Moderne Wiskunde 13e ed deel B - Hoofdstuk 11A - Vergelijkingen en ongelijkheden oefentoetsen & antwoorden

We willen de waarden tussen $-5$ en $7$ in ongelijkheidsnotatie en intervalnotatie aangeven. Het rondje bij $-5$ is open, dus $-5$ doet zelf niet mee.Het rondje bij $7$ is open, dus $7$ doet zelf mee.Ongelijkheidsnotatie:Schrijf $x$ tussen $-5$ en $7$.$-5<x\leq 7$Bij -5 gebruiken we alleen kleiner dan, want -5 doet zelf niet mee.Bij 7 gebruiken we kleiner/gelijk aan, want 7 doet zelf mee.Intervalnotatie. $\langle -5,7]$Gebruik een driehoekig haakje als de grens niet mee doet, en een vierkanten haakje als de grens wel meedoet. Antwoord: Ongelijkheidsnotatie: $-5<x\leq 7$, intervalnotatie: $\langle -5,7]$We willen de waarden kleiner dan $-2$ aangeven in de ongelijkheidsnotatie en de intervalnotatie.Het rondje bij $-2$ is dicht, dus $-2$ doet zelf mee, we schrijven kleiner/gelijk aan.Ongelijkheidsnotatie:$x\leq -2$Intervalnotatie:$\langle \leftarrow, -2]$Alle getallen onder -2 dus een pijl naar links, -2 doet zelf mee dus een vierkanten haakje.Antwoord: Ongelijkheidsnotatie: $x\leq -2$, intervalnotatie: $\langle \leftarrow, -2]$ Stap 1: Isoleer de breuk.$\frac{20}{3x-7}\red{-8}=-2$. Door de $-8$ aan de linkerkant is de breuk niet geïsoleerd. Tel bij beide kanten $8$ op, om de breuk te isoleren.$\frac{20}{3x-7}-8\red{+8}=-2\red{+8}$$\frac{20}{3x-7}=-2$Stap 2: Vermenigvuldig links en rechts met de noemer van de breuk.$\frac{20}{3x-7}\cdot (3x-7)=-2\cdot (3x-7)$ (denk aan de haakjes!)Als je een breuk vermenigvuldigd met zijn eigen noemer valt de noemer weg.$20=-2(3x-7)$Stap 3: Los de vergelijking op.Werk de haakjes uit.$20=-6x+14$Alle getallen met $x$ erin naar links.Beide kanten $+6x$$20+6x=14$Losse getallen naar rechts.Beide kanten $-20$$6x=-6$Delen door het getal voor de $x$.$x=-1$Antwoord: $x=-1$Stap 1: Isoleer de breuk.$x=\frac{6}{x-4}\red{+3}$. Door de $+3$ aan de rechterkant is de breuk niet geïsoleerd. Trek van beide kanten $3$ af, om de breuk te isoleren.$x\red{-3}=\frac{6}{x-4}+3\red{-3}$$x-3=\frac{6}{x-4}$Stap 2: Vermenigvuldig links en rechts met de noemer van de breuk.$(x-3)(x-4)=\frac{6}{x-4}\cdot (x-4)$ (denk aan de haakjes!)Als je een breuk vermenigvuldigd met zijn eigen noemer valt de noemer weg.$(x-3)(x-4)=6$Stap 3: Los de vergelijking op.Werk de haakjes uit.$x^2-4x-3x+12=6$$x^2-7x+12=6$Herleid op 0.$x^2-7x+6=0$Ontbind in factoren.$(x-6)(x-1)=0$$x-6=0$ of $x-1=0$$x=6$ of $x=1$$x=6$ of $x=1$Antwoord: $x=1$ of $x=6$ Stap 1: Isoleer de macht.Werk eerst het losse getal naar de andere kant. $6\cdot 4^{x-7}\red{+3}=99$, $+3$ is een los getal, we trekken van beide kanten 3 af om de macht te isoleren.$6\cdot 4^{x-7}+3\red{-3}=99\red{-3}$$6\cdot 4^{x-7}=96$Deel beide kanten door 6 om de macht te isoleren.$4^{x-7}=16$Stap 2: Schrijf ook de rechterkant als macht van 4.$16=4^2$ dus we kunnen schrijven: $4^{x-7}=4^2$Stap 3: Nu aan beide kanten van de $=$ een macht met hetzelfde grondtal staan, kunnen we een bordje op de exponent, $x-7$ leggen.$x-7=2$$x=9$ (beide kanten $+7$)Antwoord: $x=9$Stap 1: Isoleer de macht.Werk eerst het losse getal naar de andere kant. $3^{2b+1}\red{-4400}=4373$, $-4400$ is een los getal bij de macht, we tellen bij beide kanten 4400 op om de macht te isoleren.$3^{2b+1}-4400\red{+4400}=-4373\red{+4400}$$3^{2b+1}=27$Stap 2: Schrijf ook de rechterkant als macht van 3.$3^3=27$ dus we kunnen schrijven: $3^{2b+1}=3^3$Stap 3: Nu aan beide kanten van de $=$ een macht met hetzelfde grondtal staan, kunnen we een bordje op de exponent, $2b+1$ leggen.$2b+1=3$$2b=2$ (beide kanten $-1$)$b=1$ (delen door het getal voor de letter)Antwoord: $b=1$ Stap 1: De wortel isoleren.De wortel moet alleen aan één kant van de $=$ staan.$\sqrt{3x-11}=4$ (beide kanten $+5$)Stap 2: Leg een bordje onder de wortel.$\sqrt{16}=4$ dus $3x-11=16$Stap 3: Los de vergelijking op.$3x=27$ (beide kanten $+11$)$x=9$ (beide kanten delen door 3)Antwoord: $x=9$Stap 1: De wortel isoleren.De wortel moet alleen aan één kant van de $=$ staan.$-2\sqrt{x}=-30$ (beide kanten $-19$)$\sqrt{x}=15$ (beide kanten delen door $-2$)Stap 2: Leg een bordje onder de wortel.$\sqrt{225}=15$ dus $x=225$Antwoord: $x=225$ Stap 1: Los op $f(x)=g(x)$$5x^2+5x-60=-5x-45$Herleid op 0.$5x^2+5x-60+5x+45=0$$5x^2+10x-15=0$Deel door 5.$x^2+2x-3=0$Ontbind in factoren.$(x+3)(x-1)=0$$x+3=0$ of $x-1=0$$x=-3$ of $x=1$Stap 2: Bereken de $y$-coördinaten van de snijpunten.Vul $x=-3$ in in één van de twee formules.$g(-3)=-5\cdot -3-45$$=15-45=-30$$(-3,-30)$Controle:$f(-3)=5(-3)^2+5\cdot -3-60$$f(-3)=5\cdot 9-15-60$$=45-15-60=-30$ klopt!Vul $x=1$ in in één van de twee formules.$g(1)=-5\cdot 1-45$$=-5-45=-50$$(1,-50)$Controle:$f(1)=5(1)^2+5\cdot -3-60$$f(1)=5\cdot 1+5-60$$=5+5-60=-50$ klopt!Antwoord:$(-3,-30)$ en $(1,-50)$ Los eerst op $f(x)=0$In de figuur zien we dat de grafiek de $x$-as snijdt bij $x=-3$ en $x=7$Los de ongelijkheid op.$f(x)\geq 0$ oftewel, waar ligt de grafiek boven de $x$-as, en waar snijdt de grafiek de $x$-as.Voor het snijpunt $x=-3$ ligt de grafiek boven de $x$-as, en na het snijpunt $x=7$ ligt de grafiek boven de $x$-as.De snijpunten met de $x$-as doen mee.In de ongelijkheidsnotatie schrijven we: $x\leq -3$ of $x\geq 7$In de intervalnotatie schrijven we: $\langle \leftarrow, -3] \cup [7, \rightarrow \rangle$Antwoord: $f(x)\geq 0$ geeft ongelijkheidsnotatie: $x\leq -3$ of $x\geq 7$. Intervalnotatie: $\langle \leftarrow, -3] \cup [7, \rightarrow \rangle$ Stap 1: Isoleer eerst de macht.2x5=−1162x^5=-1162x5=−116 (beide kanten +4+4+4)x5=−58x^5=-58x5=−58 (beide kanten delen door 2) Stap 2: Om tot de macht 5 weg te werken nemen we de 5de machtswortel.x=−585x=\sqrt[5]{-58}x=5−58​ (het is een oneven macht dus we hebben maar 1 oplossing)x≈−2,25x\approx -2,25x≈−2,25Antwoord: Exact: x=−585x=\sqrt[5]{-58}x=5−58​ Op twee decimalen: x≈−2,25x\approx -2,25x≈−2,25Stap 1: Isoleer de macht.3x4=183x^4=183x4=18 (beide kanten +8+8+8)x4=6x^4=6x4=6 (beide kanten :3:3:3) Stap 2: Werk de macht weg.We kunnen tot de macht 4 wegwerken met de 4e machtswortel.4 is even, dus we hebben twee oplossingen.x=64x=\sqrt[4]{6}x=46​ of x=−64x=-\sqrt[4]{6}x=−46​ Stap 3: Bereken xxx.x≈1,57x\approx 1,57x≈1,57 of x≈−1,57x\approx -1,57x≈−1,57 Antwoord: Exact: x=64x=\sqrt[4]{6}x=46​ of x=−64x=-\sqrt[4]{6}x=−46​ Op twee decimalen: x≈1,57x\approx 1,57x≈1,57 of x≈−1,57x\approx -1,57x≈−1,57 Stap 1: Stel een vergelijking op om $w$ te berekenen als $K=38$. $28+\frac{1660}{w+3}=38$Stap 2:Isoleer de breuk.$\red{28}+\frac{1660}{w+3}=38$. Door de $28$ aan de linkerkant is de breuk niet geïsoleerd. Trek van beide kanten $28$ af, om de breuk te isoleren.$28\red{-28}+\frac{1660}{w+3}=38\red{-28}$$\frac{1660}{w+3}=10$Stap 3: Vermenigvuldig links en rechts met de noemer van de breuk.$\frac{1660}{w+3}\cdot (w+3)=10(w+3)$ (denk aan de haakjes!)Als je een breuk vermenigvuldigd met zijn eigen noemer valt de noemer weg.$1660=10(w+3)$Stap 4: Los de vergelijking op.Werk de haakjes uit.$1660=10w+30$Alle getallen met $w$ erin naar links.Beide kanten $-10w$$1660-10w=30$Losse getallen naar rechts.Beide kanten $-1660$$-10w=-1630$Delen door het getal voor de $w$.$w=163$ (let op: negatief delen door negatief is positief)Antwoord:  Het woonoppervlak van Ali is 163 vierkante meter.  GGG is in centimeters, zet dus eerst 1,70 m om naar centimeters.1,70 m = 170 cm Stap 1: Stel een vergelijking op. Vul voor G=170G=170G=170 in.50+900L=17050+\sqrt{900L}=17050+900L​=170 Stap 2: Isoleer de wortel.De wortel moet alleen aan één kant van de === staan900L=120\sqrt{900L}=120900L​=120 (beide kanten −50-50−50) Stap 3: Leg een bordje onder de wortel.14400=120\sqrt{14400}=12014400​=120 (kwadrateer wat achter de === staat om te bepalen wat op het bordje moet staan)Dus 900L=14400900L=14400900L=14400Stap 4: Los de vergelijking op.Deel beide kanten door het getal dat voor de letter staat.L=14400:900=16L=14400:900=16L=14400:900=16Antwoord: 16 jaar oud.Stap 1: Stel een vergelijking op. Vul voor G=140G=140G=140 in.50+900L=14050+\sqrt{900L}=14050+900L​=140 Stap 2: Isoleer de wortel.De wortel moet alleen aan één kant van de === staan900L=90\sqrt{900L}=90900L​=90 (beide kanten −50-50−50) Stap 3: Leg een bordje onder de wortel.8100=90\sqrt{8100}=908100​=90 (kwadrateer wat achter de === staat om te bepalen wat op het bordje moet staan)Dus 900L=8100900L=8100900L=8100 Stap 4: Los de vergelijking op.Deel beide kanten door het getal dat voor de letter staat.L=8100:900=9L=8100:900=9L=8100:900=9 Antwoord: 9 jaar oud. Stap 1: Los op $f(x)=g(x)$$4x^2-3x+6=x+9$Herleid op 0.$4x^2-4x-3=0$Stap 2: Ontbinden in factoren lukt niet, dus we gebruiken de ABC-formule.$a=4$, $b=-4$ en $c=-3$$D=b^2-4ac$$D=(-4)^2-4\cdot 4\cdot -3$$D=16+48=64$$x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$ of $x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$$x=\frac{- -4-\sqrt{64}}{2\cdot 4}$ of $x=\frac{- -4+\sqrt{64}}{2\cdot 4}$$x=\frac{4-8}{8}$ of $x=\frac{4+8}{8}$$x=-\frac{4}{8}$ of $x=\frac{12}{8}$$x=-\frac{1}{2}$ of $x=1\frac{1}{2}$Stap 3: Bereken de $y$-coördinaten van de snijpunten.Vul de $x$-coördinaat in één van de twee formules in.$f(-\frac{1}{2})=4\cdot (-\frac{1}{2})^2-3\cdot -\frac{1}{2}+6$$=4\cdot \frac{1}{4}+\frac{3}{2}+6$$=1+\frac{3}{2}+6$$=8\frac{1}{2}$$(-\frac{1}{2},8\frac{1}{2})$Vul de $x$-coördinaat ter controle ook in in $g$.$g(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{2}+9=8\frac{1}{2}$ Klopt!Vul de andere $x$-coördinaat in één van de twee formules in.$f(1\frac{1}{2})=4\cdot (1\frac{1}{2})^2-3\cdot 1\frac{1}{2}+6$$=4\cdot \frac{9}{4}-\frac{9}{2}+6$$=9-4\frac{1}{2}+6$$=10\frac{1}{2}$$(1\frac{1}{2},10\frac{1}{2})$Vul de $x$-coördinaat ter controle ook in in $g$.$g(1\frac{1}{2})=1\frac{1}{2}+9=10\frac{1}{2}$ Klopt!Antwoord: $(-\frac{1}{2},8\frac{1}{2})$ en $(1\frac{1}{2},10\frac{1}{2})$ Tussen fff en ggg staat het groter dan teken, dus de vraag is: wanneer ligt fff boven ggg? Stap 1: Zoek de snijpunten.f(x)=g(x)f(x)=g(x)f(x)=g(x) als x=−5x=-5x=−5 en x=1x=1x=1 Stap 2: Kijk wanneer fff (groen) boven ggg (blauw) ligt.Voor het snijpunt x=−5x=-5x=−5 ligt fff boven ggg. Na het snijpunt x=1x=1x=1 ligt fff boven ggg.De getallenlijn die hierbij hoort:In de ongelijkheidsnotatie schrijven we: x<−5x<-5x<−5 of x>1x>1x>1In de intervalnotatie schrijven we: ⟨←,−5⟩∪⟨1,→⟩\langle \leftarrow, -5\rangle \cup \langle 1, \rightarrow \rangle⟨←,−5⟩∪⟨1,→⟩ Antwoord:f(x)>g(x)f(x)>g(x)f(x)>g(x) geeft ongelijkheidsnotatie: x<−5x<-5x<−5 of x>1x>1x>1Intervalnotatie: ⟨←,−5⟩∪⟨1,→⟩\langle \leftarrow, -5\rangle \cup \langle 1, \rightarrow \rangle⟨←,−5⟩∪⟨1,→⟩Tussen fff en ggg staat het kleiner dan/gelijk aan teken, dus de vraag is: wanneer ligt fff onder ggg en wanneer is fff gelijk aan ggg? Stap 1: Zoek de snijpunten.f(x)=g(x)f(x)=g(x)f(x)=g(x) als x=−5x=-5x=−5 en x=1x=1x=1 Stap 2: Kijk wanneer fff (groen) onder ggg (blauw) ligt.Tussen snijpunt x=−5x=-5x=−5 en het snijpunt x=1x=1x=1 ligt fff onder ggg.De snijpunten doen zelf mee omdat de vraag is kleiner dan/gelijk aan.De getallenlijn die hierbij hoort:In de ongelijkheidsnotatie schrijven we: −5≤x≤1-5\leq x\leq 1−5≤x≤1In de intervalnotatie schrijven we: [−5,1][-5,1][−5,1] Antwoord: f(x)≤g(x)f(x)\leq g(x)f(x)≤g(x) geeft ongelijkheidsnotatie: −5≤x≤1 -5\leq x\leq 1 −5≤x≤1 Intervalnotatie: [−5,1][-5,1][−5,1] We moeten de ongelijkheid $-x^2+2x+3\geq 7-3x$ oplossen.Stap 1: We lossen eerst de gelijkheid $-x^2+2x+3=7-3x$ op.Herleid eerst op 0 en los de vergelijking op.$-x^2+2x+3-7+3x=0$ (beide kanten $-7+3x$)$-x^2+5x-4=0$$x^2-5x+4=0$ (deel de vergelijking door $-1$)$(x-4)(x-1)=0$ (ontbind in factoren)$x-4=0$ of $x-1=0$$x=4$ of $x=1$ Stap 2: Schets de grafieken. De lijn $y=7-3x$ is een dalende lijn ($rc=-3$) die de $y$-as snijdt in $y=7$.$y=-x^2+2x+3$ is een bergparabool ($a=-1$). De grafieken snijden elkaar in $x=4$ en $x=1$Stap 3:Los de ongelijkheid op.$-x^2+2x+3\geq 7-3x$, oftewel, waar is de parabool groter of gelijk aan de lijn. De parabool is groter dan de lijn voor alle punten tussen $x=1$ en $x=4$. Door het gelijk aan teken zijn ook de snijpunten zelf een oplossing.$[1,4]$, een vierkante haak, de grenzen doen mee door het gelijk aan teken.Antwoord: $-x^2+2x+3\geq 7-3x$ geeft $[1,4]$ We willen weten voor welke $z$ de inhoud 450 $cm^3$ is, oftewel $I=450$Stap 1: Stel een vergelijking op.$0,063z^3=450$Stap 2: Los de vergelijking op.$z^3= 7142,85…$ (beide kanten $:0,063$)$z=\sqrt[3]{7142,85…}$ Gebruik ‘ans’ in je rekenmachine zodat je niet tussendoor afrondWe hebben maar 1 oplossing omdat 3 oneven is.$z=19,258…$$z\approx 19,26$Antwoord: De zijden zijn ongeveer 19,26 cm lang.