Getal en Ruimte 13e ed deel 2 - Hoofdstuk 7 - Kwadratische vergelijkingen en ongelijkheden oefentoetsen & antwoorden

Gebruik de discriminant. $D=b^2-4ac$In deze formule is $a=-0,3$, $b=2,8$ en $c=-7,4$.$D=2,8^2-4\cdot -0,3\cdot -7,4=-1,04$Dus $D We willen de waarden tussen −5-5−5 en 777 in onze intervalnotatie aangeven. Schrijf xxx tussen −5-5−5 en 777.−5 Gebruik de ABC-formule.Stap 1: Bereken de discriminant.In deze formule geldt: a=3,b=−6a=3, b=-6a=3,b=−6 en c=19c=19c=19D=b2−4acD=b^2-4acD=b2−4acD=(−6)2−4⋅3⋅19D=(-6)^2-4\cdot 3\cdot 19D=(−6)2−4⋅3⋅19D=36−12⋅19D=36-12\cdot 19D=36−12⋅19D=36−228=−192D=36-228=-192D=36−228=−192Antwoord: D Stap 1: Werk de haakjes uit.(12x+5)(12x+5)=x+13(\frac{1}{2}x+5)(\frac{1}{2}x+5)=x+13(21​x+5)(21​x+5)=x+13  14x2+52x+52x+25=x+13\frac{1}{4}x^2+\frac{5}{2}x+\frac{5}{2}x+25=x+1341​x2+25​x+25​x+25=x+1314x2+5x+25=x+13\frac{1}{4}x^2+5x+25=x+1341​x2+5x+25=x+13Stap 2: Herleid op nul.Werk alle getallen naar links.14x2+4x+12=0\frac{1}{4}x^2+4x+12=041​x2+4x+12=0 (beide kanten −x−13-x-13−x−13)Stap 3: Werk de breuken weg.Vermenigvuldig met 4 om 14\frac{1}{4}41​ weg te werken.x2+16x+48=0x^2+16x+48=0x2+16x+48=0Stap 4: Ontbind in factoren.Begin bij de laatste term, wat is keer elkaar 48?Kijk vervolgens naar de tweede term, wat is opgeteld 16?12×4=4812\times 4=4812×4=4812+4=1612+4=1612+4=16Dus de termen die we zoeken zijn 12 en 4.(x+12)(x+4)=0(x+12)(x+4)=0(x+12)(x+4)=0x+12=0∨x+4=0x+12=0 \vee x+4=0x+12=0∨x+4=0 (A⋅B=0A\cdot B=0A⋅B=0 geeft A=0∨B=0A=0 \vee B=0A=0∨B=0)x=−12∨x=−4x=-12 \vee x=-4x=−12∨x=−4Antwoord: x=−12∨x=−4x=-12 \vee x=-4x=−12∨x=−4Als we -40 naar rechts doen krijgen we een vergelijking van de vorm x2=cx^2=cx2=cx2−40=8x^2-40=8x2−40=8x2=48x^2=48x2=48Gebruik de wortel om de vergelijking op te lossen.x=48∨x=−48x=\sqrt{48} \vee x=-\sqrt{48}x=48​∨x=−48​x=6,93∨x=−6,93x=6,93 \vee x=-6,93x=6,93∨x=−6,93Antwoord: x=6,93∨x=−6,93x=6,93 \vee x=-6,93x=6,93∨x=−6,93Herleid op nulx2+18x=0x^2+18x=0x2+18x=0Haal xxx buiten haakjes.x(x−18)=0x(x-18)=0x(x−18)=0x=0∨x−18=0x=0 \vee x-18=0x=0∨x−18=0x=0∨x=18x=0 \vee x=18x=0∨x=18Antwoord: x=0∨x=18x=0 \vee x=18x=0∨x=18 Stap 1: Los de gelijkheid op.$\frac{1}{2}x^2+2x-10,5=0$Vermenigvuldig de vergelijking met 2, zodat $a=1$.$x^2+4x-21=0$Ontbind in factoren.$(x+7)(x-3)=0$$x+7=0 \vee x-3=0$$x=-7 \vee x=3$Stap 2: Los de ongelijkheid op.Gebruik de grafiek. $\frac{1}{2}x^2+2x-10,5>0$ oftewel, waar ligt de grafiek boven de $x$-as?Voor het snijpunt $x=-7$ ligt de grafiek boven de $x$-as, en na het snijpunt $x=3$ ligt de grafiek boven de $x$-as.Antwoord: $x<-7 \vee x>3$ Stap 1: Los de gelijkheid op.−x2+8x+12=−2x+28-x^2+8x+12=-2x+28−x2+8x+12=−2x+28 Herleid op nul.−x2+10x−16=0-x^2+10x-16=0−x2+10x−16=0Vermenigvuldig met −1-1−1 zodat a=1a=1a=1x2−10x+16=0x^2-10x+16=0x2−10x+16=0Ontbind in factoren.(x−2)(x−8)=0(x-2)(x-8)=0(x−2)(x−8)=0x−2=0∨x−8=0x-2=0 \vee x-8=0x−2=0∨x−8=0x=2∨x=8x=2 \vee x=8x=2∨x=8Stap 2: Los de ongelijkheid op.Gebruik de schets. −x2+8x+12 A en B zijn de snijpunten van fff met de xxx-as. In het snijpunt met de xxx-as geldt y=0y=0y=0. Stap 1: Los op f(x)=0f(x)=0f(x)=012x2+12x−3=0\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x-3=021​x2+21​x−3=0Vermenigvuldig de vergelijking met 2 zodat a=1a=1a=1x2+x−6=0x^2+x-6=0x2+x−6=0Ontbind in factoren.Kijk welk product -6 oplevert en welke som 1 oplevert. (x+3)(x−2)=0(x+3)(x-2)=0(x+3)(x−2)=0 x+3=0∨x−2=0x+3=0 \vee x-2=0x+3=0∨x−2=0x=−3∨x=2x=-3 \vee x=2x=−3∨x=2Stap 2: Bepaal welke coördinaat bij A hoort en welke bij B.A ligt links van de xxx-as dus de xxx-coördinaat van A is negatief. A(−3,0)A(-3,0)A(−3,0)B(2,0)B(2,0)B(2,0)Antwoord: A(−3,0)A(-3,0)A(−3,0) en B(2,0)B(2,0)B(2,0)C is het snijpunt van fff met de yyy-as. Hier is x=0x=0x=0.f(0)=12⋅02+12⋅0−3f(0)=\frac{1}{2}\cdot 0^2+\frac{1}{2}\cdot 0-3f(0)=21​⋅02+21​⋅0−3=−3=-3=−3Antwoord: C(0,−3)C(0,-3)C(0,−3)D en E zijn de snijpunten van fff en ggg.Stap 1: Los op f(x)=g(x)f(x)=g(x)f(x)=g(x)12x2+12x−3=112x−112\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x-3=1\frac{1}{2}x-1\frac{1}{2}21​x2+21​x−3=121​x−121​Herleid op 0.12x2−x−3=−112\frac{1}{2}x^2-x-3=-1\frac{1}{2}21​x2−x−3=−121​ (beide kanten −112x-1\frac{1}{2}x−121​x)12x2−x−112=0\frac{1}{2}x^2-x-1\frac{1}{2}=021​x2−x−121​=0 (beide kanten +112+1\frac{1}{2}+121​Vermenigvuldig met 2 zodat a=1a=1a=1x2−2x−3=0x^2-2x-3=0x2−2x−3=0Ontbind in factoren.(x−3)(x+1)=0(x-3)(x+1)=0(x−3)(x+1)=0x−3=0∨x+1=0x-3=0 \vee x+1=0x−3=0∨x+1=0x=3∨x=−1x=3 \vee x=-1x=3∨x=−1Stap 2: Bereken de yyy-coördinaten van de snijpunten.Vul x=−1x=-1x=−1 in in één van de twee formules, het maakt niet uit welke, beide zullen dezelfde uitkomst geven.g(−1)=112⋅−1−112g(-1)= 1\frac{1}{2}\cdot -1-1\frac{1}{2}g(−1)=121​⋅−1−121​=−112−112=−3=-1\frac{1}{2}-1\frac{1}{2}=-3=−121​−121​=−3D(−1,−3)D(-1,-3)D(−1,−3)Vul x=3x=3x=3 in in één van de twee formules, het maakt niet uit welke, beide zullen dezelfde uitkomst geven.g(3)=112⋅3−112g(3)= 1\frac{1}{2}\cdot 3-1\frac{1}{2}g(3)=121​⋅3−121​=412−112=3=4\frac{1}{2}-1\frac{1}{2}=3=421​−121​=3E(3,3)E(3,3)E(3,3)Antwoord: D(−1,−3)D(-1,-3)D(−1,−3) en E(3,3)E(3,3)E(3,3) Bereken de discriminant en gebruik:$D0$, de vergelijking heeft twee oplossingen.Stap 1: Bereken de discriminant.In deze vergelijking geldt $a=-3, b=-8, c=p$$D=b^2-4ac$$D=(-8)^2-4\cdot -3\cdot p$$D=64+12p$Stap 2: Los op $D>0$Als de discriminant groter is dan nul heeft de vergelijking twee oplossingen.$64+12p>0$$12p>-64$$p>-\frac{16}{3}$$p>-5\frac{1}{3}$Antwoord: Voor $p>-5\frac{1}{3}$ heeft de vergelijking twee oplossingen. Tussen fff en ggg staat het groter dan teken, dus de vraag is: wanneer ligt fff boven ggg?Stap 1: Zoek de snijpunten.f(x)=g(x)f(x)=g(x)f(x)=g(x) als x=−5x=-5x=−5 en x=1x=1x=1Stap 2: Kijk wanneer fff (groen) boven ggg (blauw) ligt.Voor het snijpunt x=−5x=-5x=−5 ligt fff boven ggg. Na het snijpunt x=1x=1x=1 ligt fff boven ggg.De getallenlijn die hierbij hoort:Antwoord: f(x)>g(x)f(x)>g(x)f(x)>g(x) geeft x1x1x1Tussen fff en ggg staat het kleiner dan teken, dus de vraag is: wanneer ligt fff onder ggg?Stap 1: Zoek de snijpunten.f(x)=g(x)f(x)=g(x)f(x)=g(x) als x=−5x=-5x=−5 en x=1x=1x=1Stap 2: Kijk wanneer fff (groen) onder ggg (blauw) ligt.Tussen snijpunt x=−5x=-5x=−5 en het snijpunt x=1x=1x=1 ligt fff onder ggg.De getallenlijn die hierbij hoort:Antwoord: f(x) We moeten de ongelijkheid −x2+5x+3>7-x^2+5x+3> 7−x2+5x+3>7 oplossen.Stap 1: We lossen eerst de gelijkheid −x2+5x+3=7-x^2+5x+3=7−x2+5x+3=7 op.Herleid eerst op 0 en los de vergelijking op.−x2+5x+3−7=0-x^2+5x+3-7=0−x2+5x+3−7=0 (beide kanten −7-7−7)−x2+5x−4=0-x^2+5x-4=0−x2+5x−4=0x2−5x+4=0x^2-5x+4=0x2−5x+4=0 (deel de vergelijking door −1-1−1)(x−4)(x−1)=0(x-4)(x-1)=0(x−4)(x−1)=0 (ontbind in factoren)x−4=0∨x−1=0x-4=0 \vee x-1=0x−4=0∨x−1=0x=4∨x=1x=4 \vee x=1x=4∨x=1 Stap 2: Los de ongelijkheid op.−x2+5x+3>7-x^2+5x+3> 7−x2+5x+3>7, oftewel, waar ligt ggg boven de lijn f(x)=7f(x)=7f(x)=7. De parabool ligt boven de de lijn y=7y=7y=7 voor alle punten tussen x=1x=1x=1 en x=4x=4x=4. 1