Systematische Natuurkunde LRN-line 2022 - Hoofdstuk 2 - Beweging oefentoetsen & antwoorden

In een (v,t)-diagram teken je de snelheid als functie van de tijd. Op de x-as zet je de waardes voor de tijd neer en op de y-as komen de waardes van de snelheid.Bij een vrije val valt een object doordat de zwaartekracht aan het object trekt. Het object zal ongehinderd versnellen omdat er geen tegenkracht (zoals luchtweerstand) aanwezig is.De oppervlakte onder de grafiek geeft de afgelegde weg aan. Je weet dat de formule voor de afgelegde weg luidt $s=v \cdot t$. In een (v,t)-diagram staat de tijd op de horizontale as en de snelheid op de verticale as. Zie het als lengte keer breedte, dan krijg de oppervlakte. En juiste die oppervlakte geeft de afgelegde weg aan. Er zijn twee bekende manieren om dit te doen.Manier 1. Hokjes tellen.Er zijn meerder manier hoe dit te doen. De meeste bekende is eerst alle “hele” hokjes te tellen. En vervolgens ga je “halve” hokjes bij elkaar tellen. Vervolgens kun je uitrekenen hoeveel afstand 1 hokje representeert. De uiteindelijke afgelegde weg bereken je vervolgens om de afstand van 1 hokje te vermenigvuldigen met het aantal getelde hokjes.Manier 2. Met de gemiddelde snelheidAls je makkelijk de gemiddelde snelheid kunt bepalen, kun je een horizontale streep tekenen in de grafiek. De oppervlakte onder die horizontale lijn is dan de afgelegde weg. Gegeven: Snelheid (v) = $70 \, mph$Gevraagd: Snelheid (v) naar m/s.Formule: 1 mile = $1.6 \cdot 10^{3}$ m = 1.6 km (Binas tabel 5), Berekening: $v = 70 \, mph \cdot 1.6 = 112 \, km/h$ (vermenigvuldigen met 1.6)$v= \frac{112 \, km/h}{3.6} = 31.1 \, m/s$ (delen door 3.6)Conclusie: De snelheid is $31 \, m/s$.Gegeven:Snelheid ($v_b$) = $30 \, m/s$Snelheid ($v_e$) = $0 \, m/s$Versnelling (a) = $4 \, ms^-2$ (1 significante cijfer)Gevraagd: Remafstand (s)Formule: $a = \frac{dv}{dt}$$s =v_{gem} \cdot t$$v_{gem} =\frac{(vb+ve)}{2}$Berekening:$dt = \frac{dv}{a}=\frac{(30-0)}{4}=7.5 \, s$$v_{gem} = \frac{(30+0)}{2} = 15 \, m/s$$s = 15 \cdot 7.5 = 112.5 \, m =  1\cdot 10 ^2$ Conclusie: De afstand is $1 \cdot 10 ^2$ m. (Let op je moet in 1 significante cijfer afronden.)Gegeven:Afstand (s) = $0.1 \, km = 0.1 \cdot 10 ^3 \, m$snelheid (v) = $30 \, m/s$Gevraagd: Versnelling (a)Formule: $a = \frac{dv}{dt}$$t = \frac{s}{v_{gem}}$$v_{gem} = \frac{(vb+ve)}{2}$Berekening:$v_{gem} = \frac{(30+0)}{2}=15 \, m/s$$t = \frac{0.1\cdot 10 ^3}{15} = 6.67 \, s$$a = \frac{(30-0)}{(6.67)} = 4.5 \, m/s^2$Conclusie: De versnelling is $4.5 \, m/s^2$. In een (v,t)-diagram heb je de snelheid afgezet tegen de tijd. De gemiddelde versnelling tussen twee tijdstippen kan worden bepaald door de twee coördinaten met elkaar te verbinden en vervolgens geeft de richtingscoëfficiënt de gemiddelde versnelling aan. In het voorbeeld hieronder wordt dat gedaan door de groene lijn.De huidige versnelling op een bepaald punt kan worden bepaalde door de raaklijn van de grafiek op dat punt. Vervolgens kun je met de richtingscoëfficiënt de huidige versnelling bepalen. De rode lijn in het voorbeeld hieronder geeft dit aan.De afgelegde weg kun je bepalen door de oppervlakte onder de grafiek.Methode 1. Hokjes tellen.In het voorbeeld zijn de hokjes geteld. Eerst de complete hokjes, de nummers 1 t/m 22. Vervolgens worden combinaties geteld. Zo bestaat hokje 23 uit de twee boven elkaar staande hokjes.In totaal kom je dan op 27,5 hokje. Eén hokje staat voor een afstand van 1 meter (immers een snelheid van 1 m/s keer een tijd van 1 seconde maakt 1 meter). Dus het antwoord is 27,5 meter.Methode 2. Gemiddelde snelheid.Door te gokken wat de gemiddelde snelheid is, kun je de afgelegde weg bepalen. De gemiddelde snelheid is ongeveer 3 m/s3 \ m/s3 m/s. Dus dan zal de afgelegde weg de gemiddelde snelheid keer de tijd zijn. In dit geval wordt dit: s=vgem⋅t=3⋅9=27 ms = v_{gem} \cdot t = 3 \cdot 9 = 27\ ms=vgem​⋅t=3⋅9=27 m. De rode lijn in de grafiek geeft de gemiddelde snelheid aan.In het figuur rolt de bal de eerste twee seconden van 2 meter naar 7 meter. Daardoor weet je dat Δx=7−2=5 m\Delta x = 7 - 2 = 5 \ mΔx=7−2=5 m. In de 3de seconde rolt de bal terug van 7 meter naar 4 meter, dus Δx=4−7=−3 m\Delta x = 4-7 = -3 \ mΔx=4−7=−3 m. De afgelegde afstand duidt de hele weg die de bal heeft afgelegd aan, dus eerst 5 meter en vervolgens 3 meter. Dus de afgelegde afstand is x=5+3=8 mx = 5 + 3 = 8 \ mx=5+3=8 m.De verplaatsing duidt aan welke afstand de bal van begin tot eind heeft afgelegd zonder rekening te houden met elke tussenliggende bewegingen. Je kijkt dus alleen naar het begin- en eindtijdstip.Op t=0t = 0t=0 bevond de bal zich op punt x=2 mx = 2 \ mx=2 m en op het eindtijdstip bevond de bal zich op x=4 mx=4 \ mx=4 m. Dus Δx=4−2=2 m\Delta x = 4-2 = 2 \ mΔx=4−2=2 m.          e.  Een eenparige beweging is een beweging waarbij de snelheid constant is. Bij een (x,t)-diagram teken je de verplaatsing gedurende een bepaalde tijd. Als de snelheid dan constant is, neemt de verplaatsing rechtlijnig toe. Dit kenmerkt zich door een recht-stijgende lijn, zoals je in het figuur kunt zien. Om snelheden om te rekenen gebruik je het getal 3,6. Wil je van km/h naar m/s moet je het kleiner maken en dus delen. Wil je van m/s naar km/h dan vermenigvuldig je. In deze gevallen:Sneltrein: $v = \frac{115}{3,6} = 31,94 \rightarrow v = 32 \ m/s$Stoptrein: $v=\frac{55}{3,6} = 15,27 \rightarrow v = 15 \ m/s$Om te kunnen bewijzen moet je voor beide treinen uitrekenen hoeveel tijd ze nodig hebben. Denk er wel aan dat de sneltrein tien minuten later vertrekt.Gegeven:$s=22,5 \ km$ $v_{snel} = 115 \ km/h$ $v_{stop} = 55 \ km/h$$t_{snel} = +0,17 \ h$Gevraagd: $t_{snel}$$t_{stop}$Formules:$s= v \cdot t \rightarrow t = \frac{s}{v}$Berekening: $t_{stop} = \frac{s}{v} = \frac{22,5}{55} = 0,41 \ h$ $t_{snel} = \frac{22,5}{115} + 0,17 = 0,20 + 0,17 = 0,37 \ h$Conclusie: De sneltrein doet er 0,04 uur korter over. Dat is 2,4 minuten.Deze som kan op twee manieren worden opgelost. Je kunt een grafiek teken waarin je de gegevens uit som b. verwerkt. Daarna kun je aflezen waar de twee lijnen elkaar kruisen. Een voorbeeld van deze grafiek staat hieronder en je ziet dat de treinen elkaar passeren op ongeveer 17,5 km.Maar omdat in de vraag staat dat je het moet bereken, volgt hieronder de juiste oplossing:Je bent op zoek naar waar de $s$ voor beiden gelijk is. Dus daar waar $s_{snel} = s_{stop}$ of waar $t_{snel} = t_{stop}$. Voor beide moet je een formule opstellen en dan gelijk stellen aan elkaar. Je kunt in dit geval het beste werken met de tijd. Je hebt die formule ook al opgesteld in vraag b.$\large t_{snel} = \frac{s}{v_{snel}} + 0,17$; $\large t_{stop}=\frac{s}{v_{stop}}$$\large t_{snel} = t_{stop}$ geeft dan: $\large \frac{s}{v_{snel}} + 0,17 = \frac{s}{v_{stop}}$Dit oplossen is wat rekenwerk.$v_{snel}$ en $v_{stop}$ uit breuk weghalen door te vermenigvuldigen: $s \cdot v_{stop} + 0,17 \cdot v_{stop} \cdot v_{snel} = s \cdot v_{snel}$$s$ vrij maken aan één kant:$s \cdot v_{stop} - s \cdot v_{snel} = -0,17 \cdot v_{stop} \cdot v_{snel}$$s \cdot (v_{stop} - v_{snel}) = -0,17  \cdot v_{stop} \cdot v_{snel}$$\large s = - \frac{ v_{stop} \cdot v_{snel}}{(v_{stop}-v_{snel})}$Invullen en uitrekenen: $\large s=-\frac{0,17 \cdot 55 \cdot 115}{(55-115)} = -\frac{1075,25}{-60} = 17,9$Conclusie: $s=18 \ km$Op de x-as zoek je naar $t=250 \ s$. De schaal loopt van 200 naar 400 dus 250 zal op een kwart liggen, daarvan. Je trekt een lijn naar boven tot het de grafiek raakt. Nu kun je horizontaal aflezen wat de snelheid is. Namelijk: $v=73 \ km/h$.Om de huidige snelheid te bepalen gebruik je in een (v,t)-diagram de raaklijn op dat tijdstip en vervolgens de richtingscoëfficiënt die bij die raaklijn hoort. In de tekening zie je dat de raaklijn is getekend op $t = 1000 \ s$. Voor het bepalen van de richtingscoefficient (en dus de huidige versnelling) gebruik je makkelijk herkenbare punten. In dit geval punt 1 (750, 0) en punt 2 (1100, 100). Gegevens$\Delta v = 100 -0 = 100 \ m/s$$\Delta t = 1100 - 750 = 350 \ s$Gevraagd: versnelling $a$Formule: $a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$Berekening: $a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{100}{350} = 0,2857$Conclusie: $a=0,286 \ m/s^2$Je ziet vier grafieken. Je weet dat de trein start in Den Haag en eindigt in Rotterdam. Er zijn twee tussenstops waar de trein stil staat. In een (s,t)-diagram blijft dan gedurende die stops de s gelijk (neemt niet toe of af).Grafiek A: Je ziet een afnemende lijn en twee tussenstops. Alleen hebben we gemeten vanuit Den Haag ($s=0 \ km$). En hier start de grafiek op 22,5 km. Dus A is het niet!Grafiek B: Je ziet een toenemende lijn en twee tussenstops. De start is in Den Haag ($s= 0 \ km$). Dit lijkt aannemelijk.Grafiek C: Je ziet een toenemende lijn maar er is ook een versnelling op de plek waar de anderen een stop hebben. Dus C kan het niet zijn.Grafiek D: Je ziet eerst een toenemende lijn maar vervolgens neemt de lijn weer af, alsof de trein weer terugkeert. Deze kan het ook niet zijn.Conclusie: het moet wel grafiek B zijn omdat de andere drie grafieken het niet kunnen zijn. Bij een (h,t)(h,t)(h,t)-diagram zet je de hoogte uit tegen de tijd. In de tekst lees je dat tussen elke foto 0,1 s zat. Verder kun je van het plaatje aflezen waar de prop zich bevond. Het is handig om eerst een tabel te maken voordat je een grafiek tekent. De tabel kan er als volgt uit zien:Tijd (s)Hoogte (m)0,01,000,10,950,20,790,30,540,40,200,50Met deze gegevens kun je vervolgens de grafiek maken. Denk aan de titel, de astitels en een goed verdeling van de twee assen. Het ziet er dan als volgt uit: Om een snelheid te kunnen bepalen uit een (h,t)(h,t)(h,t)-diagram gebruik je de raaklijn (en de richtingscoëfficiënt van die raaklijn). In het diagram is te zien dat al vrij snel het vel papier een constante snelheid heeft. Dit zie je doordat de lijn nagenoeg recht is. Het is dan makkelijk om een richtingscoëfficiënt te bepalen. In de grafiek hieronder zijn eerst twee punten bepaald:Deze twee punten zijn punt 1: (0,4, 0,76) en punt 2: (1,4, 0,09). Met deze twee punten en de formule v=ΔsΔtv = \frac{\Delta s}{\Delta t}v=ΔtΔs​ kunnen we de snelheid bepalen.Gegeven: Δv=0,79−0,09=0,70 m\Delta v = 0,79 - 0,09 = 0,70 \ mΔv=0,79−0,09=0,70 m Δt=1,4−0,4=1,0 s\Delta t = 1,4 -0,4 = 1,0 \ sΔt=1,4−0,4=1,0 sGevraagd: vvvFormule: v=ΔsΔtv = \frac{\Delta s}{\Delta t}v=ΔtΔs​Berekening: v=ΔsΔt=0,701,0=0,70v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{0,70}{1,0} = 0,70v=ΔtΔs​=1,00,70​=0,70Conclusie: v=0,70 m/sv = 0,70 \ m/sv=0,70 m/sJe hebt nu bewijs geleverd dat de snelheid inderdaad dichtbij de 0,67 m/s zit. Met het bepalen uit een grafiek maak je altijd kleine leesfouten en dus mag je 0,70 en 0,67 beschouwen als gelijk. Allereerst, besef dat de tijd in minuten is gegeven. Dus je zult bij berekeningen hier rekening mee moeten houden. Bij de gemiddelde versnelling bekijk je de snelheid op punt t=2 mint=2 \ mint=2 min (dit kun je aflezen en is v=7 m/sv = 7 \ m/sv=7 m/s) en op punt t=7 min t = 7 \ mint=7 min (die kun je ook aflezen: v=4 m/s v = 4 \ m/sv=4 m/s). Je kunt dan de gemiddelde versnelling bepalen:Gegeven: Δt=7−2=5 min=300\ s\Delta t = 7 - 2 = 5 \ min = 300 \  sΔt=7−2=5 min=300 sΔv=4−7=−3 m/s\Delta v = 4-7 = -3 \ m/sΔv=4−7=−3 m/sGevraagd: Gemiddelde versnelling agema_{gem}agem​Formule: agem=ΔvΔta_{gem}=\frac{\Delta v}{\Delta t}agem​=ΔtΔv​Berekening: agem=ΔvΔt=−3300=−0,01a_{gem}=\frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{-3}{300} = -0,01agem​=ΔtΔv​=300−3​=−0,01Conclusie: agem=−0,01 m/s2=−1⋅10−2 m/s2a_{gem} = -0,01 \ m/s^2 = -1 \cdot 10^{-2} \ m/s^2agem​=−0,01 m/s2=−1⋅10−2 m/s2Je kunt deze ook bepalen met behulp van de richtingscoëfficiënt van een lijn tussen de twee punten. Je krijgt dan dezelfde waarden die hierboven zijn uitgewerkt.De versnelling bepaal je met een raaklijn met de grafiek op het gegeven tijdstip. Het is dan handig om zo’n groot mogelijke raaklijn te tekenen en goed afleesbare punten te gebruiken voor je berekening. In de figuur hiernaast zie je dat de rode raaklijn de x-as snijdt op 7,5 min. Verder zie je dat op t=3t = 3t=3 minuten de rode lijn de 9 m/s aanraakt. Je hebt nu twee punten waarmee je de richtingscoëfficiënt kunt bepalen en daarmee de versnelling op t=4 mint = 4 \ mint=4 min.Gegeven: Δt=7,5−3=4,5 min=270 s\Delta t = 7,5 - 3 = 4,5 \ min = 270 \ sΔt=7,5−3=4,5 min=270 sΔv=0−9=−9 m/s\Delta v = 0 - 9 = - 9 \ m/sΔv=0−9=−9 m/sGevraagd: Gemiddelde versnelling agema_{gem}agem​Formule: agem=ΔvΔta_{gem} = \frac{\Delta v}{\Delta t}agem​=ΔtΔv​Berekening: agem=ΔvΔt=−9270=−0,0333a_{gem} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{-9}{270} = -0,0333agem​=ΔtΔv​=270−9​=−0,0333Conclusie: agem=−0,03 m/s2=−3⋅10−2 m/s2a_{gem} = -0,03 \ m/s^2 = -3 \cdot 10^{-2} \ m/s^2agem​=−0,03 m/s2=−3⋅10−2 m/s2In de grafiek zie je dat de snelheid toeneemt en vervolgens afneemt. Dus op tijdstip t=1 mint= 1 \ mint=1 min en t=3 mint= 3 \ mint=3 min wordt de snelheid hoger en versnelt de fietser dus. Je mag dan aannemen dat het voor de fietser makkelijker was en daarmee waarschijnlijk aan het dalen was. Op andere tijdstippen nam de snelheid steeds af en vertraagde de fietser.Hokjesmethode:De gele hokjes samen zijn er: 5+7+4+3+2=21.De blauwe hokjes zijn er ongeveer 2 en de groene hokjes is 1 hokje.In totaal dus: 21+2+1=24 hokjes.Elk hokje is 1 m/s⋅2 min=1 m/s⋅120 s=120 m1 \ m/s \cdot 2 \ min = 1 \ m/s \cdot 120 \ s = 120 \ m1 m/s⋅2 min=1 m/s⋅120 s=120 m Dus in totaal heeft de fietser ongeveer 24⋅120=2880 m24 \cdot 120 = 2880 \ m24⋅120=2880 m afgelegd.Gemiddelde snelheid: Teken in de grafiek de gemiddelde snelheid. Deze ligt ongeveer op 5 m/s. Je kunt nu de oppervlakte onder deze lijn uitrekenen, want dat is gelijk aan de afgelegde afstand. Dus in totaal heeft de fietser dan 5⋅10⋅60=3000 m5 \cdot 10 \cdot 60 = 3000 \ m5⋅10⋅60=3000 m afgelegd.