Moderne Wiskunde 13e ed deel B - Hoofdstuk 12B - Cirkels oefentoetsen & antwoorden

Bij de vergelijking $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ hoort middelpunt $M(a,b)$ en straal $r$.In de vergelijking die we hebben gekregen is $a=3$ en $b=-2$. Dus het middelpunt van de cirkel is $M(3,-2)$. $r^2=25$ dus $r=\sqrt{25}=5$Antwoord: Het middelpunt is $M(3,-2)$ en $r=5$ De vergelijking van de cirkel met als middelpunt de oorsprong en straal rrr is x2+y2=r2x^2+y^2=r^2x2+y2=r2, We berekenen de straal.De straal is gelijk aan de afstand tussen (0,0)(0,0)(0,0) en (8,2)(8,2)(8,2).Gebruik de stelling van Pythagoras om de afstand tussen de oorsprong en AAA te berekenen.De straal rrr is OA=82+22=68OA=\sqrt{8^2+2^2}=\sqrt{68}OA=82+22​=68​Dus de cirkelvergelijking is: x2+y2=68x^2+y^2=68x2+y2=68Antwoord: x2+y2=68x^2+y^2=68x2+y2=68 Herleid de formule tot de vorm $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ hiervoor moeten we kwadraatafsplitsen.Zet eerst de getallen met $x$ bij elkaar en de getallen met $y$ bij elkaar.$x^2-8x+y^2+12y+5=0$We beginnen bij $x$. Zet $x$ tussen haakjes en tel daar de helft van het getal voor de $x$ bij op. Het getal voor $x$ is hier $-8$, de helft van $-8$ is $-4$.$(x+-4)^2…$$+$ en $-$ wordt $-$ dus:$(x-4)^2…$Nu hebben we $4^2$ te veel gerekend, dit trekken we er weer af.$(x-4)^2-4^2…$Zet $y$ tussen haakjes en tel daar de helft van het getal voor de $y$ bij op. Het getal voor $y$ is hier $12$, de helft van $12$ is $6$.$(x-4)^2-4^2+(y+6)^2…$Nu hebben we $6^2$ te veel gerekend, dit trekken we er weer af.$(x-4)^2-4^2+(y+6)^2-6^2…$Zet nog de $+5=0$ uit de vergelijking erachter en reken de machten uit.$(x-4)^2-16+(y+6)^2-36+5=0$Werk alle losse getallen naar links.$(x-4)^2+(y+6)^2=16+36-5$$(x-4)^2+(y+6)^2=47$Dus het middelpunt van de cirkel is $M(4,-6)$ en de straal is $r=\sqrt{47}$Antwoord: $M(4,-6)$ en $r=\sqrt{47}$ Schrijf $x+y=3$ tot de vorm $y=…$ of $x=…$$y=-x+3$ (beide kanten $-x$)Of:$x=-y+3$ (beide kanten $-y$)Substitueer $y=-x+3$ in de vergelijking van de cirkel. (of $x=-y+3$, uiteindelijk geeft dit hetzelfde antwoord)$x^2+(-x+3)^2-4x+6(-x+3)-3=0$Werk de haakjes uit.$x^2+x^2-6x+9-4x-6x+18-3=0$$2x^2-16x+24=0$Los de vergelijking op.Deel de vergelijking door 2.$x^2-8x+12=0$Ontbind in factoren.$(x-6)(x-2)=0$$x-6=0$ of $x-2=0$$x=6$ of $x=2$Bereken de $y$-coördinaten van de snijpunten.Vul hiervoor de $x$-coördinaten in de formule van de lijn in.$x=2$ geeft $2+y=3$, dus $y=1$$x=6$ geeft $6+y=3$ dus $y=-3$Antwoord: De coördinaten van de snijpunten zijn $(2,1)$ en $(6,-3)$ Schrijf $2x+y=40$ tot de vorm $y=…$ of $x=…$Hier is $x=…$ makkelijker.$x=-2y+40$ (beide kanten $-2y$)Substitueer $x=-2y+40$ in de vergelijking van de cirkel. $(-2y+40-8)^2+(y-6)^2=80$$(-2y+32)^2+(y-6)^2=80$Werk de haakjes uit.$4y^2-128y+1024+y^2-12y+36=80$Herleid op 0 en schrijf zo kort mogelijk.$5y^2-140y+1060-80=0$$5y^2-140y+980=0$Bereken de discriminant en gebruik:$D>0$, de cirkel en de lijn hebben twee punten gemeenschappelijk.$D=0$, de cirkel en de lijn hebben één punt gemeenschappelijk, namelijk het raakpunt.$D<0$, de cirkel en de lijn hebben geen punten gemeenschappelijk.$a=5$, $b=-140$ en $c=980$$D=b^2-4ac$$D=(-140)^2-4\cdot 5\cdot 980$$D=19600-19600=0$Dus er geldt $D=0$, oftewel de cirkel en de lijn raken elkaar.Antwoord: De lijn en de cirkel raken elkaar. Bij de vergelijking $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ hoort middelpunt $M(a,b)$ en straal $r$.In dit geval is $M(4,-9)$, vul het middelpunt in de vergelijking in. $a=4$ en $b=-9$.$(x-4)^2+(y--9)^2=r^2$Voor de straal $r$ berekenen we de afstand tussen het middelpunt en $(-2,1)$. Gebruik de stelling van Pythagoras.De afstand tussen de twee $x$-coördinaten is de ene rechthoekszijde en de afstand tussen de twee $y$-coördinaten is de andere rechthoekszijde.$r=\sqrt{(4- -2)^2+(-9-1)^2}=\sqrt{6^2+(-10)^2}$$=\sqrt{36+100}=\sqrt{136}$Vul $r$ in de vergelijking in. $(x-4)^2+(y+9)^2=(\sqrt{136})^2$$(x-4)^2+(y+9)^2=136$Antwoord: $(x-4)^2+(y+9)^2=136$ Werkwijze: Bepaal het middelpunt en de straal van de cirkel, bereken vervolgens de afstand tussen BBB en het middelpunt en ga na of het punt binnen, op of buiten de cirkel ligt.Herleid de formule tot de vorm (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2(x−a)2+(y−b)2=r2 hiervoor moeten we kwadraatafsplitsen.Zet eerst de getallen met xxx bij elkaar en de getallen met yyy bij elkaar.x2+6x+y2−2y+3=0x^2+6x+y^2-2y+3=0x2+6x+y2−2y+3=0We beginnen bij xxx. Zet xxx tussen haakjes en tel daar de helft van het getal voor de xxx bij op. Het getal voor xxx is hier 666, de helft van 666 is 333.(x+3)2…(x+3)^2…(x+3)2…Nu hebben we 323^232 te veel gerekend, dit trekken we er weer af.(x+3)2−32…(x+3)^2-3^2…(x+3)2−32…Zet yyy tussen haakjes en tel daar de helft van het getal voor de yyy bij op. Het getal voor yyy is hier −2-2−2, de helft van −2-2−2 is −1-1−1.(x+3)2−32+(y−1)2…(x+3)^2-3^2+(y-1)^2…(x+3)2−32+(y−1)2…Nu hebben we (−1)2(-1)^2(−1)2 te veel gerekend, dit trekken we er weer af.(x+3)2−32+(y−1)2−(−1)2…(x+3)^2-3^2+(y-1)^2-(-1)^2…(x+3)2−32+(y−1)2−(−1)2…Zet nog de +3=0+3=0+3=0 uit de vergelijking erachter en reken de machten uit.(x+3)2−9+(y−1)2−1+3=0(x+3)^2-9+(y-1)^2-1+3=0(x+3)2−9+(y−1)2−1+3=0Werk alle losse getallen naar links.(x+3)2+(y−1)2=9+1−3(x+3)^2+(y-1)^2=9+1-3(x+3)2+(y−1)2=9+1−3(x+3)2+(y−1)2=7(x+3)^2+(y-1)^2=7(x+3)2+(y−1)2=7Dus het middelpunt van de cirkel is M(−3,1)M(-3,1)M(−3,1) en de straal is r=7r=\sqrt{7}r=7​Bereken de afstand van BBB tot MMM.Gebruik de stelling van Pythagoras.De afstand tussen de twee xxx-coördinaten is de ene rechthoekszijde en de afstand tussen de twee yyy-coördinaten is de andere rechthoekszijde.r=(−3−3)2+(1−5)2=(−6)2+(−4)2r=\sqrt{(-3-3)^2+(1-5)^2}=\sqrt{(-6)^2+(-4)^2}r=(−3−3)2+(1−5)2​=(−6)2+(−4)2​=36+16=52=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=36+16​=52​52\sqrt{52}52​ is groter dan 7\sqrt{7}7​ de afstand van punt BBB tot het middelpunt is dus groter dan de straal, dan moet BBB wel buiten de cirkel liggen.Antwoord: BBB ligt buiten de cirkel. Bereken de coördinaten van het middelpunt.De xxx-coördinaat van het middelpunt ligt precies tussen x=0x=0x=0 en x=16x=16x=16(0+16):2=8(0+16):2=8(0+16):2=8De xxx-coördinaat van het middelpunt is dus x=8x=8x=8De yyy-coördinaat van het middelpunt ligt precies tussen y=2y=2y=2 en y=10y=10y=10(2+10):2=6(2+10):2=6(2+10):2=6De yyy-coördinaat van het middelpunt is dus y=6y=6y=6Bij de vergelijking (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2(x−a)2+(y−b)2=r2 hoort middelpunt M(a,b)M(a,b)M(a,b), in dit geval is M(8,6)M(8,6)M(8,6) dus: (x−8)2+(y−6)2=r2(x-8)^2+(y-6)^2=r^2(x−8)2+(y−6)2=r2Bereken de straal van de cirkel.De straal is gelijk aan de afstand vanaf (0,2)(0,2)(0,2) tot (8,6)(8,6)(8,6)Gebruik de stelling van Pythagoras.De afstand tussen de twee xxx-coördinaten is de ene rechthoekszijde en de afstand tussen de twee yyy-coördinaten is de andere rechthoekszijde.r=(8−0)2+(6−2)2=82+42r=\sqrt{(8-0)^2+(6-2)^2}=\sqrt{8^2+4^2}r=(8−0)2+(6−2)2​=82+42​=64+16=80=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=64+16​=80​De straal rrr is 80\sqrt{80}80​ dus (x−8)2+(y−6)2=(80)2(x-8)^2+(y-6)^2=(\sqrt{80})^2(x−8)2+(y−6)2=(80​)2Antwoord: (x−8)2+(y−6)2=80(x-8)^2+(y-6)^2=80(x−8)2+(y−6)2=80 In de snijpunten met de xxx-as geldt y=0y=0y=0, vul y=0y=0y=0 in de vergelijking van de cirkel in.(x−8)2+(0−6)2=80(x-8)^2+(0-6)^2=80(x−8)2+(0−6)2=80(x−8)2+(−6)2=80(x-8)^2+(-6)^2=80(x−8)2+(−6)2=80(x−8)2+36=80(x-8)^2+36=80(x−8)2+36=80Werk de haakjes uit.x2−16x+64+36=80x^2-16x+64+36=80x2−16x+64+36=80Herleid op 0.x2−16x+100−80=0x^2-16x+100-80=0x2−16x+100−80=0x2−16x+20=0x^2-16x+20=0x2−16x+20=0Gebruik de ABC-formule:a=1a=1a=1, b=−16b=-16b=−16 en c=20c=20c=20D=(−16)2−4⋅1⋅20D=(-16)^2-4\cdot 1\cdot 20D=(−16)2−4⋅1⋅20=256−80=176=256-80=176=256−80=176x=−−16−1762⋅1x=\frac{- -16-\sqrt{176}}{2\cdot 1}x=2⋅1−−16−176​​ of x=−−16+1762⋅1x=\frac{- -16+\sqrt{176}}{2\cdot 1}x=2⋅1−−16+176​​x=16−1762x=\frac{16-\sqrt{176}}{2}x=216−176​​ of x=16+1762x=\frac{16+\sqrt{176}}{2}x=216+176​​x=8−12176x=8-\frac{1}{2}\sqrt{176}x=8−21​176​ of x=8+12176x=8+\frac{1}{2}\sqrt{176}x=8+21​176​  Antwoord: (8−12176,0)(8-\frac{1}{2}\sqrt{176},0)(8−21​176​,0) en (8+12176,0)(8+\frac{1}{2}\sqrt{176},0)(8+21​176​,0) Substitueer y=pxy=pxy=px in de vergelijking van de cirkel.(x−7)2+(px)2=4(x-7)^2+(px)^2=4(x−7)2+(px)2=4Werk de haakjes uit.x2−14x+49+p2x2=4x^2-14x+49+p^2x^2=4x2−14x+49+p2x2=4Herleid op nul.x2−14x+49+p2x2=4x^2-14x+49+p^2x^2=4x2−14x+49+p2x2=4x2+p2x2−14x+45=0x^2+p^2x^2-14x+45=0x2+p2x2−14x+45=0 (beide kanten −4-4−4)(1+p2)x2−14x+45=0(1+p^2)x^2-14x+45=0(1+p2)x2−14x+45=0Als de discriminant gelijk is aan nul raakt de lijn de cirkel, dus los op: D=0D=0D=0.a=1+p2a=1+p^2a=1+p2, b=−14b=-14b=−14 en c=45c=45c=45D=(−14)2−4⋅(1+p2)⋅45D=(-14)^2-4\cdot (1+p^2)\cdot 45D=(−14)2−4⋅(1+p2)⋅45D=196−180(1+p2)D=196-180(1+p^2)D=196−180(1+p2)D=196−180−180p2D=196-180-180p^2D=196−180−180p2D=16−180p2D=16-180p^2D=16−180p2Stel de discriminant gelijk aan nul.D=0D=0D=0 geeft:16−180p2=016-180p^2=016−180p2=0180p2=16180p^2=16180p2=16p2=16180p^2=\frac{16}{180}p2=18016​p2=445p^2=\frac{4}{45}p2=454​p=445p=\sqrt{\frac{4}{45}}p=454​​ of $p=-\sqrt{\frac{4}{45}}$Antwoord: De lijnen y=445xy=\sqrt{\frac{4}{45}}xy=454​​x en y=−445xy=-\sqrt{\frac{4}{45}}xy=−454​​x raken aan de cirkel.