Getal en Ruimte 13e ed deel 2 - Hoofdstuk 8 - Allerlei verbanden oefentoetsen & antwoorden

Een toename komt bij 100% op, dus we tellen 23% bij 100% op.100+23=123%100+23=123\%100+23=123%Van percentage naar factor rekenen we door te delen door 100.123:100=1,23123:100=1,23123:100=1,23Antwoord: 1,23 De paarse grafiek, grafiek 1, heeft geen top. Dit is een machtsformule met een oneven exponent. We moeten dus kiezen uit $y=0,2x^5, y=-0,2x^5$.Aan het verloop van de grafiek zien we dat $a<0$.De grafiek heeft bij negatieve $x$-waarden en positieve $y$-waarde. Als we een negatieve $x$-waarde verheffen tot een oneven macht, is de uitkomst ook negatief, de $a$, het getal voor de $x^5$ moet negatief zijn om toch een positieve uitkomst te krijgen.$y=-0,2x^5$ hoort bij grafiek 1.De oranje grafiek, grafiek 2, heeft wel een top. Dit is een machtsformule met een even exponent. We moeten dus kiezen uit $y=-3x^4, y=3x^4$De grafiek is een dalparabool, dus $a>0$ $y=3x^4$ hoort bij grafiek 2.Antwoord: Bij grafiek 1 hoort de formule $y=-0,2x^5$, bij grafiek 2 hoort de formule $y=3x^4$. Tabel A: Zoek de regelmaat in de tabel. We zien dat de $y$-coördinaat steeds gehalveerd wordt.Een halvering is hetzelfde als vermenigvuldigen met $\frac{1}{2}$De onderste rij wordt dus steeds met een vast getal vermenigvuldigd, dit is een exponentieel verband.Tabel B: Zoek de regelmaat in de tabel. We zien dat er steeds $4$ van de $y$-coördinaat afgetrokken wordt.De afname in de onderste rij is steeds hetzelfde, dus dit is een lineair verband.Antwoord: Tabel A: exponentieel verband, Tabel B: lineair verband Stap 1: Isoleer eerst de macht.(2x)7=−115(2x)^7=-115(2x)7=−115 (beide kanten +5+5+5){Stap 2: Om tot de macht 7 weg te werken nemen we de 7de machtswortel.2x=−11572x=\sqrt[7]{-115}2x=7−115​ (het is een oneven macht dus we hebben maar 1 oplossing)Stap 3: Maak xxx vrij.x=12−1157x=\frac{1}{2}\sqrt[7]{-115}x=21​7−115​ (beide kanten delen door 2)x≈−0,98x\approx -0,98x≈−0,98Antwoord: x≈−0,98x\approx -0,98x≈−0,98Stap 1: Isoleer de macht.3x4=183x^4=183x4=18 (beide kanten +8+8+8)x4=6x^4=6x4=6 (beide kanten :3:3:3)Stap 2: Werk de macht weg.We kunnen tot de macht 4 wegwerken met de 4e machtswortel.4 is even, dus we hebben twee oplossingen.x=64∨x=−64x=\sqrt[4]{6} \vee x=-\sqrt[4]{6}x=46​∨x=−46​Stap 3: Bereken xxx.x≈1,57∨x≈−1,57x\approx 1,57 \vee x\approx -1,57x≈1,57∨x≈−1,57Antwoord: x≈1,57∨x≈−1,57x\approx 1,57 \vee x\approx -1,57x≈1,57∨x≈−1,57 De groei is exponentieel, dus de standaardformule die hierbij hoort is N=b⋅gtN=b\cdot g^tN=b⋅gtIn dit geval moeten we de waarde van de export WWW noemen, dus het wordt W=b⋅gtW=b\cdot g^tW=b⋅gtStap 1: Bereken de groeifactor.De groeifactor is hier gegeven, g=2,24g=2,24g=2,24Stap 2: Bepaal de beginwaarde.t=0t=0t=0 in 1998, de waarde van de export bedroeg toen 6,7 miljoen Amerikaanse dollars. b=6,7b=6,7b=6,7Stap 3: Stel de formule op.W=6,7⋅2,24tW=6,7\cdot 2,24^tW=6,7⋅2,24tAntwoord: W=6,7⋅2,24tW=6,7\cdot 2,24^tW=6,7⋅2,24tStap 1: Bereken de waarde van de export in 2001 en 2004.2001: t=0t=0t=0 in 1998 dus t=3t=3t=3 in 2001.W=6,7⋅2,243=75,3…W=6,7\cdot 2,24^3=75,3…W=6,7⋅2,243=75,3…2004:t=0t=0t=0 in 1998 dus t=6t=6t=6 in 2004.W=6,7⋅2,246=846,3…W=6,7\cdot 2,24^6=846,3…W=6,7⋅2,246=846,3…Stap 2: Bereken de procentuele verandering.We gebruiken procentuele verandering=nieuw−oudoud⋅100%procentuele\ verandering=\frac{nieuw-oud}{oud}\cdot 100\%procentuele verandering=oudnieuw−oud​⋅100%De waarde uit 2001 is het langst geleden dus oud=75,3…oud=75,3…oud=75,3… en nieuw=846,3…nieuw=846,3…nieuw=846,3…procentuele verandering=846,3…−75,3…75,3…⋅100%=1023,9%procentuele\ verandering=\frac{846,3…-75,3…}{75,3…}\cdot 100\%=1023,9\%procentuele verandering=75,3…846,3…−75,3…​⋅100%=1023,9%Gebruik je onafgeronde tussenantwoorden op de rekenmachine!Antwoord: 1023,9\% meer.Probeer een aantal waarden.In opgave b hebben we gezien dat bij t=3t=3t=3 de uitkomst al 75,3 miljoen is. Dus we moeten in ieder geval een waarde kleiner dan t=3t=3t=3 hebben. t=2t=2t=2 W=6,7⋅2,242=33,6…W=6,7\cdot 2,24^2=33,6…W=6,7⋅2,242=33,6…Dus in 2000 was de waarde van de export meer dan 30 miljoen. We controleren of het in 1999 niet ook al meer dan 30 miljoen was.t=1t=1t=1W=6,7⋅2,242=15,0…W=6,7\cdot 2,24^2=15,0…W=6,7⋅2,242=15,0…Dus in 1999 was het nog minder dan 30 miljoen, in 2000 meer dan 30 miljoen.Antwoord: in 2000Stap 1: Bereken de waarde van de export in 2003.t=5t=5t=5 in 2003 geeft:W=6,7⋅2,245=377,8…W=6,7\cdot 2,24^5=377,8…W=6,7⋅2,245=377,8…Stap 2: Bereken de gemiddelde waarde aan export per inwoner. Deel de totale waarde door het aantal inwoners.gemiddelde waarde aan export per inwoner=377,8…180,6=2,092…gemiddelde\ waarde\ aan \ export\ per\ inwoner=\frac{377,8…}{180,6}=2,092…gemiddelde waarde aan export per inwoner=180,6377,8…​=2,092… Antwoord: 2,10 Amerikaanse dollar waarde aan export per inwoner in Brazilië. Bij procentuele afname hoort exponentiële groei, dus de formule die hierbij hoort is van de vorm N=b⋅gtN=b\cdot g^tN=b⋅gtStap 1: Bereken eerst de groeifactor.Bij een afname van 1,7% hoort de groeifactor: g=100−1,7100=0,983g=\frac{100-1,7}{100}=0,983g=100100−1,7​=0,983Stap 2: Stel de formule op. t=0t=0t=0 is 2020, in 2020 waren er 34 duizend apen. De beginwaarde is 34 duizend. NNN moet in duizendtallen dus b=34b=34b=34N=34⋅0,983tN=34\cdot 0,983^tN=34⋅0,983tAntwoord:  N=34⋅0,983tN=34\cdot 0,983^tN=34⋅0,983tIn 2024 geldt t=4t=4t=4, want 2024 is 4 jaar na 2020, en in 2020 geldt t=0t=0t=0.Vul t=4t=4t=4 in in de formule.N=34⋅0,9834=31,7…N=34\cdot 0,983^4=31,7…N=34⋅0,9834=31,7…duizendAfgerond op duizendtallen is dit 32 duizend.Antwoord: 32 duizend apen. Als er sprake is van lineaire groei is er een constant verschil. 8,16−6,8=1,368,16-6,8=1,368,16−6,8=1,369,36−8,16=1,29,36-8,16=1,29,36−8,16=1,2Dit is niet twee keer hetzelfde verschil, dus dit is is geen lineaire groei.Als er sprake is van exponentiële groei is er een constante factor.De factor berekenen we door g=nieuwoudg=\frac{nieuw}{oud}g=oudnieuw​ te doen. 8,166,8=1,2\frac{8,16}{6,8}=1,26,88,16​=1,29,7928,16=1,2\frac{9,792}{8,16}=1,28,169,792​=1,211,75049,792=1,2\frac{11,7504}{9,792}=1,29,79211,7504​=1,2Dus er is sprake van een constante factor waarmee wordt vermenigvuldigd.Antwoord: Exponentiële groei.1,2 is de groeifactor per twee jaar. Neem t=0t=0t=0 in 2001. Dan geldt b=6,8b=6,8b=6,8N=6,8⋅1,2tN=6,8\cdot 1,2^tN=6,8⋅1,2t met NNN in miljoenen en ttt in tweetallen jaren.Van 2001 naar 2011 per tijdseenheid van 2 jaar is 5 stappen verder.t=5t=5t=5 geeft N=6,8⋅1,25=16,92…N=6,8\cdot 1,2^5=16,92…N=6,8⋅1,25=16,92…Antwoord: 17 miljoen Stap 1: De periode.Voor de periode kijk je hoe lang het duurt voordat de grafiek weer op dezelfde hoogte is. We zien hier dat de grafiek na 1 minuten op 1 centimeter hoogte is, na 5 minuten is de grafiek weer op 1 centimeter hoogte.periode=5−1=4periode=5-1=4periode=5−1=4De periode is dus 4 minuten.Stap 2: De evenwichtsstand.Bereken het midden van de hoogste stand en de laagste stand.hoogste stand=10hoogste\ stand=10hoogste stand=10laagste stand=1laagste\ stand=1laagste stand=1evenwichtsstand=hoogste stand+laagste stand2evenwichtsstand=\frac{hoogste\ stand+laagste\ stand}{2}evenwichtsstand=2hoogste stand+laagste stand​evenwichtsstand=10+12=5,5evenwichtsstand=\frac{10+1}{2}=5,5evenwichtsstand=210+1​=5,5Stap 3: De amplitude.Bereken de afstand van hoogste stand tot de evenwichtsstand.hoogste stand=10hoogste\ stand=10hoogste stand=10evenwichtsstand=5,5evenwichtsstand=5,5evenwichtsstand=5,5amplitude=hoogste stand−evenwichtsstandamplitude=hoogste\ stand-evenwichtsstandamplitude=hoogste stand−evenwichtsstandamplitude=10−5,5=4,5amplitude=10-5,5=4,5amplitude=10−5,5=4,5Antwoord: De periode is 4 minuten, de evenwichtsstand is 5,5 en de amplitude is 4,5. Het reuzenrad draait een rondje in 4 minuten, dan is hij namelijk weer beneden. Een uur duurt 60 minuten, het reuzenrad draait dan 60:4=1560:4=1560:4=15 rondjes.Antwoord: 15 rondjesWe kunnen dit niet aflezen in de grafiek maar moeten verder rekenen.Na 5 minuten zijn de poppetjes weer op 1 cm hoogte, helemaal onderaan. Kijk naar de eerste periode om te kijken waar de poppetjes zijn na 7 minuten.7 minuten is 2 minuten verder dan 5 minuten, we gaan dus in de eerste periode kijken waar de poppetjes zijn 2 minuten na het laagste punt. De grafiek is 2 minuten na het laagste punt bij 10 cm hoogte.Antwoord: De poppetjes zijn op 10 cm hoogte. Vul voor zijde 20 in: z=20z=20z=20 I=0,063⋅203=504 cm3I=0,063\cdot 20^3=504\ cm^3I=0,063⋅203=504 cm3Antwoord: 504 cm3504\ cm^3504 cm3We willen weten voor welke zzz de inhoud 450 cm3cm^3cm3 is, oftewel I=450I=450I=450Stap 1: Stel een vergelijking op.0,063z3=4500,063z^3=4500,063z3=450Stap 2: Los de vergelijking op.z3=7142,85…z^3= 7142,85…z3=7142,85… (beide kanten :0,063:0,063:0,063)z=7142,85…3z=\sqrt[3]{7142,85…}z=37142,85…​ Gebruik ‘ans’ in je rekenmachine zodat je niet tussendoor afrondWe hebben maar 1 oplossing omdat 3 oneven is.z=19,258…z=19,258…z=19,258…z≈19,26z\approx 19,26z≈19,26Antwoord: De zijden zijn ongeveer 19,26 cm lang. Dit is een omgekeerd evenredig verband, hoe meer winnaars, hoe minder prijzengeld per persoon. Dus als xxx bijvoorbeeld drie keer zo groot wordt, wordt yyy drie keer zo klein. De formule is van de vorm y=axy=\frac{a}{x}y=xa​. In dit geval is dit y=20000xy=\frac{20000}{x}y=x20000​ met yyy het prijzengeld per persoon en xxx het aantal winnaars.Antwoord: y=20000xy=\frac{20000}{x}y=x20000​ In totaal worden er dus, naast Jan nog 150 winnaars, 151 juiste inzendingen gedaan. x=151x=151x=151 geeft y=20000151=132.45y=\frac{20000}{151}=132.45y=15120000​=132.45. Hij wint €132,45. Antwoord: €132,45. Dan is x=100x=100x=100, want 20000100=200\frac{20000}{100}=20010020000​=200 Antwoord: 100 juiste inzendingen