Getal en Ruimte wisB 12e ed deel 2 - Hoofdstuk 5 - Machten, exponenten en logaritmen oefentoetsen & antwoorden

Een gebroken macht kunnen we schrijven als een wortel. a23a^{\frac{2}{3}}a32​ is dus te schrijven als a23\sqrt[3]{a^2}3a2​Een negatieve macht kunnen we schrijven zonder negatieve macht in de noemer van een breuk. b−18b^{-\frac{1}{8}}b−81​ is dus te schrijven als 1b18\frac{1}{b^{\frac{1}{8}}}b81​1​Vervolgens kunnen we deze gebroken macht in de noemer schrijven als een wortel:1b8\frac{1}{\sqrt[8]{b}}8b​1​Dus:15a23b−18=15⋅a23⋅1b8\frac{1}{5}a^{\frac{2}{3}}b^{-\frac{1}{8}}=\frac{1}{5}\cdot \sqrt[3]{a^2}\cdot \frac{1}{\sqrt[8]{b}}51​a32​b−81​=51​⋅3a2​⋅8b​1​Vervolgens kunnen we de breuken vermenigvuldigen. Gebruik de regel van breuken vermenigvuldigen: teller keer teller en noemer keer noemer. 1⋅a23⋅15⋅b8\frac{1\cdot \sqrt[3]{a^2}\cdot 1}{5\cdot \sqrt[8]{b}}5⋅8b​1⋅3a2​⋅1​a235b8\frac{\sqrt[3]{a^2}}{5\sqrt[8]{b}}58b​3a2​​Antwoord: a235b8\frac{\sqrt[3]{a^2}}{5\sqrt[8]{b}}58b​3a2​​ Schrijf eerst in zowel de teller als de noemer de wortels als macht van $x$.$\sqrt[4]{x^3}=x^{\frac{3}{4}}$$\sqrt[3]{x^2}=x^{\frac{2}{3}}$$y=\frac{x^3\cdot x^{\frac{3}{4}}}{5x\cdot x^{\frac{2}{3}}}$Gebruik vervolgens de regel $a^p\cdot a^q=a^{p+q}$$y=\frac{x^{3+\frac{3}{4}}}{5x^{1+\frac{2}{3}}}$$y=\frac{x^{3\frac{3}{4}}}{5x^{1\frac{2}{3}}}$Gebruik vervolgens de regel $\frac{a^p}{a^q}=a^{p-q}$$y=\frac{1}{5}x^{3\frac{3}{4}-1\frac{2}{3}}$$y=\frac{1}{5}x^{\frac{15}{4}-\frac{5}{3}}$ (helen in de breuk)$y=\frac{1}{5}x^{\frac{45}{12}-\frac{20}{12}}$ (breuken gelijknamig maken)$y=\frac{1}{5}x^{\frac{25}{12}}$Reken de breuken uit.$y=0,2x^{2,08}$Antwoord: $y=0,2x^{2,08}$ Deel beide kanten door 3.$\sqrt[4]{(5x)^{-1}}=4$Schrijf de vierdemachtswortel als macht met exponent $\frac{1}{4}$$((5x)^{-1})^{\frac{1}{4}}=4$$(5x)^{-\frac{1}{4}}=4$ (gebruik de regel: $(a^p)^q=a^{p\cdot q}$)Gebruik het omgekeerde van de exponent om $x$ vrij te maken.$5x=4^{-4}$$5x=\frac{1}{4^4}$$5x=\frac{1}{256}$$x=\frac{1}{1280}$ (beide kanten delen door 5)Antwoord: $x=\frac{1}{1280}$ Schrijf eerst in de vorm $y=ax^p$De vijfdemachts wortel kunnen we schrijven als tot de macht $\frac{1}{5}$$y=4x\cdot (32x^3)^{\frac{1}{5}}$Werk de haakjes weg.$y=4x\cdot 32^{\frac{1}{5}}\cdot x^{3\cdot \frac{1}{5}}$ (gebruik de regel: $(a^p)^q=a^{p\cdot q}$)$y=4x\cdot 2\cdot x^{\frac{3}{5}}$$y=8x\cdot x^{\frac{3}{5}}$$y=8x^1\cdot x^{\frac{3}{5}}$ (bedenk dat we $x$ kunnen schrijven als $x^1$)$y=8x^{1+\frac{3}{5}}$ (gebruik de regel $a^p\cdot a^q=a^{p+q}$)$y=8x^{\frac{8}{5}}$Maak vervolgens $x$ vrij. Deel beide kanten door 8.$\frac{1}{8}y=x^{\frac{8}{5}}$Werk de macht weg door tot de macht het omgekeerde te doen.$(\frac{1}{8}y)^{\frac{5}{8}}=x$Werk de haakjes uit.$(\frac{1}{8})^{\frac{5}{8}}y^{\frac{5}{8}}=x$$0,273y^{0,625}=x$Draai de leden om.Antwoord: $x=0,273y^{0,625}$ Bereken de coördinaten van het randpunt.Een wortelfunctie heeft een randpunt doordat er geen negatief getal onder de wortel kan staan. Los daarom op 8−2x≥08-2x\geq 08−2x≥08−2x≥08-2x\geq 08−2x≥0−2x≥−8-2x\geq -8−2x≥−8x≤4x\leq 4x≤4 (Let op! Doordat we delen door een negatief getal klapt het teken om)De xxx-coördinaat van het randpunt is dus x=4x=4x=4. De yyy-coördinaat van het randpunt berekenen we door  x=4x=4x=4 in te vullen in fff.f(4)=−38−2⋅4−7f(4)=-3\sqrt{8-2\cdot 4}-7f(4)=−38−2⋅4​−7f(4)=−7f(4)=-7f(4)=−7Het randpunt is (4,−7)(4,-7)(4,−7) Voor het domein en bereik bekijken we de functie in de grafische rekenmachine.Voor het domein kijken we naar de waarden die xxx aanneemt. Vanaf het randpunt, x=4x=4x=4, gaat de grafiek naar links, xxx is dus overal op de grafiek kleiner dan 4. Df⟨←,4]D_f \langle \leftarrow, 4]Df​⟨←,4]Voor het bereik kijken we naar de waarden die yyy aanneemt. Vanaf het randpunt, y=−7y=-7y=−7, gaat de grafiek naar beneden. yyy is dus overal op de grafiek kleiner dan -7.Bf⟨←,−7]B_f \langle \leftarrow, -7]Bf​⟨←,−7]Antwoord: Het randpunt is (4,−7)(4,-7)(4,−7), Df⟨←,4]D_f \langle \leftarrow, 4]Df​⟨←,4], Bf⟨←,−7]B_f \langle \leftarrow, -7]Bf​⟨←,−7] Kijk eerst naar de vorm waar we naartoe moeten. We zien dat in y=b⋅gxy=b\cdot g^xy=b⋅gx alleen nog maar xxx over is in de exponent. We moeten dus de rest uit de exponent van hhh wegwerken. Gebruik de regel ap+q=ap⋅aqa^{p+q}=a^p\cdot a^qap+q=ap⋅aqh(x)=243⋅912x⋅9−2h(x)=243\cdot 9^{\frac{1}{2}x}\cdot 9^{-2}h(x)=243⋅921​x⋅9−29−2=1929^{-2}=\frac{1}{9^2}9−2=921​ dus we schrijven:h(x)=243⋅912x⋅192h(x)=243\cdot 9^{\frac{1}{2}x}\cdot \frac{1}{9^2}h(x)=243⋅921​x⋅921​h(x)=243⋅912x⋅181h(x)=243\cdot 9^{\frac{1}{2}x}\cdot \frac{1}{81}h(x)=243⋅921​x⋅811​Reken de keersom 243⋅181243\cdot \frac{1}{81}243⋅811​ uit.h(x)=3⋅912xh(x)=3\cdot 9^{\frac{1}{2}x}h(x)=3⋅921​xGebruik de regel (ap)q=ap⋅q(a^p)^q=a^{p\cdot q}(ap)q=ap⋅q h(x)=3⋅912⋅xh(x)=3\cdot 9^{\frac{1}{2}\cdot x}h(x)=3⋅921​⋅xh(x)=3⋅(912)xh(x)=3\cdot (9^{\frac{1}{2}})^xh(x)=3⋅(921​)xh(x)=3⋅(9)xh(x)=3\cdot (\sqrt{9})^xh(x)=3⋅(9​)xh(x)=3⋅3xh(x)=3\cdot 3^xh(x)=3⋅3xAntwoord: h(x)=3⋅3xh(x)=3\cdot 3^xh(x)=3⋅3x De standaardgrafiek van ggg is y=3xy=3^xy=3xDe vermenigvuldiging met de xxx-as met 5 is uitgevoerd, geeft y=5⋅3xy=5\cdot 3^xy=5⋅3xTranslatie (2,−8)(2,-8)(2,−8) geeft g(x)=5⋅3x−2−8g(x)=5\cdot 3^{x-2}-8g(x)=5⋅3x−2−8Let op, als je de translatie eerst doet en daarna de vermenigvuldiging, dan moet je translatie anders zijn:Translatie (2,−85)(2,-\frac{8}{5})(2,−58​) geeft y=3x−2−85y=3^{x-2}-\frac{8}{5}y=3x−2−58​Vermenigvuldiging met de xxx-as met 5: g(x)=5⋅(3x−2−85)g(x)=5\cdot(3^{x-2}-\frac{8}{5})g(x)=5⋅(3x−2−58​)Haakjes uitwerken geeft: g(x)=5⋅3x−2−8g(x)=5\cdot 3^{x-2}-8g(x)=5⋅3x−2−8Antwoord: Eerst de vermenigvuldiging met de xxx-as met 5, vervolgens translatie (2,−8)(2,-8)(2,−8). Als de xxx heel klein is, bijvoorbeeld -1000, dan is de uitkomst van 5⋅3−1000−25\cdot 3^{-1000-2}5⋅3−1000−2 bijna 0. Daar trekken we vervolgens -8 van af. De yyy-waarde wordt dus bijna -8.  Dus als xxx heel klein wordt nadert de uitkomst naar -8. Dit geeft de horizontale asymptoot y=−8y=-8y=−8Voor het bereik bekijken we de grafiek in de GR.Het laagste punt dat de grafiek bereikt is een waarde net boven y=−8y=-8y=−8, dat is namelijk de horizontale asymptoot.Vervolgens gaat de grafiek oneindig omhoog. Bg=⟨−8,→⟩B_g=\langle -8, \rightarrow \rangleBg​=⟨−8,→⟩We gebruiken ⟨\langle⟨ omdat de grafiek de waarde -8 zelf niet bereikt.Antwoord: Bg=⟨−8,→⟩B_g=\langle -8, \rightarrow \rangleBg​=⟨−8,→⟩ en y=−8y=-8y=−8 is de horizontale asymptoot. We stellen een vergelijking op.5⋅3x−2−8=375\cdot 3^{x-2}-8=375⋅3x−2−8=37. Isoleer de macht.5⋅3x−2=455\cdot 3^{x-2}=455⋅3x−2=45 (beide kanten +8+8+8)3x−2=93^{x-2}=93x−2=9 (beide kanten delen door 555)3x−2=323^{x-2}=3^23x−2=32 (schrijf het rechterlid als macht van 333)x−2=2x-2=2x−2=2 (gebruik de regel: gA=gBg^A=g^BgA=gB geeft A=BA=BA=B)x=4x=4x=4 (beide kanten +2+2+2) Antwoord: x=4x=4x=4 Isoleer eerst de logaritme.2⋅3log⁡(x−5)=−42\cdot ^3\log(x-5)=-42⋅3log(x−5)=−4 (beide kanten −12-12−12)3log⁡(x−5)=−2^3\log(x-5)=-23log(x−5)=−2 (beide kanten delen door 222) Gebruik de regel glog⁡(x)=y^g\log(x)=yglog(x)=y geeft x=gyx=g^yx=gyx−5=3−2x-5=3^{-2}x−5=3−2x−5=132x-5=\frac{1}{3^2}x−5=321​x−5=19x-5=\frac{1}{9}x−5=91​x=19+5x=\frac{1}{9}+5x=91​+5x=519x=5\frac{1}{9}x=591​ Antwoord: x=519x=5\frac{1}{9}x=591​Gebruik de regel gx=yg^x=ygx=y geeft glog⁡(y)=x^g\log(y)=xglog(y)=x12x+9=(15)log⁡(7)\frac{1}{2}x+9=(\frac{1}{5})\log(7)21​x+9=(51​)log(7)12x=(15)log⁡(7)−9\frac{1}{2}x=(\frac{1}{5})\log(7)-921​x=(51​)log(7)−9 (beide kanten −9-9−9)x=2⋅(15)log⁡(7)−18x=2\cdot (\frac{1}{5})\log(7)-18x=2⋅(51​)log(7)−18 (beide kanten delen door 12\frac{1}{2}21​ of keer 222) Antwoord: x=2⋅(15)log⁡(7)−18x=2\cdot (\frac{1}{5})\log(7)-18x=2⋅(51​)log(7)−18 Vermenigvuldiging ten opzichte van de $x$-as met $-3$:$y=-3(-(x-2)^5+4)$Werk de haakjes uit.$y=3(x-2)^5-12$Translatie $(5,-8)$$y=3(x-5-2)^5-12-8$$y=3(x-7)^5-20$Noem de nieuwe functie $h$.$h(x)=3(x-7)^5-20$De formule is van de vorm $y=a(x-p)^n-q$, hierin is $(p,q)$ het punt van symmetrie als $n$ is oneven.Het punt van symmetrie is $(7,-20)$Antwoord: Het punt van symmetrie is $(7,-20)$ Los eerst de gelijkheid op.−23x−9+5=−7-2\sqrt{3x-9}+5=-7−23x−9​+5=−7 Isoleer de wortel.−23x−9=−12-2\sqrt{3x-9}=-12−23x−9​=−12 (beide kanten −5-5−5)3x−9=6\sqrt{3x-9}=63x−9​=6 (beide kanten delen door −2-2−2) Kwadrateer.3x−9=363x-9=363x−9=36 3x=453x=453x=45 (beide kanten +9+9+9)x=15x=15x=15 (beide kanten delen door 333) Om de ongelijkheid op te lossen hebben we het randpunt nodig. Een wortelfunctie heeft een randpunt doordat er onder de wortel geen negatief getal kan staan, los daarom op 3x−9≥03x-9\geq 03x−9≥03x−9≥03x-9\geq 03x−9≥03x≥93x\geq 93x≥9 (beide kanten +9+9+9)x≥3x\geq 3x≥3 (beide kanten delen door 333)f(3)=−23⋅3−9+5=5f(3)=-2\sqrt{3\cdot 3-9}+5=5f(3)=−23⋅3−9​+5=5Het randpunt is dus (3,5)(3,5)(3,5) Zet vervolgens zowel de functie f(x)=−23x−9+5f(x)=-2\sqrt{3x-9}+5f(x)=−23x−9​+5 als de lijn y=−7y=-7y=−7 in de GR en schets de grafiek op je toetsblaadje. Je krijgt een punt voor het schetsen van een grafiek bij het oplossen van een ongelijkheid, vergeet het dus niet! Vervolgens lossen we de ongelijkheid op, f(x)>−7f(x)> -7f(x)>−7, oftewel, wanneer ligt fff boven de lijn y=−7y=-7y=−7.Links van het punt x=15x=15x=15 ligt fff boven de lijn y=−7y=-7y=−7. fff gaat echter niet verder dan x=3x=3x=3, daar zit namelijk het randpunt.Tussen x=3x=3x=3 en x=15x=15x=15 ligt fff dus boven y=−7y=-7y=−7. Het punt x=15x=15x=15 zelf is geen oplossing dus we gebruiken <<<. Antwoord: 3≤x<153\leq x< 153≤x<15Bereken eerst wat fff is als x=30x=30x=30f(30)=−23⋅30−9+5f(30)=-2\sqrt{3\cdot 30-9}+5f(30)=−23⋅30−9​+5=−281+5=−13=-2\sqrt{81}+5=-13=−281​+5=−13In de grafiek in de GR zien we dat de yyy-waarden voor xxx-waarden kleiner dan 30 groter worden. Als de xxx-waarden kleiner worden dan 30 worden de yyy-waarden groter, totdat ze het randpunt bereiken: y=5y=5y=5Als x≤30x\leq 30x≤30 ligt fff dus tussen y=−13y=-13y=−13 en y=5y=5y=5. y=−13y=-13y=−13 is zelf ook een oplossing, want er ≤\leq≤ betekent kleiner of geljk aan, dus ook de oplossing als x=30x=30x=30 doet mee.Antwoord: −13≤f(x)≤5-13\leq f(x)\leq 5−13≤f(x)≤5Isoleer de wortel.y−5=−23x−9y-5=-2\sqrt{3x-9}y−5=−23x−9​ (beide kanten −5-5−5)−12y+52=3x−9-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}=\sqrt{3x-9}−21​y+25​=3x−9​ (beide kanten delen door −2-2−2) Kwadrateer.(−12y+52)2=3x−9(-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2})^2=3x-9(−21​y+25​)2=3x−9(−12y+52)2+9=3x(-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2})^2+9=3x(−21​y+25​)2+9=3x (beide kanten +9+9+9)13(−12y+52)2+3=x\frac{1}{3}(-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2})^2+3=x31​(−21​y+25​)2+3=x (beide kanten delen door 333) Antwoord: x=13(−12y+52)2+3x=\frac{1}{3}(-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2})^2+3x=31​(−21​y+25​)2+3 Stel de functies eerst aan elkaar gelijk en los de vergelijking op.g(x)=h(x)g(x)=h(x)g(x)=h(x) geeft:6⋅2−x+2=24⋅412x−36\cdot 2^{-x+2}=24\cdot 4^{\frac{1}{2}x-3}6⋅2−x+2=24⋅421​x−3Deel beide kanten door 666.2−x+2=4⋅412x−32^{-x+2}=4\cdot 4^{\frac{1}{2}x-3}2−x+2=4⋅421​x−3Schrijf het rechterlid als één macht.Gebruik hiervoor de regel ap⋅aq=ap+qa^p\cdot a^q=a^{p+q}ap⋅aq=ap+q2−x+2=41⋅412x−32^{-x+2}=4^1\cdot 4^{\frac{1}{2}x-3}2−x+2=41⋅421​x−32−x+2=41+12x−32^{-x+2}=4^{1+\frac{1}{2}x-3}2−x+2=41+21​x−32−x+2=412x−22^{-x+2}=4^{\frac{1}{2}x-2}2−x+2=421​x−2Schrijf het rechterlid als macht van 2. Haal hiervoor eerst 12\frac{1}{2}21​ buiten haakjes in de exponent. 2−x+2=412(x−4)2^{-x+2}=4^{\frac{1}{2}(x-4)}2−x+2=421​(x−4)Gebruik de regel (ap)q=ap⋅q(a^p)^q=a^{p\cdot q}(ap)q=ap⋅q2−x+2=(412)x−42^{-x+2}=(4^{\frac{1}{2}})^{x-4}2−x+2=(421​)x−42−x+2=(4)x−42^{-x+2}=(\sqrt{4})^{x-4}2−x+2=(4​)x−42−x+2=2x−42^{-x+2}=2^{x-4}2−x+2=2x−4Gebruik de regel: gA=gBg^A=g^BgA=gB geeft A=BA=BA=B−x+2=x−4-x+2=x-4−x+2=x−4 −2x=−6-2x=-6−2x=−6 (beide kanten −x-x−x en −2-2−2)x=3x=3x=3Zet de functies in de rekenmachine en maak een schets van de grafieken. Vervolgens kijken we wanneer ggg (blauw) kleiner is dan hhh (rood).Voor het snijpunt ligt ggg onder hhh. Dus x≤3x\leq 3x≤3Antwoord: x≤3x\leq 3x≤3 Los eerst op f(x)=2f(x)=2f(x)=2.8⋅5log⁡(13x+2)−6=28\cdot ^5\log(\frac{1}{3}x+2)-6=28⋅5log(31​x+2)−6=2Isoleer eerst de logaritme.8⋅5log⁡(13x+2)=88\cdot ^5\log(\frac{1}{3}x+2)=88⋅5log(31​x+2)=8 (tel aan beide kanten 666 op)5log⁡(13x+2)=1^5\log(\frac{1}{3}x+2)=15log(31​x+2)=1 (beide kanten delen door 888)Gebruik de regel glog⁡(x)=y^g\log(x)=yglog(x)=y geeft x=gyx=g^yx=gy13x+2=51\frac{1}{3}x+2=5^131​x+2=5113x+2=5\frac{1}{3}x+2=531​x+2=513x=3\frac{1}{3}x=331​x=3 (beide kanten −2-2−2)x=9x=9x=9 (beide kanten delen door 13\frac{1}{3}31​ of vermenigvuldigen met 333)Zet vervolgens fff en y=2y=2y=2 in je GR om de ongelijkheid op te kunnen lossen.Voor het oplossen van de ongelijkheid moeten we rekening houden met de verticale asymptoot van een logaritmische functie. Een logaritme heeft namelijk geen oplossing als tussen de haakjes een negatief getal of 0 staat. Er geldt dus in dit geval 13x+2>0\frac{1}{3}x+2>031​x+2>013x>−2\frac{1}{3}x>-231​x>−2x>−6x>-6x>−6Dus de grafiek heeft een verticale asymptoot bij x=−6x=-6x=−6, bij xxx-waarden van −6-6−6 en kleiner bestaat de functie niet.We moeten oplossen f(x)≤2f(x)\leq 2f(x)≤2, dus wanneer ligt de grafiek van fff onder de lijn y=2y=2y=2 of is hij gelijk aan de lijn.Dat is voor alle waarden links van het snijpunt tot de asymptoot. Het snijpunt zelf is ook een oplossing. Dus −6<x≤9-6<x\leq 9−6<x≤9Antwoord: −6<x≤9-6<x\leq 9−6<x≤9