Moderne Wiskunde 13e ed deel A - Hoofdstuk 7 - Verbanden oefentoetsen & antwoorden

Een hyperbool De paarse grafiek, grafiek 1, heeft geen top. Dit is een machtsformule met een oneven exponent. We moeten dus kiezen uit $y=0,2x^5, y=-0,2x^5$.De grafiek heeft bij negatieve $x$-waarden een positieve $y$-waarde. Als we een negatieve $x$-waarde verheffen tot een oneven macht, is de uitkomst ook negatief, de $a$, het getal voor de $x^5$ moet negatief zijn om toch een positieve uitkomst te krijgen.$y=-0,2x^5$ hoort bij grafiek 1.De oranje grafiek, grafiek 2, heeft wel een top. Dit is een machtsformule met een even exponent. We moeten dus kiezen uit $y=-3x^4, y=3x^4$De grafiek is een dalparabool, dus $a>0$ $y=3x^4$ hoort bij grafiek 2.Antwoord: Bij grafiek 1 hoort de formule $y=-0,2x^5$, bij grafiek 2 hoort de formule $y=3x^4$. Een machtsverband, dit zien we aan de macht, $r^3$, het grondtal is een variabele en de exponent is 3. Antwoord: Machtsverband Als er sprake is van een kwadratisch verband nemen de toenamen met een vast getal toe of af.Bepaal de toenamen. Bepaal nu van de toenamen weer de toename.  Antwoord: De toenamen nemen met een vast getal toe, namelijk 2, dus er is sprake van een kwadratisch verband. Vermenigvuldig elke xxx-waarde met de bijbehorende yyy-waarde en laat zien dat er steeds dezelfde uitkomst uit komt.30×30=90030\times 30=90030×30=90060×15=90060\times 15=90060×15=90090×10=90090\times 10=90090×10=900120×7,5=900120\times 7,5=900120×7,5=900150×6=900150\times 6=900150×6=900Antwoord: Er is inderdaad sprake van een omgekeerd evenredig verband.y=900xy=\frac{900}{x}y=x900​x=900yx=\frac{900}{y}x=y900​x×y=900x\times y=900x×y=900 Stap 1: Bereken de $x$-coördinaat van het randpunt.De wortelfunctie heeft een randpunt omdat we geen negatieve waarde onder de wortel kunnen hebben. Daarom kunnen we alleen $x$-waarden invullen waarvoor geldt $3x-11\geq 0$. Om te kijken wat $x$ minimaal is lossen we $3x-11=0$ op. $3x-11=0$$3x=11$$x=\frac{11}{3}=3\frac{2}{3}$Stap 2: Bereken de $y$-coördinaat van het randpunt.Vul $x=3\frac{2}{3}$ in in de formule.$y=\sqrt{3\cdot 3\frac{2}{3}-11}+5$$y=\sqrt{0}+5$$y=5$Antwoord: De coördinaten van het randpunt zijn $(3\frac{2}{3}, 5)$ Tabel A: Zoek de regelmaat in de tabel. We zien dat de $y$-coördinaat steeds gehalveerd wordt.Een halvering is hetzelfde als vermenigvuldigen met $\frac{1}{2}$De onderste rij wordt dus steeds met een vast getal vermenigvuldigd, dit is een exponentieel verband.Tabel B: Zoek de regelmaat in de tabel. We zien dat er steeds $4$ van de $y$-coördinaat afgetrokken wordt.De afname in de onderste rij is steeds hetzelfde, dus dit is een lineair verband. Antwoord: Tabel A: exponentieel verband, Tabel B: lineair verband We kunnen controleren of er sprake is van een evenredig verband door te kijken of het quotiënt van de variabelen BBB en fff steeds hetzelfde is.32,550=0,65\frac{32,5}{50}=0,655032,5​=0,6535,7555=0,65\frac{35,75}{55}=0,655535,75​=0,653960=0,65\frac{39}{60}=0,656039​=0,6542,2565=0,65\frac{42,25}{65}=0,656542,25​=0,6545,570=0,65\frac{45,5}{70}=0,657045,5​=0,6548,7575=0,65\frac{48,75}{75}=0,657548,75​=0,65Het quotiënt is steeds gelijk, dus er is sprake van een recht evenredig verband tussen de framemaat en de beenlengte.De formule die hoort bij een recht evenredig verband is f=aBf=aBf=aBDe uitkomst van het quotiënt van de variabelen BBB en fff is de evenredigheidsconstante, dus a=0,65a=0,65a=0,65De formule is f=0,65Bf=0,65Bf=0,65BAntwoord: f=0,65Bf=0,65Bf=0,65B  Dit is een omgekeerd evenredig verband: hoe meer winnaars, hoe minder prijzengeld per persoon. Dus als $x$ bijvoorbeeld drie keer zo groot wordt, wordt $y$ drie keer zo klein. De formule is van de vorm $y=\frac{a}{x}$. In dit geval is dit $y=\frac{20000}{x}$ met $y$ het prijzengeld per persoon en $x$ het aantal winnaars.Antwoord: $y=\frac{20000}{x}$ of $x=\frac{2000}{y}$ of $x\cdot y=2000$In totaal worden er dus naast Jan nog 150 deelnemers, voor een totaal van 151 juiste inzendingen gedaan. $x=151$ geeft $y=\frac{20000}{151}=132,45$. Hij wint €132,45. Antwoord: €132,45.  Als x=0x=0x=0 krijgen we een 000 in de noemer van de breuk, dan is er geen uitkomst want we kunnen niet delen door 0.Antwoord: x=0x=0x=0Als je xxx steeds verder van 000 afneemt wordt de uitkomst van 8x\frac{8}{x}x8​ steeds kleiner. 888 delen door een steeds groter wordend getal geeft namelijk een steeds kleinere uitkomst. We tellen dus bij een steeds kleiner getal 444 op. Op een gegeven moment is de uitkomst van 8x\frac{8}{x}x8​ bijna 0, de uitkomsten naderen dan naar y=4y=4y=4. Stap 1: Maak een tabel.xxx-4-3-2-101234yyyStap 2: Bereken bij elke xxx-waarde de yyy-waarde. x=0x=0x=0 geeft geen uitkomst dus hieronder zetten we een streepje.x=−4x=-4x=−4 geeft y=8−4+4y=\frac{8}{-4}+4y=−48​+4=−2+4=2=-2+4=2=−2+4=2xxx-4-3-2-101234yyy2-x=−3x=-3x=−3 geeft y=8−3+4y=\frac{8}{-3}+4y=−38​+4=−223+4=113=-2\frac{2}{3}+4=1\frac{1}{3}=−232​+4=131​xxx-4-3-2-101234yyy21131\frac{1}{3}131​-x=−2x=-2x=−2 geeft y=8−2+4y=\frac{8}{-2}+4y=−28​+4=−4+4=0=-4+4=0=−4+4=0x=−1x=-1x=−1 geeft y=8−1+4y=\frac{8}{-1}+4y=−18​+4=−8+4=−4=-8+4=-4=−8+4=−4x=1x=1x=1 geeft y=81+4y=\frac{8}{1}+4y=18​+4=8+4=12=8+4=12=8+4=12x=2x=2x=2 geeft y=82+4y=\frac{8}{2}+4y=28​+4=4+4=8=4+4=8=4+4=8x=3x=3x=3 geeft y=83+4y=\frac{8}{3}+4y=38​+4=223+4=623=2\frac{2}{3}+4=6\frac{2}{3}=232​+4=632​x=4x=4x=4 geeft y=84+4y=\frac{8}{4}+4y=48​+4=2+4=6=2+4=6=2+4=6Zet de waarden in de tabel.xxx-4-3-2-101234yyy21131\frac{1}{3}131​0-4-1286236\frac{2}{3}632​6Stap 3: Teken een assenstelsel.Zet op de horizontale as de waarden −4-4−4 tot en met 444.Zorg dat op de verticale as de grootste yyy-waarde in de tabel (12) en de kleinste yyy-waarde in de tabel (-4) zichtbaar is. Stap 4: Teken de punten in het assenstelsel.Teken een vloeiende kromme door de punten.De verticale asymptoot is x=0x=0x=0, want x=0x=0x=0 geeft geen uitkomst. De horizontale asymptoot is y=4y=4y=4 omdat de uitkomsten naderen naar y=4y=4y=4 (zie opgave b).Stippel deze asymptoten.Antwoord: De verticale asymptoot is x=0x=0x=0 en de horizontale asymptoot is y=4y=4y=4 Vul voor zijde 20 in. $z=20$ $I=0,063\times 20^3=504\ cm^3$Antwoord: $504\ cm^3$Vul de waarden van $z$ in in de formule. Schrijf de uitkomst eronder in de tabel.$z=20$ weten we uit opdracht a.$z\ (cm)$0101520$I\ (cm^3)$504$z=0$ geeft:$I=0,063\times 0^3=0\ cm^3$$z\ (cm)$0101520$I\ (cm^3)$0504$z=10$ geeft:$I=0,063\times 10^3=63\ cm^3$$z\ (cm)$0101520$I\ (cm^3)$063504$z=15$ geeft:$I=0,063\times 15^3=213\ cm^3$Antwoord:$z\ (cm)$0101520$I\ (cm^3)$063213504 Vul voor hhh 5 in in de formule.h=5h=5h=5 geeft k=2×(3,14×5)=7,92…k=2\times \sqrt{(3,14\times 5)}=7,92…k=2×(3,14×5)​=7,92….Dit is afgerond 8.Antwoord: 8 kilometerStap 1: Maak een tabel en bereken de waarden voor kkk bij de verschillende waarden voor hhh.We maken een tabel vanaf h=0h=0h=0 omdat Nynke niet op een negatief aantal meters hoogte kan staan.h (m)h  (m)h (m)0246810k(km)k (km)k(km)k=0k=0k=0 geeft k=2×(3,14×0)=0k=2\times \sqrt{(3,14\times 0)}=0k=2×(3,14×0)​=0h (m)h  (m)h (m)0246810k(km)k (km)k(km)0k=2k=2k=2 geeft k=2×(3,14×2)=5,0k=2\times \sqrt{(3,14\times 2)}=5,0k=2×(3,14×2)​=5,0h (m)h  (m)h (m)0246810k(km)k (km)k(km)05,0k=4k=4k=4 geeft k=2×(3,14×4)=7,1k=2\times \sqrt{(3,14\times 4)}=7,1k=2×(3,14×4)​=7,1h (m)h  (m)h (m)0246810k(km)k (km)k(km)05,07,1k=6k=6k=6 geeft k=2×(3,14×6)=8,7k=2\times \sqrt{(3,14\times 6)}=8,7k=2×(3,14×6)​=8,7h (m)h  (m)h (m)0246810k(km)k (km)k(km)05,07,18,7k=8k=8k=8 geeft k=2×(3,14×8)=10,0k=2\times \sqrt{(3,14\times 8)}=10,0k=2×(3,14×8)​=10,0h (m)h  (m)h (m)0246810k(km)k (km)k(km)05,07,18,710,0k=10k=10k=10 geeft k=2×(3,14×10)=11,2k=2\times \sqrt{(3,14\times 10)}=11,2k=2×(3,14×10)​=11,2h (m)h  (m)h (m)0246810k(km)k (km)k(km)05,07,18,710,011,2Stap 2: Teken de punten in een assenstelsel.Stap 3: Teken een vloeiende kromme door de punten.Antwoord: k=6,1k=6,1k=6,1 ligt boven h=3h=3h=3Antwoord: Nynke staat op 3 meter hoogte.