Moderne Wiskunde 13e ed deel B - Hoofdstuk 11B - Vergelijkingen en ongelijkheden oefentoetsen & antwoorden

We willen de waarden tussen $-5$ en $7$ in ongelijkheidsnotatie aangeven.Het rondje bij $-5$ is open, dus $-5$ doet zelf niet mee.Het rondje bij $7$ is open, dus $7$ doet zelf mee.Ongelijkheidsnotatie:Schrijf $x$ tussen $-5$ en $7$.$-5<x\leq 7$Bij -5 gebruiken we alleen kleiner dan, want -5 doet zelf niet mee.Bij 7 gebruiken we kleiner/gelijk aan, want 7 doet zelf mee.Antwoord: $-5<x\leq 7$We willen de waarden kleiner dan $-2$ aangeven in de ongelijkheidsnotatie.Het rondje bij $-2$ is dicht, dus $-2$ doet zelf mee, we schrijven kleiner/gelijk aan.Ongelijkheidsnotatie:$x\leq -2$Antwoord: $x\leq -2$ Stap 1: Isoleer de macht. Deel beide kanten door 2.x3=125x^3=125x3=125Stap 2: Vraag jezelf af, wat tot de macht 3 is 125?53=1255^3=12553=125Dus x=5x=5x=5Antwoord: x=5x=5x=5 Stap 1: Stel de formules aan elkaar gelijk.5x2+5x−60=−5x−455x^2+5x-60=-5x-455x2+5x−60=−5x−45Herleid op 0.5x2+5x−60+5x+45=05x^2+5x-60+5x+45=05x2+5x−60+5x+45=05x2+10x−15=05x^2+10x-15=05x2+10x−15=0Deel door 5.x2+2x−3=0x^2+2x-3=0x2+2x−3=0Ontbind in factoren.(x+3)(x−1)=0(x+3)(x-1)=0(x+3)(x−1)=0x+3=0x+3=0x+3=0 of x−1=0x-1=0x−1=0x=−3x=-3x=−3 of x=1x=1x=1Stap 2: Bereken de yyy-coördinaten van de snijpunten.Vul x=−3x=-3x=−3 in in één van de twee formules.y=−5⋅−3−45y=-5\cdot -3-45y=−5⋅−3−45=15−45=−30=15-45=-30=15−45=−30(−3,−30)(-3,-30)(−3,−30)Controle:y=5(−3)2+5⋅−3−60y=5(-3)^2+5\cdot -3-60y=5(−3)2+5⋅−3−60y=5⋅9−15−60y=5\cdot 9-15-60y=5⋅9−15−60=45−15−60=−30=45-15-60=-30=45−15−60=−30 klopt!Vul x=1x=1x=1 in in één van de twee formules.y=−5⋅1−45y=-5\cdot 1-45y=−5⋅1−45=−5−45=−50=-5-45=-50=−5−45=−50(1,−50)(1,-50)(1,−50)Controle:y=5(1)2+5⋅−3−60y=5(1)^2+5\cdot -3-60y=5(1)2+5⋅−3−60y=5⋅1+5−60y=5\cdot 1+5-60y=5⋅1+5−60=5+5−60=−50=5+5-60=-50=5+5−60=−50 klopt!Antwoord: (−3,−30)(-3,-30)(−3,−30) en (1,−50)(1,-50)(1,−50) Los eerst op $\frac{1}{2}x^2-2x-10\frac{1}{2}=0$In de figuur zien we dat de grafiek de $x$-as snijdt bij $x=-3$ en $x=7$Los de ongelijkheid op.$\frac{1}{2}x^2-2x-10\frac{1}{2}\geq 0$ oftewel, waar ligt de grafiek boven de $x$-as, en waar snijdt de grafiek de $x$-as.Voor het snijpunt $x=-3$ ligt de grafiek boven de $x$-as, en na het snijpunt $x=7$ ligt de grafiek boven de $x$-as.De snijpunten met de $x$-as doen mee.In de ongelijkheidsnotatie schrijven we: $x\leq -3$ of $x\geq 7$Antwoord: $\frac{1}{2}x^2-2x-10\frac{1}{2}\geq 0$ geeft  $x\leq -3$ of $x\geq 7$.  Stap 1: Los op x2=27x^2=27x2=27Neem de wortel van beide kanten.x=27x=\sqrt{27}x=27​ of x=−27x=-\sqrt{27}x=−27​x=33x=3\sqrt{3}x=33​ of x=−33x=-3\sqrt{3}x=−33​Stap 2: Maak een schets.x2x^2x2 is een dalparabool want a=1a=1a=1 en dus positief.y=27y=27y=27 is een verticale lijn boven de xxx-as.De parabool snijdt de lijn in x=−33x=-3\sqrt{3}x=−33​ en x=33x=3\sqrt{3}x=33​Stap 3: Los de ongelijkheid op. x2≤27x^2\leq 27x2≤27 oftewel, wanneer ligt x2x^2x2 onder de lijn y=27y=27y=27 en waar is x2x^2x2 gelijk aan y=27y=27y=27In de snijpunten en daartussen geldt x2≤27x^2\leq 27x2≤27Antwoord: −33≤x≤33-3\sqrt{3}\leq x\leq 3\sqrt{3}−33​≤x≤33​ Stap 1: Isoleer eerst de macht.2x5=−1162x^5=-1162x5=−116 (beide kanten +4+4+4)x5=−58x^5=-58x5=−58 (beide kanten delen door 2)Stap 2: Om tot de macht 5 weg te werken nemen we de 5de machtswortel.x=−585x=\sqrt[5]{-58}x=5−58​ (het is een oneven macht dus we hebben maar 1 oplossing)x≈−2,25x\approx -2,25x≈−2,25Antwoord: x≈−2,25x\approx -2,25x≈−2,25Stap 1: Isoleer de macht.3x4=183x^4=183x4=18 (beide kanten +8+8+8)x4=6x^4=6x4=6 (beide kanten :3:3:3)Stap 2: Werk de macht weg.We kunnen tot de macht 4 wegwerken met de 4e machtswortel.4 is even, dus we hebben twee oplossingen.x=64x=\sqrt[4]{6}x=46​ of x=−64x=-\sqrt[4]{6}x=−46​Stap 3: Bereken xxx.x≈1,57x\approx 1,57x≈1,57 of x≈−1,57x\approx -1,57x≈−1,57Antwoord: x≈1,57x\approx 1,57x≈1,57 of x≈−1,57x\approx -1,57x≈−1,57 Stap 1: Stel de vergelijking op en los hem op.4x2−3x+6=x+94x^2-3x+6=x+94x2−3x+6=x+9Herleid op nul.4x2−4x−3=04x^2-4x-3=04x2−4x−3=0Stap 2: Ontbinden in factoren lukt niet, dus we gebruiken de ABC-formule.a=4a=4a=4, b=−4b=-4b=−4 en c=−3c=-3c=−3D=b2−4acD=b^2-4acD=b2−4acD=(−4)2−4⋅4⋅−3D=(-4)^2-4\cdot 4\cdot -3D=(−4)2−4⋅4⋅−3D=16+48=64D=16+48=64D=16+48=64x=−b−D2ax=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}x=2a−b−D​​ of x=−b+D2ax=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}x=2a−b+D​​x=−−4−642⋅4x=\frac{- -4-\sqrt{64}}{2\cdot 4}x=2⋅4−−4−64​​ of x=−−4+642⋅4x=\frac{- -4+\sqrt{64}}{2\cdot 4}x=2⋅4−−4+64​​x=4−88x=\frac{4-8}{8}x=84−8​ of x=4+88x=\frac{4+8}{8}x=84+8​x=−48x=-\frac{4}{8}x=−84​ of x=128x=\frac{12}{8}x=812​x=−12x=-\frac{1}{2}x=−21​ of x=112x=1\frac{1}{2}x=121​Stap 3: Bereken de yyy-coördinaten van de snijpunten.Vul de xxx-coördinaat in één van de twee formules in.x=−12x=-\frac{1}{2}x=−21​ geeft:y=4⋅(−12)2−3⋅−12+6y=4\cdot (-\frac{1}{2})^2-3\cdot -\frac{1}{2}+6y=4⋅(−21​)2−3⋅−21​+6=4⋅14+32+6=4\cdot \frac{1}{4}+\frac{3}{2}+6=4⋅41​+23​+6=1+32+6=1+\frac{3}{2}+6=1+23​+6=812=8\frac{1}{2}=821​(−12,812)(-\frac{1}{2},8\frac{1}{2})(−21​,821​)Vul de xxx-coördinaat ter controle ook in in de andere formule.y=−12+9=812y=-\frac{1}{2}+9=8\frac{1}{2}y=−21​+9=821​ Klopt!Vul de andere xxx-coördinaat in één van de twee formules in.y=4⋅(112)2−3⋅112+6y=4\cdot (1\frac{1}{2})^2-3\cdot 1\frac{1}{2}+6y=4⋅(121​)2−3⋅121​+6=4⋅94−92+6=4\cdot \frac{9}{4}-\frac{9}{2}+6=4⋅49​−29​+6=9−412+6=9-4\frac{1}{2}+6=9−421​+6=1012=10\frac{1}{2}=1021​(112,1012)(1\frac{1}{2},10\frac{1}{2})(121​,1021​)Vul de xxx-coördinaat ter controle ook in in de andere formule.y=112+9=1012y=1\frac{1}{2}+9=10\frac{1}{2}y=121​+9=1021​ Klopt!Antwoord: (−12,812)(-\frac{1}{2},8\frac{1}{2})(−21​,821​) en (112,1012)(1\frac{1}{2},10\frac{1}{2})(121​,1021​) Tussen de parabool en de lijn staat het groter dan teken, dus de vraag is: wanneer ligt de parabool boven de lijn?Stap 1: Zoek de snijpunten.De grafieken snijden elkaar als x=−4x=-4x=−4 en x=3x=3x=3Stap 2: Kijk wanneer de parabool (groen) boven de lijn (paars) ligt.Tussen snijpunt x=−4x=-4x=−4 en het snijpunt x=3x=3x=3 ligt de parabool boven de lijn.In de ongelijkheidsnotatie schrijven we: −4<x<3-4<x<3−4<x<3Antwoord: −5x2−4x+50>x−10-5x^2-4x+50>x-10−5x2−4x+50>x−10 geeft ongelijkheidsnotatie: −4<x<3-4<x<3−4<x<3 Tussen de parabool en de lijn staat het kleiner dan/gelijk aan teken, dus de vraag is: wanneer ligt de parabool onder de lijn en wanneer is de parabool gelijk aan de lijn? Stap 1: Zoek de snijpunten.De grafieken snijden elkaar als x=−4x=-4x=−4 en x=3x=3x=3Stap 2: Kijk wanneer de parabool (groen) onder de lijn (paars) ligt.Voor het snijpunt x=−4x=-4x=−4 ligt de parabool onder de lijn.Na het snijpunt x=3x=3x=3 ligt de parabool onder de lijn.De snijpunten doen zelf mee omdat de vraag is kleiner dan/gelijk aan.In de ongelijkheidsnotatie schrijven we: x≤−4x\leq -4x≤−4 of x≥3x\geq 3x≥3Antwoord: −5x2−4x+50≤x−10-5x^2-4x+50\leq x-10−5x2−4x+50≤x−10  geeft x≤−4x\leq -4x≤−4 of x≥3x\geq 3x≥3 We moeten de ongelijkheid −x2+2x+3≥7−3x-x^2+2x+3\geq 7-3x−x2+2x+3≥7−3x oplossen. Stap 1: We lossen eerst de gelijkheid −x2+2x+3=7−3x-x^2+2x+3=7-3x−x2+2x+3=7−3x op.Herleid eerst op 0 en los de vergelijking op.−x2+2x+3−7+3x=0-x^2+2x+3-7+3x=0−x2+2x+3−7+3x=0 (beide kanten −7+3x-7+3x−7+3x)−x2+5x−4=0-x^2+5x-4=0−x2+5x−4=0x2−5x+4=0x^2-5x+4=0x2−5x+4=0 (deel de vergelijking door −1-1−1)(x−4)(x−1)=0(x-4)(x-1)=0(x−4)(x−1)=0 (ontbind in factoren)x−4=0x-4=0x−4=0 of x−1=0x-1=0x−1=0x=4x=4x=4 of x=1x=1x=1  Stap 2:  Schets de grafieken. De lijn y=7−3xy=7-3xy=7−3x is een dalende lijn (rc=−3rc=-3rc=−3) die de yyy-as snijdt in y=7y=7y=7.y=−x2+2x+3y=-x^2+2x+3y=−x2+2x+3 is een bergparabool (a=−1a=-1a=−1). De grafieken snijden elkaar in x=4x=4x=4 en x=1x=1x=1Stap 3:Los de ongelijkheid op.−x2+2x+3≥7−3x-x^2+2x+3\geq 7-3x−x2+2x+3≥7−3x, oftewel, waar is de parabool groter of gelijk aan de lijn. De parabool is groter dan de lijn voor alle punten tussen x=1x=1x=1 en x=4x=4x=4. Door het gelijk aan teken zijn ook de snijpunten zelf een oplossing.1≤x≤41\leq x\leq 41≤x≤4Antwoord:−x2+2x+3≥7−3x-x^2+2x+3\geq 7-3x−x2+2x+3≥7−3xgeeft 1≤x≤41\leq x\leq 41≤x≤4 Als de parabool en de lijn één punt gemeenschappelijk hebben, moet dat wel de top van de parabool zijn. Stap 1: Maak een schets.a=1a=1a=1, a>0a>0a>0 dus dit is een dalparabool. Teken een dalparabool met de top bij y=8y=8y=8. Stap 2: Los de ongelijkheid x2−4x+12≥8x^2-4x+12\geq 8x2−4x+12≥8.De parabool is gelijk aan y=8y=8y=8 in de top en ligt verder overal boven de lijn y=8y=8y=8. Alle waarden van xxx zijn dus een oplossing. Alle reële getallen geven we aan met R\mathbb{R}R. Antwoord: R\mathbb{R}R We willen weten voor welke $z$ de inhoud 450 $cm^3$ is, oftewel $I=450$Stap 1: Stel een vergelijking op.$0,063z^3=450$Stap 2: Los de vergelijking op.$z^3= 7142,85…$ (beide kanten $:0,063$)$z=\sqrt[3]{7142,85…}$ Gebruik ‘ans’ in je rekenmachine zodat je niet tussendoor afrondWe hebben maar 1 oplossing omdat 3 oneven is.$z=19,258…$$z\approx 19,26$Antwoord: De zijden zijn ongeveer 19,26 cm lang.