde.Welke zijde ligt tegenover hoek LLL? Dit noemen we de overstaande zijde.Stap 2: We gebruiken SOLCALTOA.We willen hoek LLL weten, en weten de overstaande zijde en de aanliggende zijde. SOLCALTOASOLCAL\red{TOA}SOLCALTOATOATOATOA staat voor tan⁡(hoek)=oa\tan(hoek)=\frac{o}{a}tan(hoek)=ao​tan⁡(∠L)=3722\tan(\angle L)=\frac{37}{22}tan(∠L)=2237​∠L=tan⁡−1(3722)=59∘\angle L=\tan^{-1}(\frac{37}{22})=59^\circ∠L=tan−1(2237​)=59∘Antwoord: ∠L=59∘\angle L=59^\circ∠L=59∘Gebruik de hoekensom van een driehoek.∠M+∠N+∠L=180∘\angle M+\angle N+\angle L=180^\circ∠M+∠N+∠L=180∘90+∠N+59=180∘90+\angle N+59=180^\circ90+∠N+59=180∘149+∠N=180∘149+\angle N=180^\circ149+∠N=180∘∠N=180−149=31∘\angle N=180-149=31^\circ∠N=180−149=31∘Antwoord: ∠N=31∘\angle N=31^\circ∠N=31∘ Stap 1: Benoem de zijden.De langste zijde benoem je altijd als eerste. Dit is de zijde tegenover de rechte hoek. Vervolgens kijken we vanuit hoek EEE.Welke zijde ligt vast aan hoek EEE? Deze noemen we de aanliggende zijde.Welke zijde ligt tegenover hoek EEE? Dit noemen we de overstaande zijde.Stap 2: We gebruiken SOLCALTOA.SOLCALTOA\red{SOL}CALTOASOLCALTOASOLSOLSOL staat voor sin⁡(hoek)=ol\sin(hoek)=\frac{o}{l}sin(hoek)=lo​sin⁡(∠E)=1265\sin(\angle E)=\frac{12}{6\sqrt{5}}sin(∠E)=65​12​SOLCALTOASOL\red{CAL}TOASOLCALTOACALCALCAL staat voor cos⁡(hoek)=al\cos(hoek)=\frac{a}{l}cos(hoek)=la​cos⁡(∠E)=665\cos(\angle E)=\frac{6}{6\sqrt{5}}cos(∠E)=65​6​SOLCALTOASOLCAL\red{TOA}SOLCALTOATOATOATOA staat voor tan⁡(hoek)=oa\tan(hoek)=\frac{o}{a}tan(hoek)=ao​tan⁡(∠E)=126=2\tan(\angle E)=\frac{12}{6}=2tan(∠E)=612​=2Antwoord: sin⁡(∠E)=1265\sin(\angle E)=\frac{12}{6\sqrt{5}}sin(∠E)=65​12​, cos⁡(∠E)=665\cos(\angle E)=\frac{6}{6\sqrt{5}}cos(∠E)=65​6​, tan⁡(∠E)=2\tan(\angle E)=2tan(∠E)=2Aangezien we alle zijden weten maakt het niet uit of we sinus, cosinus of tangens gebruiken.bij a hebben we al een begin gemaakt. sin⁡(∠E)=1265\sin(\angle E)=\frac{12}{6\sqrt{5}}sin(∠E)=65​12​∠E=sin⁡−1(1265)=63∘\angle E=\sin^{-1}(\frac{12}{6\sqrt{5}})=63^\circ∠E=sin−1(65​12​)=63∘cos⁡(∠E)=665\cos(\angle E)=\frac{6}{6\sqrt{5}}cos(∠E)=65​6​∠E=cos⁡−1(8241)=63∘\angle E=\cos^{-1}(\frac{8}{2\sqrt{41}})=63^\circ∠E=cos−1(241​8​)=63∘tan⁡(∠E)=2\tan(\angle E)=2tan(∠E)=2∠E=tan⁡−1(2)=63∘\angle E=\tan^{-1}(2)=63^\circ∠E=tan−1(2)=63∘Natuurlijk hoef je maar 1 van bovenstaande berekeningen opgeschreven te hebben.Antwoord: ∠E=63∘\angle E=63^\circ∠E=63∘ Stap 1: Benoem de zijden.De langste zijde benoem je altijd als eerste. Dit is de zijde tegenover de rechte hoek. Vervolgens kijken we vanuit hoek AAA, want deze weten we.Welke zijde ligt vast aan hoek AAA? Deze zijde noemen we de aanliggende zijde.Welke zijde ligt tegenover hoek AAA? Dit noemen we de overstaande zijde.Stap 2: We gebruiken SOLCALTOA.We willen de langste zijde weten, en weten de overstaande zijde. SOLCALTOA\red{SOL}CALTOASOLCALTOASOLSOLSOL staat voor sin⁡(hoek)=ol\sin(hoek)=\frac{o}{l}sin(hoek)=lo​sin⁡(∠A)=BCAC\sin(\angle A)=\frac{BC}{AC}sin(∠A)=ACBC​sin⁡(53)=8AC\sin(53)=\frac{8}{AC}sin(53)=AC8​Stap 3: We berekenen ACACAC.Denk aan de hulpbreuk: 2=632=\frac{6}{3}2=36​, ACACAC staat op dezelfde plek als de 3 in de hulpbreuk, om 3 te krijgen met 6 en 2 moeten we delen. 3=6:23=6:23=6:2$AC=8:\sin(53)\approx 10,02$Antwoord: AC≈10,02AC\approx 10,02AC≈10,02 Bereken de hoogte.$\tan(hellingshoek)=\frac{hoogte}{afstand}$Vul in wat je weet.$0,004=\frac{hoogte}{1200}$Denk aan de hulpbreuk: $2=\frac{6}{3}$, hoogte staat op dezelfde plek als de 6 in de hulpbreuk, om 6 te krijgen met 3 en 2 moeten we ze vermenigvuldigen. $6=3\times 2$$hoogte=0,004\times 1200$$hoogte=4,8$Antwoord: de hoogte is 4,8 meter Stap 1: Maak een schets bij de situatie.De hoogte kunnen we berekenen, het kamp is op 7950 meter hoogte en de top is op 8848 meter hoogte, dus hoogte=8848−7950=898 meterhoogte=8848-7950=898\ meterhoogte=8848−7950=898 meterStap 2: Benoem de zijden.De langste zijde benoem je altijd als eerste. Dit is de zijde tegenover de rechte hoek. We weten de hellingshoek, we kijken vanuit deze hoek. Welke rechthoekszijde ligt vast aan de hoek? Deze noemen we de aanliggende zijde.Welke zijde ligt tegenover de hoek die we weten? Deze zijde noemen we de overstaande zijde.Stap 3: We gebruiken SOLCALTOA.SOLCALTOASOLCAL\red{TOA}SOLCALTOATOATOATOA staat voor tan⁡(hoek)=oa\tan(hoek)=\frac{o}{a}tan(hoek)=ao​We vullen in wat we weten.tan⁡(27)=898horizontale afstand\tan(27)=\frac{898}{horizontale\ afstand}tan(27)=horizontale afstand898​Denk aan de hulpbreuk: 2=632=\frac{6}{3}2=36​, horizontale afstand staat op dezelfde plek als de 3 in de hulpbreuk, om 3 te krijgen met 6 en 2 moeten we delen. 3=6:23=6:23=6:2horizontale afstand=898:tan⁡(27∘)=1762,4…horizontale\ afstand=898:\tan(27^\circ)=1762,4…horizontale afstand=898:tan(27∘)=1762,4…Antwoord: De horizontale afstand van kamp 4 tot de top is 1762 meter. Stap 1: Teken een hulplijn vanuit KKK loodrecht op lijn MSMSMS.Bereken hoek KKK in driehoek SKZSKZSKZ, heel hoek KKK was 132∘132^\circ132∘, na het tekenen van de hulplijn is hoek KKK in SKZSKZSKZ 132−90=42∘132-90=42^\circ132−90=42∘.De lengte van MZMZMZ weten we, dit is 13:2=6,5 meter13:2=6,5\ meter13:2=6,5 meterWe moeten de lengte van ZSZSZS nog berekenen, hiervoor gebruiken we SOLCALTOA.Stap 2: Benoem de zijden in driehoek SKZSKZSKZ. We weten hoek KKK, dus we kijken vanuit hoek KKK.De langste zijde benoem je altijd als eerste. Dit is de zijde tegenover de rechte hoek. Vervolgens kijken we vanuit hoek KKK, want deze weten we.Welke zijde ligt vast aan hoek KKK? Deze noemen we de aanliggende zijde.Welke zijde ligt tegenover hoek KKK? Dit noemen we de overstaande zijde.Stap 3: We gebruiken SOLCALTOA.We willen de overstaande zijde weten, en weten de langste zijde. SOLCALTOA\red{SOL}CALTOASOLCALTOASOLSOLSOL staat voor sin⁡(hoek)=ol\sin(hoek)=\frac{o}{l}sin(hoek)=lo​sin⁡(∠K)=SZKZ\sin(\angle K)=\frac{SZ}{KZ}sin(∠K)=KZSZ​sin⁡(42)=SZ8\sin(42)=\frac{SZ}{8}sin(42)=8SZ​Stap 4: We berekenen SZSZSZ.Denk aan de hulpbreuk: 2=632=\frac{6}{3}2=36​, SZSZSZ staat op dezelfde plek als de 6 in de hulpbreuk, om 6 te krijgen met 3 en 2 moeten we vermenigvuldigen. 6=3×26=3\times 26=3×2sin⁡(42)×8=SZ\sin(42)\times 8=SZsin(42)×8=SZ SZ=5,35…SZ=5,35…SZ=5,35… MS=MZ+SZMS=MZ+SZMS=MZ+SZMS=6,5+5,35…=11,85MS=6,5+5,35…=11,85MS=6,5+5,35…=11,85Antwoord: MS=11,85MS=11,85MS=11,85 meter Stap 1: Maak een schets van driehoek SBDSBDSBD.Stap 2: We moeten hoek BBB weten, we kijken vanuit hoek BBB en benoemen de zijden.De langste zijde benoem je altijd als eerste. Dit is de zijde tegenover de rechte hoek. Vervolgens kijken we vanuit hoek BBB, want deze willen we weten. Welke zijde ligt vast aan hoek BBB? Deze noemen we de aanliggende zijde.Welke zijde ligt tegenover hoek BBB? Dit noemen we de overstaande zijde.Stap 3: We gebruiken SOLCALTOA.We willen hoek BBB weten, en weten de overstaande zijde en de langste zijde. SOLCALTOA\red{SOL}CALTOASOLCALTOASOLSOLSOL staat voor sin⁡(hoek)=ol\sin(hoek)=\frac{o}{l}sin(hoek)=lo​sin⁡(∠B)=1928\sin(\angle B)=\frac{19}{28}sin(∠B)=2819​∠B=sin⁡−1(1928)=43∘\angle B=\sin^{-1}(\frac{19}{28})=43^\circ∠B=sin−1(2819​)=43∘Antwoord: ∠SBD=43∘\angle SBD=43^\circ∠SBD=43∘