Moderne Wiskunde 13e ed deel B - Hoofdstuk 8 - Hellingen en tangens oefentoetsen & antwoorden

$A$ ligt op de hoogtelijn waar 200 meter op staat. $A$ ligt op een hoogte van 200 (meter)$A$ ligt $380−200=180$ (meter) lager dan $B$Antwoord: 180 meter We kijken vanuit hoek $A$. We hebben de overstaande rechthoekszijde nodig, dus de zijde tegenover hoek $A$.Tegenover hoek $A$ ligt zijde $BC$. Antwoord: $BC$We kijken vanuit hoek $C$.We hebben de aanliggende rechthoekszijde nodig, dus de zijde vast aan hoek $C$.Er zitten twee zijden vast aan hoek $C$, namelijk $AC$ en $BC$. $BC$ is de enige rechthoekszijde van de twee, want alleen $BC$ zit vast aan de rechte hoek. Dus $BC$ is dan de aanliggende zijde van $\angle C$.Antwoord: $BC$De overstaande rechthoekszijde van hoek $A$ is $BC$ (zie opgave a). De aanliggende rechthoekszijde van hoek $A$ is $AB$, want $AC$ zit niet vast aan een rechte hoek.$\tan(\angle A)=\frac{overstaande\ rechthoekszijde}{aanliggende\ rechthoekszijde}$$\tan(\angle A)=\frac{BC}{AB}$Antwoord: $\tan(\angle A)=\frac{BC}{AB}$ Stap 1:  We moeten de tangens van hoek LLL weten, we kijken vanuit hoek LLL en benoemen de zijden.Welke rechthoekszijde ligt vast aan hoek LLL? Deze noemen we de aanliggende rechthoekszijde.Welke rechthoekszijde ligt tegenover hoek LLL? Dit noemen we de overstaande rechthoekszijde.Stap 2: We gebruiken t=oat=\frac{o}{a}t=ao​.t=oat=\frac{o}{a}t=ao​ staat voor tan⁡(hoek)=overstaande rechthoekszijdeaanliggende rechthoekszijde\tan(hoek)=\frac{overstaande\ rechthoekszijde}{aanliggende\ rechthoekszijde}tan(hoek)=aanliggende rechthoekszijdeoverstaande rechthoekszijde​tan⁡(∠L)=MNLM\tan(\angle L)=\frac{MN}{LM}tan(∠L)=LMMN​tan⁡(∠L)=3722\tan(\angle L)=\frac{37}{22}tan(∠L)=2237​Antwoord: tan⁡(∠L)=3722\tan(\angle L)=\frac{37}{22}tan(∠L)=2237​Gebruik je antwoord bij a. tan⁡(∠L)=3722\tan(\angle L)=\frac{37}{22}tan(∠L)=2237​De grootte van hoek LLL berekenen we met tan−1tan{-1}tan−1 op de rekenmachine.∠L=tan⁡−1(3722)=59,264…∘\angle L=\tan^{-1}(\frac{37}{22})=59,264…^\circ∠L=tan−1(2237​)=59,264…∘Antwoord: ∠L≈59∘\angle L\approx 59^\circ∠L≈59∘ Stap 1: We moeten hoek GGG weten, we kijken vanuit hoek GGG en benoemen de zijden.Welke rechthoekszijde ligt vast aan hoek GGG? Deze noemen we de aanliggende rechthoekszijde.Welke rechthoekszijde ligt tegenover hoek GGG? Dit noemen we de overstaande rechthoekszijde.Stap 2: : We gebruiken t=oat=\frac{o}{a}t=ao​.t=oat=\frac{o}{a}t=ao​ staat voor tan⁡(hoek)=overstaande rechthoekszijdeaanliggende rechthoekszijde\tan(hoek)=\frac{overstaande\ rechthoekszijde}{aanliggende\ rechthoekszijde}tan(hoek)=aanliggende rechthoekszijdeoverstaande rechthoekszijde​tan⁡(∠G)=EFGF\tan(\angle G)=\frac{EF}{GF}tan(∠G)=GFEF​tan⁡(∠G)=6,112,3\tan(\angle G)=\frac{6,1}{12,3}tan(∠G)=12,36,1​Stap 3: Bereken de grootte van de hoek met tan−1tan^{-1}tan−1 op je rekenmachine.∠G=tan⁡−1(6,112,3)=26,378…∘\angle G=\tan^{-1}(\frac{6,1}{12,3})=26,378…^\circ∠G=tan−1(12,36,1​)=26,378…∘Antwoord: ∠G≈26∘\angle G\approx 26^\circ∠G≈26∘ Stap 1: We moeten zijde BCBCBC weten, we kijken vanuit hoek AAA omdat we deze weten.Welke rechthoekszijde ligt vast aan hoek AAA? Deze noemen we de aanliggende rechthoekszijde.Welke rechthoekszijde ligt tegenover hoek AAA? Dit noemen we de overstaande rechthoekszijde.Stap 2: We gebruiken t=oat=\frac{o}{a}t=ao​.t=oat=\frac{o}{a}t=ao​ staat voor tan⁡(hoek)=overstaande rechthoekszijdeaanliggende rechthoekszijde\tan(hoek)=\frac{overstaande\ rechthoekszijde}{aanliggende\ rechthoekszijde}tan(hoek)=aanliggende rechthoekszijdeoverstaande rechthoekszijde​tan⁡(∠A)=BCAB\tan(\angle A)=\frac{BC}{AB}tan(∠A)=ABBC​tan⁡(40)=BC12\tan(40)=\frac{BC}{12}tan(40)=12BC​Stap 3: Gebruik de hulpbreuk. De hulpbreuk: 2=632=\frac{6}{3}2=36​, zijde BCBCBC staat op dezelfde plek als de 6 in de hulpbreuk, om 6 te krijgen met 3 en 2 moeten we vermenigvuldigen. 6=3×26=3\times 26=3×2BC=12×tan⁡(40)=10,069…BC=12\times \tan(40)=10,069…BC=12×tan(40)=10,069…Antwoord: BC≈10,1 mmBC\approx 10,1\ mmBC≈10,1 mm BCKBCKBCK ligt in het diagonaalvlak BCKLBCKLBCKLWe moeten CKCKCK weten voordat we ∠K\angle K∠K kunnen berekenen.Stap 1: Bereken de lengte van de zijde CKCKCK van het diagonaalvlak. CKCKCK ligt in zijvlak CDKJCDKJCDKJDe lengte van CKCKCK moet je berekenen, hiervoor schets je eerst zijvlak CDKJCDKJCDKJ. Gebruik het schema. We weten de twee rechthoekszijden. We kwadrateren ze en vullen ze in.zijdekwadraatCD=4CD=4CD=416DK=8DK=8DK=864 +CK=…CK=…CK=…80De lengte van $CK=\sqrt{80}$Stap 2: Bereken ∠K\angle K∠KNu we in driehoek BCKBCKBCK twee zijden weten kunnen we de hoek berekenen.Gebruik tan⁡(hoek)=oa\tan(hoek)=\frac{o}{a}tan(hoek)=ao​ Benoem eerst de zijden. We kijken vanuit hoek KKK, want deze willen we weten.We gebruiken t=oat=\frac{o}{a}t=ao​.t=oat=\frac{o}{a}t=ao​ staat voor tan⁡(hoek)=overstaande rechthoekszijdeaanliggende rechthoekszijde\tan(hoek)=\frac{overstaande\ rechthoekszijde}{aanliggende\ rechthoekszijde}tan(hoek)=aanliggende rechthoekszijdeoverstaande rechthoekszijde​tan⁡(∠K)=BCCK\tan(\angle K)=\frac{BC}{CK}tan(∠K)=CKBC​tan⁡(∠K)=480\tan(\angle K)=\frac{4}{\sqrt{80}}tan(∠K)=80​4​∠K=tan⁡−1(480)=24,094…∘\angle K=\tan^{-1}(\frac{4}{\sqrt{80}})=24,094…^\circ∠K=tan−1(80​4​)=24,094…∘Antwoord: ∠K≈24∘\angle K\approx 24^\circ∠K≈24∘ Stap 1: Zet hoogtes bij de horizontale lijnen, gebruik hiervoor de getallen bij de iso-hoogtelijnen.Stap 2: Teken vanuit elk snijpunt van de lijn PRPRPR met de iso-hoogtelijnen een stippellijn naar de bijbehorende horizontale lijn.PPP is het eerste snijpunt met de iso-hoogtelijn 200. Teken een stippellijn vanuit punt PPP naar de horizontale lijn waarbij 200 m staat. Teken een stip bij het snijpunt van de stippellijn met de horizontale lijn van 200 m en zet er PPP bij.Teken nu een stippellijn vanuit het volgende snijpunt van PRPRPR met een iso-hoogtelijn. Dit is het snijpunt met de iso-hoogtelijn van 300 m. Doe hetzelfde voor de rest van de snijpunten van PRPRPR met de iso-hoogtelijnen.Gebruik dat QQQ op 560 meter hoogte ligt. Teken dus een stippellijn vanuit QQQ naar een punt tussen de horizontale lijnen van 500 m en 600 m, iets dichter bij 600 m. Zet weer QQQ bij het punt.Stap 3: Teken een vloeiende kromme door de punten.Antwoord:In de doorsnede zie je dat de berg het steilst loopt van QQQ naar RRR. Dus helling QRQRQR is het steilst. Dit zie je ook op de kaart, tussen QQQ en RRR liggen de iso-hoogtelijnen van 500, 400, 300 en 200 dicht bij elkaar, dit betekent dat de helling erg steil is. Stap 1: We moeten hoek YYY weten, we kijken vanuit hoek YYY en benoemen de zijden.Welke rechthoekszijde ligt vast aan hoek YYY? Deze noemen we de aanliggende rechthoekszijde.Welke rechthoekszijde ligt tegenover hoek YYY? Dit noemen we de overstaande rechthoekszijde.Stap 2: We gebruiken t=oat=\frac{o}{a}t=ao​.t=oat=\frac{o}{a}t=ao​ staat voor tan⁡(hoek)=overstaande rechthoekszijdeaanliggende rechthoekszijde\tan(hoek)=\frac{overstaande\ rechthoekszijde}{aanliggende\ rechthoekszijde}tan(hoek)=aanliggende rechthoekszijdeoverstaande rechthoekszijde​tan⁡(∠Y)=CDDY\tan(\angle Y)=\frac{CD}{DY}tan(∠Y)=DYCD​tan⁡(∠Y)=50237\tan(\angle Y)=\frac{50}{237}tan(∠Y)=23750​Stap 3: Bereken de grootte van de hoek met tan−1tan^{-1}tan−1 op je rekenmachine.∠Y=tan⁡−1(50237)=11,913…∘\angle Y=\tan^{-1}(\frac{50}{237})=11,913…^\circ∠Y=tan−1(23750​)=11,913…∘Antwoord: ∠Y≈12∘\angle Y\approx 12^\circ∠Y≈12∘Liv is korter, dus de afstand vanaf DDD naar CCC is groter bij Liv. Oftewel, de overstaande rechthoekszijde is bij Liv langer. De tangens wordt dan groter, hoe groter de tangens, hoe groter de hoek.Antwoord: groter.  Stap 1: Bereken de hoogte.De hoogte kunnen we berekenen, het kamp is op 7950 meter hoogte en de top is op 8848 meter hoogte, dus hoogte=8848−7950=898 meterhoogte=8848-7950=898\ meterhoogte=8848−7950=898 meterStap 2: Benoem de zijden.We weten de hellingshoek, we kijken vanuit deze hoek. Welke rechthoekszijde ligt vast aan de hoek? Deze noemen we de aanliggende rechthoekszijde.Welke zijde ligt tegenover de hoek die we weten? Deze zijde noemen we de overstaande rechthoekszijde.Stap 3: We gebruiken t=oat=\frac{o}{a}t=ao​.t=oat=\frac{o}{a}t=ao​ staat voor tan⁡(hoek)=overstaande rechthoekszijdeaanliggende rechthoekszijde\tan(hoek)=\frac{overstaande\ rechthoekszijde}{aanliggende\ rechthoekszijde}tan(hoek)=aanliggende rechthoekszijdeoverstaande rechthoekszijde​We vullen in wat we weten.tan⁡(27)=898horizontale afstand\tan(27)=\frac{898}{horizontale\ afstand}tan(27)=horizontale afstand898​Denk aan de hulpbreuk: 2=632=\frac{6}{3}2=36​, horizontale afstand staat op dezelfde plek als de 3 in de hulpbreuk, om 3 te krijgen met 6 en 2 moeten we delen. 3=6:23=6:23=6:2horizontale afstand=898:tan⁡(27∘)=1762,4…horizontale\ afstand=898:\tan(27^\circ)=1762,4…horizontale afstand=898:tan(27∘)=1762,4…Antwoord: De horizontale afstand van kamp 4 tot de top is 1762 meter Stap 1: Maak een schets van driehoek SBDSBDSBD.Stap 2: Bereken de lengte van zijde SBSBSBGebruik het schema.zijdekwadraatSD=19SD=19SD=19361SB=…SB=…SB=…   \ +\ \ \ \  +         +BD=28BD=28BD=28784Het kwadraat van zijde SBSBSB is SB2=784−361=423SB^2=784-361=423SB2=784−361=423Gebruik de wortel om SBSBSB te berekenen: SB=423SB=\sqrt{423}SB=423​Stap 3: We moeten hoek BBB weten, we kijken vanuit hoek BBB en benoemen de zijden.Welke rechthoekszijde ligt vast aan hoek BBB? Deze noemen we de aanliggende rechthoekszijde.Welke zijde ligt tegenover hoek BBB? Dit noemen we de overstaande rechthoekszijde.Stap 4: We gebruiken t=oat=\frac{o}{a}t=ao​.t=oat=\frac{o}{a}t=ao​ staat voor tan⁡(hoek)=overstaande rechthoekszijdeaanliggende rechthoekszijde\tan(hoek)=\frac{overstaande\ rechthoekszijde}{aanliggende\ rechthoekszijde}tan(hoek)=aanliggende rechthoekszijdeoverstaande rechthoekszijde​tan⁡(∠B)=SDSB\tan(\angle B)=\frac{SD}{SB}tan(∠B)=SBSD​tan⁡(∠B)=19423\tan(\angle B)=\frac{19}{\sqrt{423}}tan(∠B)=423​19​∠B=tan⁡−1(19423)=42,732…∘\angle B=\tan^{-1}(\frac{19}{\sqrt{423}})=42,732…^\circ∠B=tan−1(423​19​)=42,732…∘Antwoord: ∠B≈43∘\angle B\approx 43^\circ∠B≈43∘