Moderne Wiskunde 13e ed deel B - Hoofdstuk 9 - Rekenen met variabelen oefentoetsen & antwoorden

De term boven de deelstreep noemen we de teller. De term onder de deelstreep noemen we de noemer.Hier is de noemer $3+x$Antwoord: $3+x$ +++, bijvoorbeeld a2⋅a3=a⋅a⋅a⋅a⋅a=a2+3=a5a^2\cdot a^3=a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a=a^{2+3}=a^5a2⋅a3=a⋅a⋅a⋅a⋅a=a2+3=a5−-−, bijvoorbeeld a3:a2=a3−2=aa^3:a^2=a^{3-2}=aa3:a2=a3−2=a⋅\cdot⋅, bijvoorbeeld  (a2)3=(a⋅a)3=(a⋅a)⋅(a⋅a)⋅(a⋅a)=a2⋅3=a6(a^2)^3=(a\cdot a)^3=(a \cdot a) \cdot (a \cdot a) \cdot (a \cdot a) = a^{2 \cdot 3}=a^6(a2)3=(a⋅a)3=(a⋅a)⋅(a⋅a)⋅(a⋅a)=a2⋅3=a6 Omdat $63=9\cdot 7$ kunnen we schrijven:$2\sqrt{9\cdot 7x}$Gebruik de regel $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$$2\sqrt{9}\cdot \sqrt{7x}$Reken $\sqrt{9}$ uit.$2\cdot 3\cdot \sqrt{7x}$$6\sqrt{7x}$Antwoord: $6\sqrt{7x}$ In de teller en noemer zit de factor $x^2$, deze kunnen we dus wegdelen.$\frac{18}{3x}$De teller en noemer zijn beide deelbaar door 3.$\frac{6}{x}$Antwoord: $\frac{6}{x}$ Werk eerst de haakjes uit. Gebruik de regel: $(g^a)^b=g^{a\cdot b}$$y=8^x\cdot 8^{2x}\cdot 8^{3\cdot x}$$y=8^x\cdot 8^{2x}\cdot 8^{3x}$Gebruik de regel: $g^a\cdot g^b=g^{a+b}$$y=8^{x+2x+3x}$$y=8^{6x}$Antwoord: $y=8^{6x}$Gebruik in de teller de regel: $g^a\cdot g^b=g^{a+b}$$k=\frac{2^{5p+3}}{2^{p}}$Gebruik de regel: $\frac{g^a}{g^b}=g^{a-b}$$k=2^{5p+3-p}$$k=2^{4p+3}$Antwoord: $k=2^{4p+3}$ Reken de keersom uit.Gebruik $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$. $2\sqrt{3x}\cdot 3\sqrt{3}-5\sqrt{2x}$$6\sqrt{9x}-5\sqrt{2x}$$6\sqrt{9}\cdot \sqrt{x}-5\sqrt{2x}$$6\cdot 3\sqrt{x}-5\sqrt{2x}$$18\sqrt{x}-5\sqrt{2x}$De termen zijn niet gelijksoortig want onder de ene wortel staat alleen $x$ en onder de andere wortel $2x$, dus we kunnen de uitdrukking niet korter schrijven.Antwoord: $18\sqrt{x}-5\sqrt{2x}$ Stap 1: Ontbind de teller in factoren.In de teller kunnen we 2x2x2x buiten haakjes halen.2x(x+3)2x\frac{2x(x+3)}{2x}2x2x(x+3)​Stap 2: Kijk of er een factor is die je boven en onder weg kunt delen.De factor 2x2x2x komt zowel in de teller als de noemer voor. Deze kunnen we dus wegstrepen.x+3x+3x+3Verder kunnen we de breuk niet herleiden.Antwoord: x+3x+3x+3Om breuken op te tellen of af te trekken moeten de breuken gelijknamig zijn.Stap 1: Maak de breuken gelijknamig. Vermenigvuldig de linkerteller en noemer met xxx3x⋅x5⋅x−2x\frac{3x\cdot x}{5\cdot x}-\frac{2}{x}5⋅x3x⋅x​−x2​3x25x−2x\frac{3x^2}{5x}-\frac{2}{x}5x3x2​−x2​Vermenigvuldig de rechterteller en noemer met 5553x25x−2⋅5x⋅5\frac{3x^2}{5x}-\frac{2\cdot 5}{x\cdot 5}5x3x2​−x⋅52⋅5​3x25x−105x\frac{3x^2}{5x}-\frac{10}{5x}5x3x2​−5x10​Stap 2: Trek de breuken van elkaar af.Nu de breuken gelijknamig zijn kunnen we de tellers van elkaar aftrekken, vergeet de haakjes niet!3x2−105x\frac{3x^2-10}{5x}5x3x2−10​Antwoord: 3x2−105x\frac{3x^2-10}{5x}5x3x2−10​Stap 1: Gebruik de regel voor het vermenigvuldigen van breuken: teller⋅tellernoemer⋅noemer\frac{teller\cdot teller}{noemer\cdot noemer}noemer⋅noemerteller⋅teller​5x8⋅314x\frac{5x}{8}\cdot \frac{3}{14x}85x​⋅14x3​ 5x⋅38⋅14x\frac{5x\cdot 3}{8\cdot 14x}8⋅14x5x⋅3​ 15x112x\frac{15x}{112x}112x15x​Stap 2: Haal de variabelen uit de breuk.Zowel in de teller als in de noemer wordt met de factor xxx vermenigvuldigd, we delen dus boven en onder door xxx.15112\frac{15}{112}11215​Antwoord: 15112\frac{15}{112}11215​Stap 1: Vermenigvuldig de teller met 60.32p⋅60\frac{3}{2p}\cdot 602p3​⋅60 1802p\frac{180}{2p}2p180​Stap 2: Vereenvoudig de breuk.We kunnen de teller en de noemer delen door 2. 90p\frac{90}{p}p90​Omdat de letter in de noemer van de breuk staat, kunnen we deze niet buiten de breuk halen. We kunnen de breuk dus niet korter schrijven dan dit. Antwoord: 90p\frac{90}{p}p90​ Stap 1: Gebruik de regel $\frac{g^a}{g^b}=g^{a-b}$$y=3^{7x+5-5x}$$y=3^{2x+5}$Stap 2: Gebruik de regel $g^{a+b}=g^a\cdot g^b$$y=3^{2x}\cdot 3^5$$y=3^{2x}\cdot 243$Stap 3: Gebruik de regel $g^{a\cdot b}=(g^a)^b$$y=(3^2)^x\cdot 243$$y=9^x\cdot 243$$y=243\cdot 9^x$ We werken de haakjes uit.(−5)2(x6)2(y3)2(-5)^2(x^6)^2(y^3)^2(−5)2(x6)2(y3)2 25x6⋅2y3⋅225x^{6\cdot 2}y^{3\cdot 2}25x6⋅2y3⋅2 25x12y625x^{12}y^{6}25x12y6Antwoord: 25x12y625x^{12}y^{6}25x12y6Werk de haakjes uit.(−3)5(x2)5(-3)^5(x^2)^5(−3)5(x2)5 −243x2⋅5-243x^{2\cdot 5}−243x2⋅5 (denk aan −⋅−=+-\cdot -=+−⋅−=+. Bij een oneven macht houd je een ––– over dus blijft je antwoord negatief)−243x10-243x^{10}−243x10Antwoord: =−243x10=-243x^{10}=−243x10We werken de haakjes uit.(−2)3(t4)3(-2)^3(t^4)^3(−2)3(t4)3 −8t4⋅3-8t^{4\cdot 3}−8t4⋅3 (denk aan −⋅−=+-\cdot -=+−⋅−=+ bij een oneven macht houd je een ––– over dus blijft je antwoord negatief)−8t12-8t^{12}−8t12Antwoord: −8t12-8t^{12}−8t12 Doe de teller tot de macht 3 en de noemer tot de macht 3. 73x3\frac{7^3}{x^3}x373​343x3\frac{343}{x^3}x3343​Antwoord: 343x3\frac{343}{x^3}x3343​Stap 1: Schrijf de uitdrukking met dubbele haken: (3−x2)2=(3−x2)(3−x2)(3-x^2)^2=(3-x^2)(3-x^2)(3−x2)2=(3−x2)(3−x2)Stap 2: Maak een vermenigvuldigingstabel.×\times×333−x2-x^2−x2333−x2-x^2−x2Stap 3: Reken de keersommen uit en vul ze in.×\times×333−x2-x^2−x2333999−3x2-3x^2−3x2−x2-x^2−x2−3x2-3x^2−3x2x4x^4x4Stap 4: Zet de uitkomsten achter elkaar.9−3x2−3x2+x49-3x^2-3x^2+x^49−3x2−3x2+x4Stap 5: Neem gelijksoortige termen samen.9−6x2+x49-6x^2+x^49−6x2+x4Stap 6: Zet de hoogste machten vooraan.x4−6x2+9x^4-6x^2+9x4−6x2+9Antwoord: x4−6x2+9x^4-6x^2+9x4−6x2+9 Stap 1: Reken de keersommen uitGebruik a⋅b=a⋅b\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}a​⋅b​=a⋅b​. 215a2b+149a−525−3515a2b2\sqrt{15a^2b}+14\sqrt{9a}-5\sqrt{25}-35\sqrt{15a^2b}215a2b​+149a​−525​−3515a2b​Stap 2: Schrijf de uitdrukking zo kort mogelijk.Reken de wortels die je uit kunt rekenen uit.215a2b+14⋅3a−5⋅5−3515a2b2\sqrt{15a^2b}+14\cdot 3\sqrt{a}-5\cdot 5-35\sqrt{15a^2b}215a2b​+14⋅3a​−5⋅5−3515a2b​Reken de keersommen uit.215a2b+42a−25−3515a2b2\sqrt{15a^2b}+42\sqrt{a}-25-35\sqrt{15a^2b}215a2b​+42a​−25−3515a2b​Neem de gelijksoortige termen samen.Doordat 215a2b2\sqrt{15a^2b}215a2b​ en −3515a2b-35\sqrt{15a^2b}−3515a2b​ precies dezelfde wortel hebben, mogen we ze van elkaar af trekken.−3315a2b+42a−25-33\sqrt{15a^2b}+42\sqrt{a}-25−3315a2b​+42a​−25Antwoord: −3315a2b+42a−25-33\sqrt{15a^2b}+42\sqrt{a}-25−3315a2b​+42a​−25Schrijf de uitdrukking zo kort mogelijk. Onder het wortelteken staat precies hetzelfde, we kunnen de wortels dus van elkaar aftrekken.197x−67x19\sqrt{7x}-6\sqrt{7x}197x​−67x​137x13\sqrt{7x}137x​Antwoord: 137x13\sqrt{7x}137x​Stap 1: Herschrijf wortels in de breuk.Gebruik ab=ab\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}b​a​​=ba​​16cd22d−28cd\frac{\sqrt{16cd^2}}{\sqrt{2d}}-2\sqrt{8cd}2d​16cd2​​−28cd​16cd22d−28cd\sqrt{\frac{16cd^2}{2d}}-2\sqrt{8cd}2d16cd2​​−28cd​Reken de breuk uit.8cd−28cd\sqrt{8cd}-2\sqrt{8cd}8cd​−28cd​Stap 2: Onder de wortel staat hetzelfde dus we kunnen de wortels van elkaar aftrekken.−8cd-\sqrt{8cd}−8cd​4⋅2=84\cdot 2=84⋅2=8 dus we kunnen schrijven:−4⋅2cd-\sqrt{4}\cdot \sqrt{2cd}−4​⋅2cd​Reken de wortel 4\sqrt{4}4​ uit. −2⋅2cd-2\cdot \sqrt{2cd}−2⋅2cd​−22cd-2\sqrt{2cd}−22cd​Antwoord: −22cd-2\sqrt{2cd}−22cd​