Moderne Wiskunde 13e ed deel B - Hoofdstuk 12B - Lijnen en cirkels oefentoetsen & antwoorden

Bij de vergelijking $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ hoort middelpunt $M(a,b)$ en straal $r$.In de vergelijking die we hebben gekregen is $a=3$ en $b=-2$. Dus het middelpunt van de cirkel is $M(3,-2)$. $r^2=25$ dus $r=\sqrt{25}=5$Antwoord: Het middelpunt is $M(3,-2)$ en $r=5$ We moeten substitutie gebruiken. Dat betekent dat we in één van de twee vergelijkingen een variabele moeten vrijmaken en deze moeten substitueren in de andere vergelijking.Stap 1: Maak een variabele vrij in één van de twee vergelijkingen.We maken $y$ vrij in de eerste vergelijking.$7x-3y=8$ (we moeten uiteindelijk links alleen $y$ overhouden)$-3y=8-7x$ (beide kanten $-7x$)$y=\frac{8}{-3}-\frac{7}{-3}x$ (beide kanten delen door $-3$)$y=-2\frac{2}{3}+2\frac{1}{3}x$Stap 2: Substitueer.We vervangen de $y$ in de tweede vergelijking voor $-2\frac{2}{3}+2\frac{1}{3}x$$3x+2(-2\frac{2}{3}+2\frac{1}{3}x)=10$ (denk aan de haakjes)$3x-5\frac{1}{3}+4\frac{2}{3}x=10$ (werk de haakjes uit)$7\frac{2}{3}x-5\frac{1}{3}=10$Stap 3: Los de vergelijking op.$7\frac{2}{3}x-5\frac{1}{3}=10$ (alle getallen met $x$ naar links de rest naar rechts)$7\frac{2}{3}x=5\frac{1}{3}+10$ (beide kanten $+5\frac{1}{3}$)$7\frac{2}{3}x=15\frac{1}{3}$ $x=\frac{15\frac{1}{3}}{7\frac{2}{3}}=2$ (beide kanten delen door $7\frac{2}{3}$)Stap 4: Bereken de $y$-coördinaat.Vul de $x$-coördinaat in in één van de twee formules om de bijbehorende $y$-waarde te vinden.$7\cdot 2-3y=8$$14-3y=8$$-3y=-6$$y=2$Antwoord: De oplossing is $(2,2)$ De vergelijking van de cirkel met als middelpunt de oorsprong en straal rrr is x2+y2=r2x^2+y^2=r^2x2+y2=r2, We berekenen de straal.De straal is gelijk aan de afstand tussen (0,0)(0,0)(0,0) en (8,2)(8,2)(8,2).Gebruik de stelling van Pythagoras om de afstand tussen de oorsprong en AAA te berekenen.De straal rrr is OA=82+22=68OA=\sqrt{8^2+2^2}=\sqrt{68}OA=82+22​=68​Dus de cirkelvergelijking is: x2+y2=68x^2+y^2=68x2+y2=68Antwoord: x2+y2=68x^2+y^2=68x2+y2=68 Herleid de formule tot de vorm $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ hiervoor moeten we kwadraatafsplitsen.Zet eerst de getallen met $x$ bij elkaar en de getallen met $y$ bij elkaar.$x^2-8x+y^2+12y+5=0$We beginnen bij $x$. Zet $x$ tussen haakjes en tel daar de helft van het getal voor de $x$ bij op. Het getal voor $x$ is hier $-8$, de helft van $-8$ is $-4$.$(x+-4)^2…$$+$ en $-$ wordt $-$ dus:$(x-4)^2…$Nu hebben we $4^2$ te veel gerekend, dit trekken we er weer af.$(x-4)^2-4^2…$Zet $y$ tussen haakjes en tel daar de helft van het getal voor de $y$ bij op. Het getal voor $y$ is hier $12$, de helft van $12$ is $6$.$(x-4)^2-4^2+(y+6)^2…$Nu hebben we $6^2$ te veel gerekend, dit trekken we er weer af.$(x-4)^2-4^2+(y+6)^2-6^2…$Zet nog de $+5=0$ uit de vergelijking erachter en reken de machten uit.$(x-4)^2-16+(y+6)^2-36+5=0$Werk alle losse getallen naar links.$(x-4)^2+(y+6)^2=16+36-5$$(x-4)^2+(y+6)^2=47$Dus het middelpunt van de cirkel is $M(4,-6)$ en de straal is $r=\sqrt{47}$Antwoord: $M(4,-6)$ en $r=\sqrt{47}$ In de snijpunten met de $x$-as geldt $y=0$, vul $y=0$ in in de vergelijking van de cirkel.$(x-8)^2+(0-6)^2=80$$(x-8)^2+(-6)^2=80$$(x-8)^2+36=80$Werk de haakjes uit.$x^2-16x+64+36=80$Herleid op 0.$x^2-16x+100-80=0$$x^2-16x+20=0$Gebruik de ABC-formule:$a=1$, $b=-16$ en $c=20$$D=(-16)^2-4\cdot 1\cdot 20$$=256-80=176$$x=\frac{- -16-\sqrt{176}}{2\cdot 1}$ of $x=\frac{- -16+\sqrt{176}}{2\cdot 1}$$x=\frac{16-\sqrt{176}}{2}$ of $x=\frac{16+\sqrt{176}}{2}$$x=8-\frac{1}{2}\sqrt{176}$ of $x=8+\frac{1}{2}\sqrt{176}$  Antwoord: $(8-\frac{1}{2}\sqrt{176},0)$ en $(8+\frac{1}{2}\sqrt{176},0)$ Schrijf $x+y=3$ tot de vorm $y=…$ of $x=…$$y=-x+3$ (beide kanten $-x$)Of:$x=-y+3$ (beide kanten $-y$)Substitueer $y=-x+3$ in de vergelijking van de cirkel. (of $x=-y+3$, uiteindelijk geeft dit hetzelfde antwoord)$x^2+(-x+3)^2-4x+6(-x+3)-3=0$Werk de haakjes uit.$x^2+x^2-6x+9-4x-6x+18-3=0$$2x^2-16x+24=0$Los de vergelijking op.Deel de vergelijking door 2.$x^2-8x+12=0$Ontbind in factoren.$(x-6)(x-2)=0$$x-6=0$ of $x-2=0$$x=6$ of $x=2$Bereken de $y$-coördinaten van de snijpunten.Vul hiervoor de $x$-coördinaten in de formule van de lijn in.$x=2$ geeft $2+y=3$, dus $y=1$$x=6$ geeft $6+y=3$ dus $y=-3$Antwoord: De coördinaten van de snijpunten zijn $(2,1)$ en $(6,-3)$ Maak $y$ vrij in één van de twee formules. Dat is het makkelijkst in $y+2x=8$$y=-2x+8$Substitueer $y=-2x+8$ in $6x+2y=6$$6x+2(-2x+8)=6$Werk de haakjes uit. $6x-4x+16=6$$2x+16=6$Vervolgens gebruiken we de balansmethode. Eerst verplaatsen we de losse getallen naar de rechterkant. $2x=-10$Deel voor het getal voor de $x$.$x=-5$We moeten niet alleen de $x$-coördinaat van het snijpunt berekenen, maar ook de $y$-coördinaat. Hiervoor vullen we de $x$-coördinaat in in één van de twee formules. $x=-5$ in $y=-2x+8$ geeft $y=-2\cdot -5+8$$=10+8=18$$x=-5$ in $6x+2y=6$  geeft $6\cdot -5+2y=6$$-30+2y=6$$2y=36$$y=18$Dus de $y$-coördinaat van het snijpunt is $y=18$Je hoeft maar 1 van de twee berekeningen hierboven op te schrijven, uit beide berekeningen komt hetzelfde antwoord.Antwoord: $(-5, 18)$ Bij de vergelijking $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ hoort middelpunt $M(a,b)$ en straal $r$.In dit geval is $M(4,-9)$, vul het middelpunt in in de vergelijking. $a=4$ en $b=-9$.$(x-4)^2+(y--9)^2=r^2$$(x-4)^2+(y+9)^2=r^2$Voor de straal $r$ berekenen we de afstand tussen het middelpunt en $(-2,1)$. Gebruik de stelling van Pythagoras.De afstand tussen de twee $x$-coördinaten is de ene rechthoekszijde en de afstand tussen de twee $y$-coördinaten is de andere rechthoekszijde.$r=\sqrt{(4- -2)^2+(-9-1)^2}=\sqrt{6^2+(-10)^2}$$=\sqrt{36+100}=\sqrt{136}$Vul $r$ in in de vergelijking. $(x-4)^2+(y+9)^2=(\sqrt{136}^2$$(x-4)^2+(y+9)^2=136$Antwoord: $(x-4)^2+(y+9)^2=136$ Herleid de formule tot de vorm $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ hiervoor moeten we kwadraatafsplitsen.Zet eerst de getallen met $x$ bij elkaar en de getallen met $y$ bij elkaar.$x^2+6x+y^2-2y+3=0$We beginnen bij $x$. Zet $x$ tussen haakjes en tel daar de helft van het getal voor de $x$ bij op. Het getal voor $x$ is hier $6$, de helft van $6$ is $3$.$(x+3)^2…$Nu hebben we $3^2$ te veel gerekend, dit trekken we er weer af.$(x+3)^2-3^2…$Zet $y$ tussen haakjes en tel daar de helft van het getal voor de $y$ bij op. Het getal voor $y$ is hier $-2$, de helft van $-2$ is $-1$.$(x+3)^2-3^2+(y-1)^2…$Nu hebben we $(-1)^2$ te veel gerekend, dit trekken we er weer af.$(x+3)^2-3^2+(y-1)^2-(-1)^2…$Zet nog de $+3=0$ uit de vergelijking erachter en reken de machten uit.$(x+3)^2-9+(y-1)^2-1+3=0$Werk alle losse getallen naar links.$(x+3)^2+(y-1)^2=9+1-3$$(x+3)^2+(y-1)^2=7$Dus het middelpunt van de cirkel is $M(-3,1)$ en de straal is $r=\sqrt{7}$Antwoord: Het middelpunt van de cirkel is $M(-3,1)$ en de straal is $r=\sqrt{7}$ Schrijf $2x+y=40$ tot de vorm $y=…$ of $x=…$Hier is $x=…$ makkelijker.$x=-2y+40$ (beide kanten $-2y$)Substitueer $x=-2y+40$ in de vergelijking van de cirkel. $(-2y+40-8)^2+(y-6)^2=80$$(-2y+32)^2+(y-6)^2=80$Werk de haakjes uit.$4y^2-128y+1024+y^2-12y+36=80$Herleid op 0 en schrijf zo kort mogelijk.$5y^2-140y+1060-80=0$$5y^2-140y+980=0$Bereken de discriminant en gebruik:$D>0$, de cirkel en de lijn hebben twee punten gemeenschappelijk.$D=0$, de cirkel en de lijn hebben één punt gemeenschappelijk, namelijk het raakpunt.$D<0$, de cirkel en de lijn hebben geen punten gemeenschappelijk.$a=5$, $b=-140$ en $c=980$$D=b^2-4ac$$D=(-140)^2-4\cdot 5\cdot 980$$D=19600-19600=0$Dus er geldt $D=0$, oftewel de cirkel en de lijn raken elkaar.Antwoord: De lijn en de cirkel raken elkaar.