Moderne Wiskunde 13e ed deel A - Hoofdstuk 7 - Kwadratische functies oefentoetsen & antwoorden

Het functievoorschrift is van de vorm $f(x)=a(x-s)(x-t)$. Hierin zijn $(s,0)$ en $(t,0)$ de snijpunten met de $x$-as.Let op! Als er een $+$ voor de $s$ of $t$ staat is de $x$-coördinaat van het snijpunt met de $x$-as juist negatief.Antwoord: $(6,0)$ en $(-2,0)$  In deze vorm van een kwadratische functie kun je de top aflezen.$f(x)=a(x-p)^2+q$ geeft top $(p,q)$.In dit geval is de $p$ $-5$, $g(x)=3(x\red{+5})^2-9$$q$ is $-9$, $g(x)=3(x+5)^2\red{-9}$De coördinaten van de top zijn dus $(-5,-9)$$a=3>0$ dus dit is een dalparabool.Antwoord: dalparabool, $(-5,-9)$ In deze vorm van een kwadratische functie kun je de snijpunten met de $x$-as aflezen.$f(x)=a(x-s)(x-t)$ Hierin zijn $(s,0)$ en $(t,0)$ de snijpunten met de $x$-as.In dit geval is $s=7$ en $t=-9$, dus de snijpunten van de grafiek met de $x$-as zijn $(7,0)$ en $(-9,0)$.De symmetrie-as ligt precies tussen deze twee $x$-coördinaten. Het midden van $-9$ en $7$ vinden we door ze op te tellen en te delen door twee.$-9+7=-2$$-2:2=-1$De symmetrie-as is $x=-1$, dit is tevens de $x$-coördinaat van de top.De $y$-coördinaat van de top kunnen we berekenen door $x_{top}=-1$ in te vullen in de formule. $k(-1)=-(-1-7)(-1+9)=-(-8)(8)=64$De coördinaten van de top zijn dus $(-1,64)$.Antwoord: $x=-1$ en $(-1,64)$ In deze vorm van een kwadratische functie kun je de top aflezen.$f(x)=a(x-p)^2+q$ geeft top $(p,q)$.In dit geval is de $p$ $-1$, $f(x)=a(x\red{+1})^2-32$$q$ is $-32$, $f(x)=a(x+1)^2\red{-32}$De coördinaten van de top zijn dus $(-1,-32)$Antwoord: $(-1,-32)$Door het punt $(-2,-30)$ in te vullen kunnen we $a$ vinden.$f(-2)=a(-2+1)^2-32=-30$$a(-1)^2-32=-30$$a-32=-30$$a=2$ Antwoord: $a=2$Uit opgave b weten we dat $a=2$, dus $f(x)=2(x+1)^2-32$In het snijpunt met de $y$-as geldt $x=0$, we vullen $x=0$ in.$f(0)=2(0+1)^2-32$$=2(1)^2-32$$=2-32=-30$Antwoord: Het snijpunt met de $y$-as is $f(0)=-30$In het snijpunt met de $x$-as geldt $y=0$ we lossen dus op $f(x)=0$$f(x)=2(x+1)^2-32=0$$2(x+1)^2=32$ (beide kanten $+32$)$(x+1)^2=16$ (beide kanten delen door 2)$x+1=\sqrt{16}$ of $x+1=-\sqrt{16}$ (beide kanten de wortel)$x+1=4$ of $x+1=-4$$x=3$ of $x=-5$Antwoord: De snijpunten met de $x$-as zijn $(3,0)$ en $(-5,0)$ Stap 1: Ontbindt de formule in factoren.Kijk welk product $-12$ oplevert en welke som $1$ oplevert. $f(x)=(x+4)(x-3)$ Stap 2: De herkenbare punten in deze vorm zijn de snijpunten met de $x$-as.De snijpunten met de $x$-as in deze vorm zijn $(s,0)$ en $(t,0)$$s=-3$ dus $(-4,0)$$t=3$ dus $(3,0)$Antwoord: $f(x)=(x+4)(x-3)$ en de snijpunten met de $x$-as zijn $(-4,0)$ en $(3,0)$ Van deze parabool weten we de snijpunten met de $x$-as, namelijk $(3,0)$ en $(-4,0)$, dit geeft $s$ en $t$.Stap 1: Vul in $s=3$ en $t=-4$$j(x)=a(x-3)(x--4)$$j(x)=a(x-3)(x+4)$Stap 2: Bereken $a$ door het punt $(2,6)$ in te vullen in de formule.$6=a(2-3)(2+4)$$6=a(-1)(6)$$6=a\cdot -1\cdot 6$$6=-6a$$a=-1$Antwoord: $j(x)=-(x-3)(x+4)$ We splitsen het kwadraat af.Stap 1: Kijk naar de tweede term. Deel deze door twee en vul hem in. De tweede term is -8, −8:2=−4-8:2=-4−8:2=−4f(x)=(x−4)2…f(x)=(x-4)^2…f(x)=(x−4)2…Stap 2: Trek eraf wat je te veel hebt gerekend. We hebben (−4)2=16(-4)^2=16(−4)2=16 te veel gerekend. f(x)=(x−4)2−16…f(x)=(x-4)^2-16…f(x)=(x−4)2−16…Stap 3: Schrijf de rest van de uitdrukking erachter.f(x)=(x−4)2−16+134f(x)=(x-4)^2-16+1\frac{3}{4}f(x)=(x−4)2−16+143​Stap 4: Schrijf de uitdrukking korter. f(x)=(x−4)2−1414f(x)=(x-4)^2-14\frac{1}{4}f(x)=(x−4)2−1441​Stap 5: In deze vorm is het herkenbare punt dat we kunnen vinden de top, namelijk (p,q)(p,q)(p,q).p=4p=4p=4 en q=−1414q=-14\frac{1}{4}q=−1441​De top is dus (4,−1414)(4, -14\frac{1}{4})(4,−1441​)Antwoord: f(x)=(x−4)2−1414f(x)=(x-4)^2-14\frac{1}{4}f(x)=(x−4)2−1441​ met top (4,−1414)(4, -14\frac{1}{4})(4,−1441​)We splitsen het kwadraat af.Stap 1: Kijk naar de tweede term. Deel deze door twee en vul hem in. De tweede term is 12\frac{1}{2}21​, 12:2=14\frac{1}{2}:2=\frac{1}{4}21​:2=41​f(x)=(x+14)2…f(x)=(x+\frac{1}{4})^2…f(x)=(x+41​)2…Stap 2: Trek eraf wat je te veel hebt gerekend. We hebben (14)2=116(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}(41​)2=161​ te veel gerekend. f(x)=(x+14)2−116…f(x)=(x+\frac{1}{4})^2-\frac{1}{16}…f(x)=(x+41​)2−161​…Stap 3: Schrijf de rest van de uitdrukking erachter.f(x)=(x+14)2−116−13f(x)=(x+\frac{1}{4})^2-\frac{1}{16}-13f(x)=(x+41​)2−161​−13Stap 4: Schrijf de uitdrukking korter. f(x)=(x+14)2−13116f(x)=(x+\frac{1}{4})^2-13\frac{1}{16}f(x)=(x+41​)2−13161​Stap 5: In deze vorm is het herkenbare punt dat we kunnen vinden de top, namelijk (p,q)(p,q)(p,q).p=−14p=-\frac{1}{4}p=−41​ en q=−13116q=-13\frac{1}{16}q=−13161​De top is dus (−14,−13116)(-\frac{1}{4}, -13\frac{1}{16})(−41​,−13161​)Antwoord: f(x)=(x+14)2−13116f(x)=(x+\frac{1}{4})^2-13\frac{1}{16}f(x)=(x+41​)2−13161​ met top (−14,−13116)(-\frac{1}{4}, -13\frac{1}{16})(−41​,−13161​) Stap 1: Bepaal of fff een berg- of dalparabool is.a=1a=1a=1, a>0a>0a>0 dus dit is een dalparabool.Stap 2: Bepaal het snijpunt van de grafiek met de yyy-as.f(0)=02−4⋅0−7=−7f(0)=0^2-4\cdot 0-7=-7f(0)=02−4⋅0−7=−7Het snijpunt met de yyy-as is (0,−7)(0,-7)(0,−7)Stap 3: Bepaal de coördinaten van de top.We splitsen het kwadraat af.Stap 3.1: Kijk naar de tweede term. Deel deze door twee en vul hem in. De tweede term is −4-4−4, −4:2=−2-4:2=-2−4:2=−2f(x)=(x−2)2…f(x)=(x-2)^2…f(x)=(x−2)2…Stap 3.2: Trek eraf wat je te veel hebt gerekend. We hebben (−2)2=4(-2)^2=4(−2)2=4 te veel gerekend. f(x)=(x−2)2−4…f(x)=(x-2)^2-4…f(x)=(x−2)2−4…Stap 3.3: Schrijf de rest van de uitdrukking erachter.f(x)=(x−2)2−4−7f(x)=(x-2)^2-4-7f(x)=(x−2)2−4−7Stap 3.4: Schrijf de uitdrukking korter. f(x)=(x−2)2−11f(x)=(x-2)^2-11f(x)=(x−2)2−11Stap 4: In deze vorm is het herkenbare punt dat we kunnen vinden de top, namelijk (p,q)(p,q)(p,q).p=2p=2p=2 en q=−11q=-11q=−11De top is dus (2,−11)(2,-11)(2,−11)Stap 5: Schets de parabool.Zet de punten (0,−7)(0,-7)(0,−7) en (2,−11)(2,-11)(2,−11) in een assenstelsel.Het is een schets dus we hoeven geen getallen bij de assen te zetten.Teken een vloeiende dalparabool door de punten.Antwoord:  We weten van deze parabool de top. We gebruiken dus de formule van de vorm f(x)=a(x−p)2+qf(x)=a(x-p)^2+qf(x)=a(x−p)2+q, hierbij is de top (p,q)(p,q)(p,q).Stap 1: Vul de top in in de formule. y=a(x−3)2+5y=a(x-3)^2+5y=a(x−3)2+5Stap 2: Vul het extra gegeven punt in om aaa te berekenen.In dit geval is (−2,55)(-2, 55)(−2,55) gegeven naast de top.55=a(−2−3)2+555=a(-2-3)^2+555=a(−2−3)2+5Los de vergelijking op.50=a(−5)250=a(-5)^250=a(−5)2 (5 naar de andere kant)50=25a50=25a50=25aa=2a=2a=2Antwoord: f(x)=2(x−3)2+5f(x)=2(x-3)^2+5f(x)=2(x−3)2+5 We weten naast het snijpunt met de yyy-as twee willekeurige punten, we gebruiken dus de vorm f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+cStap 1: Het snijpunt met de yyy-as geeft ccc. c=5c=5c=5f(x)=ax2+bx+5f(x)=ax^2+bx+5f(x)=ax2+bx+5Stap 2: Vul de andere twee punten in en maak een stelsel van vergelijkingen.a(−2)2+b⋅−2+5=−11a(-2)^2+b\cdot -2+5=-11a(−2)2+b⋅−2+5=−114a−2b+5=−114a-2b+5=-114a−2b+5=−114a−2b=−164a-2b=-164a−2b=−16a⋅32+b⋅3+5=−1a\cdot 3^2+b\cdot 3+5=-1a⋅32+b⋅3+5=−19a+3b+5=−19a+3b+5=-19a+3b+5=−19a+3b=−69a+3b=-69a+3b=−6{4a−2b=−169a+3b=−6\begin{cases} 4a-2b=-16 \\ 9a+3b=-6 \end{cases}{4a−2b=−169a+3b=−6​Stap 3: Los het stelsel op. Maak bbb vrij in de eerste vergelijking.4a−2b=−164a-2b=-164a−2b=−16−2b=−16−4a-2b=-16-4a−2b=−16−4a (beide kanten −4a-4a−4a)b=8+2ab=8+2ab=8+2a (beide kanten delen door −2-2−2)Substitueer b=8+2ab=8+2ab=8+2a in de tweede vergelijking.9a+3(8+2a)=−69a+3(8+2a)=-69a+3(8+2a)=−6Werk de haakjes uit en los de vergelijking op.9a+24+6a=−69a+24+6a=-69a+24+6a=−615a+24=−615a+24=-615a+24=−6 15a=−3015a=-3015a=−30 (beide kanten −24-24−24)a=−2a=-2a=−2 (beide kanten delen door 151515)a=−2a=-2a=−2 invullen in b=8+2ab=8+2ab=8+2a geeftb=8+2⋅−2b=8+2\cdot -2b=8+2⋅−2b=8−4=4b=8-4=4b=8−4=4Dus a=−2a=-2a=−2 en b=4b=4b=4Stap 4: Stel de formule op.a=−2a=-2a=−2, b=4b=4b=4 en c=5c=5c=5 geeft:f(x)=−2x2+4x+5f(x)=-2x^2+4x+5f(x)=−2x2+4x+5Antwoord: f(x)=−2x2+4x+5f(x)=-2x^2+4x+5f(x)=−2x2+4x+5