Moderne Wiskunde 13e ed deel B - Hoofdstuk 7 - Vergelijkingen oplossen oefentoetsen & antwoorden

Om de vergelijking op te lossen moeten we aan beide kanten van de $=$ worteltrekken. Als we dit doen komt er rechts $-8$ onder de wortel te staan. We kunnen echter geen wortel nemen van een negatief getal, dus heeft de vergelijking geen oplossingen. Stap 1: We gaan het omslagpunt van de lijnen zoeken, hiervoor stellen we de lijnen aan elkaar gelijk.6−x=−2+3x6-x=-2+3x6−x=−2+3xStap 2: Haal alle termen met xxx erin naar links.6−x=−2+3x6-x=-2\red{+3x}6−x=−2+3x, de 3x3x3x moet naar links, dus we doen beide kanten −3x-3x−3x.6−x−3x=−2+3x−3x6-x\red{-3x}=-2+3x\red{-3x}6−x−3x=−2+3x−3x6−4x=−26-4x=-26−4x=−2Stap 3: Haal alle losse termen naar rechts.6−4x=−2\red{6}-4x=-26−4x=−2, de 666 aan de linkerkant moet naar de rechterkant, dus we doen beide kanten −6-6−6.6−4x−6=−2−66-4x\red{-6}=-2\red{-6}6−4x−6=−2−6−4x=−8-4x=-8−4x=−8Stap 4: Deel beide kanten door −4-4−4. x=2x=2x=2Stap 5: Bereken de yyy-coördinaat die hoort bij x=2x=2x=2.Vul hiervoor x=2x=2x=2 in in één van de twee formules.y=6−2=4y=6-2=4y=6−2=4Of:y=−2+3×2y=-2+3\times 2y=−2+3×2y=−2+6=4y=-2+6=4y=−2+6=4Antwoord: Het omslagpunt is (2,4)(2,4)(2,4)Kies een getal na het omslagpunt, dus een xxx groter dan x=2x=2x=2, bijvoorbeeld x=3x=3x=3Vul x=3x=3x=3 in in beide formules.y=6−3=3y=6-3=3y=6−3=3en:y=−2+3×3y=-2+3\times 3y=−2+3×3=−2+9=7=-2+9=7=−2+9=7Dus na het omslagpunt zijn de uitkomsten van de formule y=6−xy=6-xy=6−x het kleinst.Antwoord: y=6−xy=6-xy=6−x Doe steeds links en rechts hetzelfde. $x^2=16$ (beide kanten $+3$)$x=\sqrt{16}$ of $x=-\sqrt{16}$ (beide kanten worteltrekken)Antwoord: $x=4$ of $x=-4$Doe steeds links en rechts hetzelfde. $x^2=2$ (beide kanten $+7$)$x=\sqrt{2}$ of $x=-\sqrt{2}$ (beide kanten worteltrekken)Antwoord: $x=1,41$ of $x=-1,41$Doe steeds links en rechts hetzelfde. $m^2=0$ (beide kanten $+7$)$m=\sqrt{0}$ of $m=-\sqrt{0}$ (beide kanten worteltrekken)Antwoord: $m=0$Doe steeds links en rechts hetzelfde. $p^2=-5$ (beide kanten $-8$)$p=\sqrt{-5}$ of $p=-\sqrt{-5}$ (beide kanten worteltrekken)Antwoord: Geen oplossingen, want de wortel uit een negatief getal bestaat niet. Bij een horizontale afstand van 4 meter hoort a=4a=4a=4. Vul de waarde voor aaa in in de formule. a=4a=4a=4 geeft:h=−0,05×42+0,7×4+0,5h=-0,05\times 4^2+0,7\times 4+0,5h=−0,05×42+0,7×4+0,5.h=−0,05×16+2,8+0,5h=-0,05\times 16+2,8+0,5h=−0,05×16+2,8+0,5h=−0,8+3,3=2,5h=-0,8+3,3=2,5h=−0,8+3,3=2,5Antwoord: Bij een horizontale afstand van 4 meter is de bal op 2,5 meter hoogte. Iets verder dan 14,5 meter komt de bal weer op de grond. Dus ongeveer 14,7 meter. Antwoord: 14,7 meter (als je 14,6 of 14,8 meter had is dat ook goed) Stap 1: Schat de xxx-coördinaat van het snijpunt.De eerste coördinaat van het snijpunt is ongeveer 1,4.Stap 2: Maak een tabel met 1,4 en ten minste één waarde boven 1,4 en één waarde onder 1,4.xxx1,31,41,5y=2x3y=2x^3y=2x3y=3x+1y=3x+1y=3x+1Bereken de yyy-coördinaten bij de verschillende xxx-waarden.x=1,3x=1,3x=1,3 geeft:y=2⋅1,33=4,394y=2\cdot 1,3^3=4,394y=2⋅1,33=4,394y=3⋅1,3+1=4,9y=3\cdot 1,3+1=4,9y=3⋅1,3+1=4,9 x=1,4x=1,4x=1,4 geeft:y=2⋅1,43=5,488y=2\cdot 1,4^3=5,488y=2⋅1,43=5,488y=3⋅1,4+1=5,2y=3\cdot 1,4+1=5,2y=3⋅1,4+1=5,2 x=1,5x=1,5x=1,5 geeft:y=2⋅1,53=6,75y=2\cdot 1,5^3=6,75y=2⋅1,53=6,75y=3⋅1,5+1=5,5y=3\cdot 1,5+1=5,5y=3⋅1,5+1=5,5 xxx1,31,41,5y=2x3y=2x^3y=2x34,3945,4886,75y=3x+1y=3x+1y=3x+14,95,25,5Stap 3: Bereken de verschillen tussen de yyy-waarden.xxx1,31,41,5y=2x3y=2x^3y=2x34,3945,4886,75y=3x+1y=3x+1y=3x+14,95,25,5Verschil0,5060,2881,25Het verschil is het kleinst bij x=1,4x=1,4x=1,4Antwoord: De eerste coördinaat van het snijpunt is ongeveer 1,4 Voor het omslagpunt stel je de formules aan elkaar gelijk. Stap 1: Zet aan de ene kant van de === de formule van verhuurder A en aan de andere kant van de === de formule van verhuurder B.30+5a=20+7,50a30+5a=20+7,50a30+5a=20+7,50aStap 2: Vervolgens gebruiken we de balansmethode. Alle waarden met aaa erin verplaatsen we naar de linkerkant.30+5a=20+7,50a30+5a=20+\red{7,50a}30+5a=20+7,50a. 7,50a7,50a7,50a is een getal met aaa erin aan de rechterkant, deze werken we naar de linkerkant door beide kanten −7,50a-7,50a−7,50a te doen.30+5a−7,50a=20+7,50a−7,50a30+5a\red{-7,50a}=20+7,50a\red{-7,50a}30+5a−7,50a=20+7,50a−7,50a30−2,50a=2030-2,50a=2030−2,50a=20Stap 3: Vervolgens verplaatsen we de losse getallen naar de rechterkant. 30−2,50a=20\red{30}-2,50a=2030−2,50a=20. 303030 is een los getal links. We trekken van beide kanten −30-30−30 af om deze naar rechts te werken. 30−2,50a−30=20−3030-2,50a\red{-30}=20\red{-30}30−2,50a−30=20−30−2,50a=−10-2,50a=-10−2,50a=−10a=4a=4a=4Stap 4: Vervolgens moeten we nog de tweede coördinaat van het snijpunt berekenen.Hiervoor vullen we de aaa-coördinaat in één van de twee formules.b=30+5×4b=30+5\times 4b=30+5×4b=30+20=50b=30+20=50b=30+20=50Als we a=4a=4a=4 invullen bij de formule van verhuurder B krijgen we dezelfde uitkomst. b=20+7,50×4b=20+7,50\times 4b=20+7,50×4b=20+30=50b=20+30=50b=20+30=50Je hoeft a=4a=4a=4 maar in één van de twee formules in te vullen omdat ze dus beide dezelfde uitkomst geven, je mag zelf kiezen welke berekening jij opschrijft.Antwoord: Dus de coördinaten van het omslagpunt zijn (4,50)(4,50)(4,50)Als je de kraam vier uur huurt zijn beide verhuurders even duur, beide kosten ze dan namelijk 50 euro. Na het omslagpunt is verhuurder A goedkoper. Vul een controlepunt na het omslagpunt in om dit te controleren.a=5a=5a=5 bij verhuurder A:b=30+5×5b=30+5\times 5b=30+5×5b=30+25=55b=30+25=55b=30+25=55Vul ook a=5a=5a=5 in in de tweede formule.b=20+7,50×5b=20+7,50\times 5b=20+7,50×5b=20+37,50=57,50b=20+37,50=57,50b=20+37,50=57,50Antwoord: Dus na vier uur huren is verhuurder A goedkoper. Doe links en rechts hetzelfde.$5x^2=15$ (beide kanten $-2$)$x^2=3$ (beide kanten $:5$)$x=\sqrt{3}$ of $x=-\sqrt{3}$ (beide kanten worteltrekken)Antwoord: $x=1,73$ of $x=-1,73$ Deze vergelijking kunnen we niet met een pijlenketting of de balansmethode oplossen. We gaan daarom inklemmen.Stap 1: Teken een lijn bij y=3y=3y=3Stap 2: Schat de xxx-coördinaat van het snijpunt.De eerste coördinaat van het snijpunt is ongeveer 1,7.Stap 3: Maak een tabel met 1,7 en tenminste één waarde boven 1,7 en één waarde onder 1,7.xxx1,61,71,8yyyBereken de yyy-coördinaat bij de verschillende xxx-waarden.x=1,6x=1,6x=1,6 geeft:1,63−2×1,6+1=1,8961,6^3-2\times 1,6+1=1,8961,63−2×1,6+1=1,896x=1,7x=1,7x=1,7 geeft:1,73−2×1,7+1=2,5131,7^3-2\times 1,7+1=2,5131,73−2×1,7+1=2,513x=1,8x=1,8x=1,8 geeft:1,83−2×1,8+1=3,2321,8^3-2\times 1,8+1=3,2321,83−2×1,8+1=3,232xxx1,61,71,8yyy1,8962,5133,232De waarde bij x=1,8x=1,8x=1,8 ligt het dichtst bij 333, dit lijkt de oplossing te zijn, voordat we dit mogen aannemen moeten we ook nog de waarde bij 1,91,91,9 controleren.x=1,9x=1,9x=1,9 geeft:1,93−2×1,9+1=4,0591,9^3-2\times 1,9+1=4,0591,93−2×1,9+1=4,059xxx1,61,71,81,9yyy1,8962,5133,2324,0593,2323,2323,232 ligt het dichtst bij y=3y=3y=3Zorg dus altijd dat de waarde boven je uiteindelijke antwoord ook in je tabel staat. Antwoord: x≈1,8x\approx 1,8x≈1,8 Stap 1: Schat de eerste coördinaat van het snijpunt.De eerste coördinaat van het snijpunt is ongeveer 4,2Stap 2: Maak een tabel met 4,2 en tenminste één waarde boven 4,2 en één waarde onder 4,2.$t$4,14,24,3$h=0,42t^3$$h=1,8t^2-1$Bereken de $h$-coördinaten bij de verschillende $t$-waarden.$t=4,1$ geeft:$h=0,42\cdot 4,1^3=28,94682$$h=1,8\cdot 4,1^2-1=29,258$ $t=4,2$ geeft:$h=0,42\cdot 4,2^3=31,11696$$h=1,8\cdot 4,2^2-1=30,752$ $t=4,3$ geeft:$h=0,42\cdot 4,3^3=33,39294$$h=1,8\cdot 4,3^2-1=32,282$ $t$4,14,24,3$h=0,42t^3$28,9468231,1169633,39294$h=1,8t^2-1$29,25830,75232,282Stap 3: Bereken de verschillen tussen de $h$-waarden.$t$4,14,24,3$h=0,42t^3$28,9468231,1169633,39294$h=1,8t^2-1$29,25830,75232,282Verschil0,311180,364961,11094Het verschil is het kleinst bij $t=4,1$Antwoord: na ongeveer 4,1 minuten vliegen de helikopters op gelijke hoogte.