Kern Wiskunde A/C Deel 1 - Hoofdstuk 8 - Verdelingen oefentoetsen & antwoorden

a.○ Deze bewering is onjuist.○ Bij een links-scheve verdeling is het gemiddelde kleiner dan de mediaan. b.○ Deze bewering is juist.c.○ Deze bewering is juist. a. ○ De top ligt ongeveer bij 200, dit is de modus.○ Minder dan 50% van de oppervlakte ligt voor de modus, dus de mediaan ligt rechts van de modus.○ Het is een rechts-scheve verdeling, dus het gemiddelde ligt rechts van de mediaan.○ Modus-mediaan-gemiddeldeb. Voor het schetsen van de relatieve cumulatieve verdelingskromme, moet je op een aantal dingen letten. De gegeven verdelingskromme gaat van 0 naar 1000, dus de te schetsen relatieve cumulatieve verdelingskromme gaat van 0% bij 0 naar 100% bij 1000.Daarnaast zien we dat de modus ongeveer 200 is (de top van de gegeven verdelingskromme), dit betekent dat het steilste stuk van de verdelingskromme bij 200 ligt. De gegeven verdeling is een rechts-scheve verdeling, dus de mediaan ligt ongeveer bij 300, want daar kun je de oppervlakte onder de grafiek verdelen in ongeveer twee gelijke stukken. Voor de cumulatieve kromme betekent dit dat 50% bij ongeveer 300 ligt. Als laatste laten we de cumulatieve kromme op het einde iets minder steil lopen. De gegeven kromme is rechts-scheef, wat betekent dat op het einde weinig waarnemingsgetallen zijn. a. ○ We beginnen met het maken van een schets. We gebruiken daarbij de vuistregels van de normale verdeling.○ We zien dat 13,5% + 2,5% = 16% van de vrouwen langer is dan 181 cm.b.  ○ Eerst maar weer een schets.○ We zien dat 13,5% + 34% = 47,5% van de vrouwen langer is tussen 151 en 171 cm.○ Dat zijn $\frac{5000}{100}\cdot 47,5=2375$ vrouwenc.  ○ ○ $\frac{125}{100}\cdot100\%=2,5\%$○ De vrouwen zijn kleiner dan 151 cm.  a. ○ ${{\mu }_{{\bar{x}}}}=\mu =100$ en ${{\sigma }_{{\bar{x}}}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}=\frac{4,5}{\sqrt{25}}=0,9$b. ○ We gaan vuistregel 2 in combinatie met de symmetrie van de normaalkromme gebruiken.○ Bij 2,5% van de steekproeven van omvang 25 krijg je een steekproefgemiddelde kleiner dan $100-2\cdot 0,9=98,2$○ Nu is $98<98,2$, dus de kans dat 50 chocoladerepen gemiddeld minder dan 98 gram wegen is kleiner dan 2,5% c. ○ Nu geldt: ${{\mu }_{{\bar{x}}}}=\mu =100$ en ${{\sigma }_{{\bar{x}}}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}=\frac{4,5}{\sqrt{100}}=0,45$○ Vuistregel 3 zegt dat het gemiddelde gewicht van de 100 repen, vrijwel zeker (99,7%), tussen ${{\mu }_{{\bar{x}}}}-3{{\sigma }_{{\bar{x}}}}$ en ${{\mu }_{{\bar{x}}}}+3{{\sigma }_{{\bar{x}}}}$ ligt.○ ${{\mu }_{{\bar{x}}}}-3{{\sigma }_{{\bar{x}}}}=100-3\cdot 0,45=98,65$○ Nu is $98<98,65$, dus de kans dat 100 chocoladerepen gemiddeld minder dan 98 gram wegen is vrijwel 0. a. ○ De klassenmiddens zijn 51,  53,  55,  57,  59,  61,  63,  6551,\,\,53,\,\,55,\,\,57,\,\,59,\,\,61,\,\,63,\,\,6551,53,55,57,59,61,63,65○ De bijbehorende frequenties zijn 3,  7,  15,  65,  70,  12,  6,  23,\,\,7,\,\,15,\,\,65,\,\,70,\,\,12,\,\,6,\,\,23,7,15,65,70,12,6,2○ We gaan de grafische rekenmachine gebruiken.Invoer: Lijst 1 ={51,  53,  55,  57,  59,  61,  63,  65}=\left\{ 51,\,\,53,\,\,55,\,\,57,\,\,59,\,\,61,\,\,63,\,\,65 \right\}={51,53,55,57,59,61,63,65} Lijst 2 ={3,  7,  15,  65,  70,  12,  6,  2}=\left\{ 3,\,\,7,\,\,15,\,\,65,\,\,70,\,\,12,\,\,6,\,\,2 \right\}={3,7,15,65,70,12,6,2}Optie: 1-var-stats geeft μ≈57,9\mu \approx 57,9μ≈57,9 minuten en σ≈2,8\sigma \approx 2,8σ≈2,8minutenb.○ Volgens de tweede vuistregel van een normale verdeling valt ongeveer 95% van de data binnen μ−2σ\mu -2\sigma μ−2σ en μ+2σ\mu +2\sigma μ+2σ. ○ μ±2σ=57,9±2⋅2,8⇒[52,3;63,5]\mu \pm 2\sigma =57,9\pm 2\cdot 2,8\Rightarrow \left[ 52,3;63,5 \right]μ±2σ=57,9±2⋅2,8⇒[52,3;63,5]○ 52,352,352,3valt in de klasse 52−<5452-<5452−<54○ In deze klasse zijn (schatting met behulp van lineair interpoleren) 1554−52⋅(54−52,3)≈13\frac{15}{54-52}\cdot \left( 54-52,3 \right)\approx 1354−5215​⋅(54−52,3)≈13 ritten langzamer dan 52,3 minuten○ 63,563,563,5valt in de klasse 62−<6462-<6462−<64○ In deze klasse zijn (schatting met behulp van lineair interpoleren) 664−62⋅(63,5−62)≈5\frac{6}{64-62}\cdot \left( 63,5-62 \right)\approx 564−626​⋅(63,5−62)≈5 ritten sneller dan 63,5 minuten○ Tussen 52,3 en 63,5 minuten zijn er 13+15+65+70+12+5=18013+15+65+70+12+5=18013+15+65+70+12+5=180 metingen○ In totaal zijn er 200 metingen○ 180200⋅100\frac{180}{200}\cdot 100%=90%200180​⋅100○ De tijden voldoen (waarschijnlijk) niet aan de tweede vuistregel, want 9090%\ne 95%90c. ○ We breiden de tabel uit met cumulatieve frequenties en met relatieve cumulatieve frequenties.○ Om te controleren of de tijden normaal verdeeld zijn, maken we een grafiek op normaal-waarschijnlijkheidspapier. Als de punten ongeveer op een rechte lijn liggen, is de verdeling ongeveer normaal.○○ De punten liggen niet op een rechte lijn, dus de tijden zijn niet normaal verdeeld. ○ Voer in: lijst 1 $=\left\{ 803,805,809,809...,847,854 \right\}$○ Optie 1-var-stats geeft:○ ${{\sigma }_{X}}=12,66...$, en $\bar{X}=828,16...$○ $\bar{X}+{{\sigma }_{X}}\approx 840,8$○ 5 flessen hebben een inhoud dat meer dan een standaardafwijking afwijkt van de gemiddelde inhoud.○ Dit is $\frac{5}{30}\cdot 100%\approx 16,7%$ a.  ○ Voor de suikerbieten van boer Koekoek geldt:$n=100$, $\bar{X}=1006$ en $S=22,4$○ Voor de suikerbieten van boer Harms geldt:$n=100$, $\bar{X}=998$ en $S=22,4$○ We gaan nu de 95%-betrouwbaarheidsintervallen vergelijken.We gebruiken de formule $\left[ \overline{X}-2\cdot \frac{S}{\sqrt{n}};\overline{X}+2\cdot \frac{S}{\sqrt{n}} \right]$.○ Boer Koekoek:$\overline{X}-2\cdot \frac{S}{\sqrt{n}}=1006-2\cdot \frac{22,4}{\sqrt{100}}=1001,52$$\overline{X}+2\cdot \frac{S}{\sqrt{n}}=1006+2\cdot \frac{22,4}{\sqrt{100}}=1010,48$Het 95%-betrouwbaarheidsinterval is  $\left[ 1001,52;\ 1010,48 \right]$.○ Boer Harms:$\overline{X}-2\cdot \frac{S}{\sqrt{n}}=998-2\cdot \frac{22,4}{\sqrt{100}}=993,52$$\overline{X}+2\cdot \frac{S}{\sqrt{n}}=998+2\cdot \frac{22,4}{\sqrt{100}}=1002,48$Het 95%-betrouwbaarheidsinterval is  $\left[ 993,52;\ 1002,48 \right]$.   ○ De beide betrouwbaarheidsintervallen overlappen elkaar. Op basis van deze gegevens kan boer Koekoek dus niet met zekerheid zeggen dat zijn suikerbieten de grootste zijn.b.  ○ De breedte van het betrouwbaarheidsinterval is $1008,24-1003,76=4,48$○ De breedte van het betrouwbaarheidsinterval is ook $4\sigma $.○ $\sigma =\frac{S}{\sqrt{n}}$ met $S=22,4$○ Dit alles geeft $4\cdot \frac{22,4}{\sqrt{n}}=4,48$○ We gebruiken de GR om deze vergelijking op te lossen.Invoer: ${{Y}_{1}}=4\cdot \frac{22,4}{\sqrt{X}}$ en ${{Y}_{2}}=4,48$Optie: Calc $\to $ intersect geeft $X=400$○ Boer Koekoek heeft 400 suikerbieten gewogen. ○ We kunnen de proportie berekenen van het aantal mensen dat inloggegevens deelt. We gaan dus voor het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de populatieproportie. ○ $\hat{p}=\frac{1544}{6714}=0,229\ldots $○ $\hat{p}-2\cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}=0,229\ldots -2\cdot \sqrt{\frac{0,229\ldots (1-0,229\ldots )}{6714}}=0,219\ldots $○ $\hat{p}+2\cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}=0,229\ldots +2\cdot \sqrt{\frac{0,229\ldots (1-0,229\ldots )}{6714}}=0,240\ldots $ ○ Het 95%-betrouwbaarheidsinterval is $\left[ 22,24 \right]$○ Het 95%-betrouwbaarheidsinterval heeft een breedte van 24%. Oftewel een breedte van $0,24$.○ Een 95%-betrouwbaarheidsinterval gaat van $\hat{p}-2\sigma $ tot $\hat{p}+2\sigma $en heeft dus een breedte van $4\sigma $.○ Er geldt $\sigma =\sqrt{\frac{\hat{p}\left( 1-\hat{p} \right)}{n}}$○ Uit $4\sigma =0,24$ en $\hat{p}=0,23$ volgt $4\cdot \sqrt{\frac{0,23\left( 1-0,23 \right)}{n}}=0,24$.○ We gebruiken de GR om deze vergelijking op te lossen.Invoer: ${{Y}_{1}}=4\cdot \sqrt{\frac{0,23\left( 1-0,23 \right)}{X}}$ en ${{Y}_{2}}=0,24$Optie: Calc $\to $ intersect geeft $X=49,14\ldots $○ De stagiair heeft 49 abonnees ondervraagd.