Moderne Wiskunde 13e ed deel B - Hoofdstuk 9 - Functies en algebra oefentoetsen & antwoorden

Reken de keersom uit.Gebruik $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$. $f(x)=2\sqrt{3x}\cdot 3\sqrt{3}-5\sqrt{2x}$$f(x)=6\sqrt{9x}-5\sqrt{2x}$$f(x)=6\cdot 3\sqrt{x}-5\sqrt{2x}$$f(x)=18\sqrt{x}-5\sqrt{2x}$De termen zijn niet gelijksoortig, want onder de ene wortel staat alleen $x$ en onder de andere wortel $2x$, dus we kunnen de uitdrukking niet korter schrijven.Antwoord: $f(x)=18\sqrt{x}-5\sqrt{2x}$ De term boven de deelstreep noemen we de teller. De term onder de deelstreep noemen we de noemer.Hier is de noemer $3+x$Antwoord: $3+x$ In de teller en noemer zit de factor $x$, deze kunnen we dus wegdelen.$\frac{18}{3x}$De teller en noemer zijn beide deelbaar door 3.$\frac{6}{x}$Antwoord: $\frac{6}{x}$ De paarse grafiek, grafiek 1, heeft geen top. Dit is een machtsformule met een oneven exponent. We moeten dus kiezen uit y=0,2x5y=0,2x^5y=0,2x5, y=−0,2x5y=-0,2x^5y=−0,2x5.De grafiek heeft bij negatieve xxx-waarden een positieve yyy-waarde. Als we een negatieve xxx-waarde verheffen tot een oneven macht, is de uitkomst ook negatief, de aaa, het getal voor de x5x^5x5 moet negatief zijn om toch een positieve uitkomst te krijgen.y=−0,2x5y=-0,2x^5y=−0,2x5 hoort bij grafiek 1. De oranje grafiek, grafiek 2, heeft wel een top. Dit is een machtsformule met een even exponent. We moeten dus kiezen uit y=−3x4y=-3x^4y=−3x4, y=3x4y=3x^4y=3x4De grafiek is een dalparabool, dus a>0a>0a>0 y=3x4y=3x^4y=3x4 hoort bij grafiek 2.Antwoord: Bij grafiek 1 hoort de formule y=−0,2x5y=-0,2x^5y=−0,2x5, bij grafiek 2 hoort de formule y=3x4y=3x^4y=3x4. Een machtsfunctie, dit zien we aan de macht, $r^3$, het grondtal is een variabele en de exponent is 3. Antwoord: Machtsfunctie. Stap 1: Bereken de $x$-coördinaat van het randpunt. De wortelfunctie heeft een randpunt omdat we geen negatieve waarde onder de wortel kunnen hebben. Daarom kunnen we alleen $x$-waarden invullen waarvoor geldt $3x-11\geq 0$. Om te kijken wat $x$ minimaal is lossen we $3x-11=0$ op. $3x-11=0$$3x=11$$x=\frac{11}{3}=3\frac{2}{3}$Stap 2: Bereken de $y$-coördinaat van het randpunt.Vul $x=3\frac{2}{3}$ in in de formule.$y=5-2\sqrt{3\cdot 3\frac{2}{3}-11}$$y=5-2\sqrt{0}$$y=5$Antwoord: De coördinaten van het randpunt zijn $(3\frac{2}{3}, 5)$ Stap 1: Reken de keersommen uitGebruik $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$. $2\sqrt{15a^2b}+14\sqrt{9a}-5\sqrt{25}-35\sqrt{15a^2b}$Stap 2: Schrijf de uitdrukking zo kort mogelijk.Reken de wortels die je uit kunt rekenen uit.$2\sqrt{15a^2b}+14\cdot 3\sqrt{a}-5\cdot 5-35\sqrt{15a^2b}$Reken de keersommen uit. $2\sqrt{15a^2b}+42\sqrt{a}-25-35\sqrt{15a^2b}$Neem de gelijksoortige termen samen.Doordat $2\sqrt{15a^2b}$ en $-35\sqrt{15a^2b}$ precies dezelfde wortel hebben, mogen we ze van elkaar af trekken.$-33\sqrt{15a^2b}+42\sqrt{a}-25$Antwoord: $-33\sqrt{15a^2b}+42\sqrt{a}-25$Stap 1: Herschrijf $\sqrt{63x}$Omdat $63=9\cdot 7$ kunnen we schrijven:$19\sqrt{7x}-2\sqrt{9\cdot 7x}$Gebruik de regel $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$$19\sqrt{7x}-2\sqrt{9}\cdot \sqrt{7x}$Stap 2: Reken $\sqrt{9}$ uit.$19\sqrt{7x}-2\cdot 3\cdot \sqrt{7x}$Stap 3: Schrijf de uitdrukking zo kort mogelijk. $19\sqrt{7x}-6\sqrt{7x}$$13\sqrt{7x}$Antwoord: $13\sqrt{7x}$Stap 1: Herschrijf wortels in de breuk.Gebruik $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$$\frac{\sqrt{486cd^2}}{\sqrt{3d}}-2\sqrt{8cd}$$\sqrt{\frac{486cd^2}{3d}}-2\sqrt{8cd}$Reken de breuk uit.$\sqrt{162cd}-2\sqrt{8cd}$Stap 2:Herschrijf $\sqrt{162cd}$ en $-2\sqrt{8}$$81\cdot 2=162$ dus we kunnen schrijven:$\sqrt{81\cdot 2cd}-2\sqrt{8cd}$$\sqrt{81}\cdot \sqrt{2cd}-2\sqrt{8cd}$$9\sqrt{2cd}-2\sqrt{8cd}$$4\cdot 2=8$ dus we kunnen schrijven:$9\sqrt{2cd}-2\sqrt{4}\cdot \sqrt{2cd}$Reken de wortel $\sqrt{4}$ uit. $9\sqrt{2cd}-2\cdot 2\cdot \sqrt{2cd}$$9\sqrt{2cd}-4\sqrt{2cd}$$5\sqrt{2cd}$Antwoord: $5\sqrt{2cd}$ Vermenigvuldig de elke xxx-waarde met de bijbehorende yyy-waarde en laat zien dat er steeds dezelfde uitkomst uit komt.30×30=90030\times 30=90030×30=90060×15=90060\times 15=90060×15=90090×10=90090\times 10=90090×10=900120×7,5=900120\times 7,5=900120×7,5=900150×6=900150\times 6=900150×6=900Antwoord: Er is inderdaad sprake van een omgekeerd evenredig verband. y=900xy=\frac{900}{x}y=x900​x=900yx=\frac{900}{y}x=y900​x×y=900x\times y=900x×y=900 Stap 1: Ontbind de teller in factoren.In de teller kunnen we $2x$ buiten haakjes halen.$\frac{2x(x+3)}{2x}$Stap 2: Kijk of er een factor is die je boven en onder weg kunt delen.De factor $2x$ wordt zowel met de teller als de noemer vermenigvuldigd. Deze kunnen we dus wegdelen.$x+3$Verder kunnen we de breuk niet herleiden.Antwoord: $x+3$Om breuken op te tellen of af te trekken moeten de breuken gelijknamig zijn.Stap 1: Maak de breuken gelijknamig. Vermenigvuldig de linkerteller en noemer met $x$$\frac{3x\cdot x}{5\cdot x}-\frac{2}{x}$$\frac{3x^2}{5x}-\frac{2}{x}$Vermenigvuldig de rechterteller en noemer met $5$$\frac{3x^2}{5x}-\frac{2\cdot 5}{x\cdot 5}$$\frac{3x^2}{5x}-\frac{10}{5x}$Stap 2: Trek de breuken van elkaar af.Nu de breuken gelijknamig zijn kunnen we de tellers van elkaar aftrekken, vergeet de haakjes niet!$\frac{3x^2-10}{5x}$Antwoord: $\frac{3x^2-10}{5x}$Stap 1: Gebruik de regel voor het vermenigvuldigen van breuken: $\frac{teller\cdot teller}{noemer\cdot noemer}$$\frac{5x}{8}\cdot \frac{3}{14x}$ $\frac{5x\cdot 3}{8\cdot 14x}$ $\frac{15x}{112x}$Stap 2: Haal de variabelen uit de breuk.Zowel in de teller als in de noemer wordt met de factor $x$ vermenigvuldigd, we delen dus boven en onder door $x$.$\frac{15}{112}$Antwoord: $\frac{15}{112}$Stap 1: Vermenigvuldig de teller met 60.$\frac{3}{2p}\cdot 60$ $\frac{180}{2p}$Stap 2: Vereenvoudig de breuk.We kunnen de teller en de noemer delen door 2. $\frac{90}{p}$Omdat de letter in de noemer van de breuk staat, kunnen we deze niet buiten de breuk halen. We kunnen de breuk dus niet korter schrijven dan dit. Antwoord: $\frac{90}{p}$ Stap 1: We werken de haakjes uit.f(x)=(−5)2(x6)2−(−2)3(x4)3f(x)=(-5)^2(x^6)^2-(-2)^3(x^4)^3f(x)=(−5)2(x6)2−(−2)3(x4)3 f(x)=25x6⋅2−−8x4⋅3f(x)=25x^{6\cdot 2}- -8x^{4\cdot 3}f(x)=25x6⋅2−−8x4⋅3 (denk aan −⋅−=+-\cdot -=+−⋅−=+ bij een oneven macht houd je een – over dus blijft je antwoord negatief)f(x)=25x12+8x12f(x)=25x^{12}+8x^{12}f(x)=25x12+8x12 (−−=+- -=+−−=+)Stap 2: Tel de machten op. De termen zijn gelijksoortig dus we kunnen de machten optellen.f(x)=33x12f(x)=33x^{12}f(x)=33x12Antwoord: f(x)=33x12f(x)=33x^{12}f(x)=33x12Stap 1: Werk de haakjes uit.g(x)=(−3)5(x2)5−11x10g(x)=(-3)^5(x^2)^5-11x^{10}g(x)=(−3)5(x2)5−11x10g(x)=−243x2⋅5−11x10g(x)=-243x^{2\cdot 5}-11x^{10}g(x)=−243x2⋅5−11x10g(x)=−243x10−11x10g(x)=-243x^{10}-11x^{10}g(x)=−243x10−11x10Stap 2: Neem gelijksoortige termen samen.g(x)=−254x10g(x)=-254x^{10}g(x)=−254x10Antwoord: g(x)=−254x10g(x)=-254x^{10}g(x)=−254x10Stap 1: Werk de haakjes uit.k(x)=(−2)2(x4)2⋅x32x2k(x)=\frac{(-2)^2(x^4)^2\cdot x^3}{2x^2}k(x)=2x2(−2)2(x4)2⋅x3​ k(x)=4x4⋅2⋅x32x2k(x)=\frac{4x^{4\cdot 2}\cdot x^3}{2x^2}k(x)=2x24x4⋅2⋅x3​ (−⋅−=+-\cdot -=+−⋅−=+ dus (−2)2=4(-2)^2=4(−2)2=4)k(x)=4x8⋅x32x2k(x)=\frac{4x^8\cdot x^3}{2x^2}k(x)=2x24x8⋅x3​ (bij een macht van een macht vermenigvuldigen we de exponenten)Stap 2: Vermenigvuldig de machten in de teller. k(x)=4x112x2k(x)=\frac{4x^{11}}{2x^2}k(x)=2x24x11​ (machten vermenigvuldigen is exponenten optellen)Stap 2: Kijk wat je weg kunt delen.k(x)=2x9k(x)=2x^9k(x)=2x9Antwoord: k(x)=2x9k(x)=2x^9k(x)=2x9Stap 1: We werken de haakjes uit.j(x)=(−5)2(x3)2⋅(−2)3(x4)3j(x)=(-5)^2(x^3)^2\cdot (-2)^3(x^4)^3j(x)=(−5)2(x3)2⋅(−2)3(x4)3 j(x)=25x3⋅2⋅−8x4⋅3j(x)=25x^{3\cdot 2}\cdot -8x^{4\cdot 3}j(x)=25x3⋅2⋅−8x4⋅3 (denk aan −⋅−=+-\cdot -=+−⋅−=+ bij een oneven macht houd je een – over dus blijft je antwoord negatief)j(x)=25x6⋅−8x12j(x)=25x^{6}\cdot -8x^{12}j(x)=25x6⋅−8x12Stap 2: Vermenigvuldig de machten.Als we machten vermenigvuldigen tellen we de exponenten op.j(x)=−200x18j(x)=-200x^{18}j(x)=−200x18Antwoord: j(x)=−200x18j(x)=-200x^{18}j(x)=−200x18Doe de teller tot de macht 3 en de noemer tot de macht 3. h(x)=73x3h(x)=\frac{7^3}{x^3}h(x)=x373​h(x)=343x3h(x)=\frac{343}{x^3}h(x)=x3343​Antwoord: h(x)=343x3h(x)=\frac{343}{x^3}h(x)=x3343​Stap 1: Schrijf de uitdrukking met dubbele haken.m(x)=(3−x2)2=(3−x2)(3−x2)m(x)=(3-x^2)^2=(3-x^2)(3-x^2)m(x)=(3−x2)2=(3−x2)(3−x2)Stap 2: Maak een vermenigvuldigingstabel.×\times×333−x2-x^2−x2333−x2-x^2−x2Stap 3: Reken de keersommen uit en vul ze in.×\times×333−x2-x^2−x2333999−3x2-3x^2−3x2−x2-x^2−x2−3x2-3x^2−3x2x4x^4x4Stap 4: Zet de uitkomsten achter elkaar.m(x)=9−3x2−3x2+x4m(x)=9-3x^2-3x^2+x^4m(x)=9−3x2−3x2+x4Stap 5: Neem gelijksoortige termen samen.m(x)=9−6x2+x4m(x)=9-6x^2+x^4m(x)=9−6x2+x4Stap 6:Zet de hoogste machten vooraan.m(x)=x4−6x2+9m(x)=x^4-6x^2+9m(x)=x4−6x2+9Antwoord: m(x)=x4−6x2+9m(x)=x^4-6x^2+9m(x)=x4−6x2+9 De wortelfunctie heeft een randpunt omdat we geen negatieve waarde onder de wortel kunnen hebben. Daarom kunnen we alleen $t$-waarden invullen waarvoor geldt $273+t\geq 0$. Om te kijken wat $t$ minimaal kan zijn lossen we $273+t=0$ op. $273+6=0$$t=-273$ (beide kanten $-273$)Vul $t=-273$ in in de formule om de $v$-coördinaat van het randpunt te berekenen.$v=20\sqrt{273+-273}$$v=20\sqrt{0}$$v=0$Antwoord: De coördinaten van het randpunt zijn $(-273,0)$Vul voor $t=10$ in.$v=20\sqrt{273+10}$$v=20\sqrt{283}=336,45…$Antwoord: 336,45 m/sDe grafiek hoort bij een wortelformule en dat is geen lineair verband.Bij ongeveer $16^\circ C$ komt de grafiek boven 340 m/s.Antwoord: warmer dan $16^\circ C$ Dit is een omgekeerd evenredig verband, hoe meer winnaars, hoe minder prijzengeld per persoon. Dus als xxx bijvoorbeeld drie keer zo groot wordt, wordt yyy drie keer zo klein. De formule is van de vorm y=axy=\frac{a}{x}y=xa​. In dit geval is dit y=20000xy=\frac{20000}{x}y=x20000​ met yyy het prijzengeld per persoon en xxx het aantal winnaars.Antwoord: y=20000xy=\frac{20000}{x}y=x20000​ of x=2000yx=\frac{2000}{y}x=y2000​ of x⋅y=2000x\cdot y=2000x⋅y=2000In totaal worden er dus, naast Jan nog 150, 151 juiste inzendingen gedaan. x=151x=151x=151 geeft y=20000151=132.45y=\frac{20000}{151}=132.45y=15120000​=132.45. Hij wint €132,45. Antwoord: €132,45.  Als x=0x=0x=0 krijgen we een 000 in de noemer van de breuk, dan is er geen uitkomst want we kunnen niet delen door 0.Antwoord: x=0x=0x=0Als je xxx steeds verder van 000 afneemt, wordt de uitkomst van 8x\frac{8}{x}x8​ steeds kleiner. 888 delen door een steeds groter wordend getal geeft namelijk een steeds kleinere uitkomst. We tellen dus bij een steeds kleiner getal 444 op. Op een gegeven moment is de uitkomst van 8x\frac{8}{x}x8​ bijna 0, de uitkomsten naderen dan naar y=4y=4y=4. Stap 1: Maak een tabel.xxx-4-3-2-101234yyyStap 2: Bereken bij elke xxx-waarde de yyy-waarde. x=0x=0x=0 geeft geen uitkomst dus hieronder zetten we een streepje.x=−4x=-4x=−4 geeft y=8−4+4y=\frac{8}{-4}+4y=−48​+4=−2+4=2=-2+4=2=−2+4=2xxx-4-3-2-101234yyy2-x=−3x=-3x=−3 geeft y=8−3+4y=\frac{8}{-3}+4y=−38​+4=−223+4=113=-2\frac{2}{3}+4=1\frac{1}{3}=−232​+4=131​xxx-4-3-2-101234yyy21131\frac{1}{3}131​-x=−2x=-2x=−2 geeft y=8−2+4y=\frac{8}{-2}+4y=−28​+4=−4+4=0=-4+4=0=−4+4=0x=−1x=-1x=−1 geeft y=8−1+4y=\frac{8}{-1}+4y=−18​+4=−8+4=−4=-8+4=-4=−8+4=−4x=1x=1x=1 geeft y=81+4y=\frac{8}{1}+4y=18​+4=8+4=12=8+4=12=8+4=12x=2x=2x=2 geeft y=82+4y=\frac{8}{2}+4y=28​+4=4+4=8=4+4=8=4+4=8x=3x=3x=3 geeft y=83+4y=\frac{8}{3}+4y=38​+4=223+4=623=2\frac{2}{3}+4=6\frac{2}{3}=232​+4=632​x=4x=4x=4 geeft y=84+4y=\frac{8}{4}+4y=48​+4=2+4=6=2+4=6=2+4=6Zet de waarden in de tabel.xxx-4-3-2-101234yyy21131\frac{1}{3}131​0-4-1286236\frac{2}{3}632​6Stap 2: Teken een assenstelsel.Zet op de horizontale as de waarden −4-4−4 tot en met 444.Zorg dat op de verticale as de grootste yyy-waarde in de tabel (12) en de kleinste yyy-waarde in de tabel (-4) zichtbaar is. Stap 3: Teken de punten in het assenstelsel.Teken een vloeiende kromme door de punten.De verticale asymptoot is x=0x=0x=0, want x=0x=0x=0 geeft geen uitkomst. De horizontale asymptoot is y=4y=4y=4 omdat de uitkomsten naderen naar y=4y=4y=4 (zie opgave b).Stippel deze asymptoten.Antwoord:De verticale asymptoot is x=0x=0x=0 en de horizontale asymptoot is y=4y=4y=4 Vul voor zijde 20 in. z=20z=20z=20 I=0,063×203=504 cm3I=0,063\times 20^3=504\ cm^3I=0,063×203=504 cm3Antwoord: 504 cm3504\ cm^3504 cm3Vul de waarden van zzz in in de formule. Schrijf de uitkomst eronder in de tabel.z=20z=20z=20 weten we uit opdracht a.z (cm)z\ (cm)z (cm)0101520I (cm3)I\ (cm^3)I (cm3)504z=0z=0z=0 geeft:I=0,063×03=0 cm3I=0,063\times 0^3=0\ cm^3I=0,063×03=0 cm3z (cm)z\ (cm)z (cm)0101520I (cm3)I\ (cm^3)I (cm3)0504z=10z=10z=10 geeft:I=0,063×103=63 cm3I=0,063\times 10^3=63\ cm^3I=0,063×103=63 cm3z (cm)z\ (cm)z (cm)0101520I (cm3)I\ (cm^3)I (cm3)063504z=15z=15z=15 geeft:I=0,063×153=213 cm3I=0,063\times 15^3=213\ cm^3I=0,063×153=213 cm3Antwoord:z (cm)z\ (cm)z (cm)0101520I (cm3)I\ (cm^3)I (cm3)063213504