Kern Wiskunde deel A + B - Hoofdstuk 6 - De stelling van Pythagoras oefentoetsen & antwoorden

In elke rechthoekige driehoek is $(ene \, rechthoekszijde)^2 + (andere \, rechthoekszijde)^2 = (schuine \, zijde)^2$.Je maakt een schets van de rechte driehoek waarin je de Stelling van Pythagoras gaat toepassen (bedenk hiervoor wat de rechthoekszijden en lange zijde zijn), noteert alle gegevens en geeft de hoekpunten van de driehoek een letter.De stelling is onjuist. Het tekenen van een hulplijn in de cirkel en het gebruik van de stelling van Pythagoras kan wel helpen bij het bepalen van de straal als je bijvoorbeeld met een rechthoekige driehoek werkt, maar het berekenen van de oppervlakte zelf vereist de formule $A = \pi \cdot r^2$, niet de stelling van Pythagoras.De doorsnede van een voorwerp is de vlakke figuur die je krijgt als je het voorwerp doorsnijdt. Als de doorsnede daarbij twee ribben verbindt en geen grensvlak is heet het dit vlakke figuur een diagonaalvlak. $AG$ is de lichaamsdiagonaal. $AH$ is de diagonaal van zijvlak $ADHE$. Zijde $KM$ is de langste zijde van de driehoek.OF: Zijde $KM$ is de enige zijde die tegenover de rechte hoek van $\triangle KLM$ ligt… en dus niet 1 van de benen van de rechte hoek is. $EF$ is een ribbe van de kubus$ED$ is een diagonaal van zijvlak $ADHE$ van de kubus$DF$ is een lichaamsdiagonaal van de kubus $CDEF$ is een diagonaalvlak van de kubus: Aanpak: gebruik de stelling van Pythagoras en controleer of het klopt.Tabel:$rhz^2 = AC^2$$4,2^2 = 17,64$$rhz^2 = BC^2$$5,8^2 =33,64$ +? $sz^2= AB^2$$51,28$$sz= \sqrt{51,28} = 7,16$Dit is geen rechthoekige driehoek. De schuine zijde moet 7,2 cm lang zijn en in dit plaatje is hij 6,9 cm lang. Maak een assenstelsel en teken de punten. Teken vervolgens langs de roosterlijnen een rechthoekige driehoek waarvan het lijnstuk tussen de punten $A$ en $B$ de schuine zijde is; noem de rechte hoek bijvoorbeeld $\angle P$:Nu kun je met de stelling van Pythagoras in $\triangle BPA$ de lengte van zijde $AB$ berekenen en daarmee de afstand tussen de punten $A$ en $B$.Dat geeft:$a^2+ b^2 = c^2$$AP^2 + BP^2 = AB^2$$8^2 + 6^2 = AB^2$$64 + 36 = AB^2$$AB ^2 = 100$$AB = \sqrt{100} = 10$Dus de afstand tussen $A$ en $B$ is gelijk aan $10$.(Je kunt trouwens ook een andere rechthoekige driehoek tekenen:Dan kun je met de stelling van Pythagoras in $\triangle APB$ de lengte van zijde $AB$ berekenen en daarmee de afstand tussen de punten $A$ en $B$.) Er zijn vier rechthoekige driehoeken waarvan $ST$ een zijde is, namelijk $\triangle AST$, $\triangle BST$, $\triangle CST$ en $\triangle DST$.Deze vier driehoeken bestaan allemaal uit:een opstaande ribbe van de piramidede helft van een diagonaal van het grondvlak: $AS$, $BS$, $CS of $DS$piramide hoogte $ST$Helaas zijn twee van de drie zijden in deze driehoeken onbekend: $ST$ zelf en de helft van de diagonaal van het grondvlakJe zult dus eerst de lengte van de diagonaal van het grondvlak moeten berekenen, met de stelling van Pythagoras in één van de vier rechthoekige driehoeken $ABC$ of $BCD$ of $ACD$ of $ABD$.Vervolgens bereken je de helft van de diagonaal.En dan kun je de stelling van Pythagoras toepassen in $\triangle AST$, $\triangle BST$, $\triangle CST$ of $\triangle DST$ om de hoogte $ST$ te berekenen.  Gebruik eerst $\triangle ABC$ om zijde $AC$ uit te rekenen.We weten $AB =2, BC = 6$. Gebruik de stelling van Pythagoras: $a^2 + b^2 = c^2$ geeft $AB^2 + BC^2 = AC^2$, dus:$2^2 + 6^2 = AC^2$$AC^2 = 4 + 136 = 40$$AC = \sqrt{40}$.Nu kijken we in de schets van opgave a en gebruiken de stelling van Pythagoras in driehoek $ACG$.$a^2 + b^2 = c^2$ geeft $AC^2 + CG^2 = AG^2$, dus:$(\sqrt{40})^2+ 4^2 = AC^2$$AC^2 = 40 + 16 = 56$$AC = \sqrt{56} \approx 7,48$. Tip: start bij de rechte hoeken en bedenk dat $\angle D$ en $\angle E$ beide gestrekte hoeken zijn en dat zij dus ieder uit 2 rechte hoeken bestaan.In deze figuur zijn meerdere rechte hoeken te vinden en daarmee ook rechthoekige driehoeken:$\triangle BCD$, met als stelling van Pythagoras $BD^2 + CD^2= BC^2$$\triangle ADC$, met als stelling van Pythagoras $AD^2 + DC^2= AC^2$$\triangle ADE$, met als stelling van Pythagoras $AE^2 + DE^2= AD^2$$\triangle CED$, met als stelling van Pythagoras $CE^2 + DE^2= CD^2$. $AB$ is de schuine zijde omdat dit de zijde is die tegenover de rechte hoek van $\triangle ABC$ ligt, dus de stelling van Pythagoras is hier:$AC^2 + BC^2= AB^2$$(6+6)^2 + 12^2 = AB^2$$144 + 144 = AB^2$$288 = AB^2$$AB = \sqrt{288} = 16,97$.Gebruik dat $\triangle ABC$ een gelijkbenige driehoek is. Daarom wordt deze door zijn hoogtelijn $CD$ in twee volledig gelijke driehoeken opgedeeld.$DE$ is een korte zijde in $\triangle ADE$$AD$ is hierin de schuine zijde, met als lengte: $AD = 0,5 \cdot AB = 0,5 \cdot \sqrt{288}$ (vanwege de hoogtelijn. Gebruik de wortel en niet de benadering als je doorrekent, zoals nu)Stelling van Pythagoras in $\triangle ADE$ is:$AE^2 + DE^2= AD^2$$6^2 + DE^2 = (0,5 \cdot \sqrt{288})^2$$36 + DE^2 = 0,5^2 \cdot 288$ (het kwadraat van een wortel is gelijk het getal onder het wortelteken)$36 + DE^2 = 72$$DE^2 = 72 - 36$$DE^2 = 36$$DE = \sqrt{36} = 6$ Maak een eigen schets met alleen de vorm en de maten van het naamplaatje, zet letters bij de hoekpunten, zoek de rechthoekige driehoeken en laat ze duidelijk zien met behulp van een hulplijn:Gevraagd wordt dus naar de lengte van lijnstuk $EQ$. Je ziet dat we in ieder geval de lengte van lijnstuk $DE$ (onderdeel van $EQ$) kunnen berekenen met de stelling van Pythagoras. $DE$ is een korte zijde in $\triangle CDE$:$CD^2 + DE^2 = CE^2$$3^2 + DE^2 =  3,16^2$$9 + DE^2 = 9,9856$$DE^2 = 9,9856 - 9 = 0,9856$$DE = \sqrt{0,9856} = 0,99…$ cm.Aan de linkerkant van het naamplaatje weten we dat lijnstuk $AP$ 9 cm lang is. Als we $AB$ berekenen, kunnen we daarmee ook $BP$ berekenen. Bedenk: deze is even lang als $DQ$ en daarmee kunnen we $EQ$ berekenen.$AB$ is een korte zijde in $\triangle ABC$:$AB^2 + BC^2 = AC^2$$AB^2 + 10^2 =  12,21^2$$AB^2 + 100 = 149,0841$$AB^2 = 149,0841 - 100 = 49,0841$$AB = \sqrt{49,0841} = 7,006…$ cm.$BP$ kunnen we nu berekenen:$BP = 9 - AB = 9 - 7,006… = 1,993...$ cm.En omdat $DQ = BP = 1,993…$ kunnen we nu ook $EQ$ berekenen:$EQ = DE + DQ = 0,99… + 1,993… = 2,986…$ cm.Afgerond op één decimaal: $EQ = 3,0$ cm.De ontbrekende lengte van het naambordje is $3,0$ cm lang. We kunnen zijde AGAGAG berekenen in vlak ACGEACGEACGE. CGCGCG is bekend maar lengte ACACAC moeten we eerst nog berekenen.Voor zijde AC gebruiken we het grondvlak (zie figuur hieronder).We weten AB =8, BC = 14. Gebruik de stelling van Pythagoras: a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2a2+b2=c2 geeft AB2+BC2=AC2AB^2 + BC^2 = AC^2AB2+BC2=AC2, dus:82+142=AC28^2 + 14^2 = AC^282+142=AC2AC2=64+196=260AC^2 = 64 + 196 = 260AC2=64+196=260AC=260AC = \sqrt{260}AC=260​.Nu kijken we vervolgens in △ACG\triangle ACG△ACG om lengte AGAGAG te vinden. We weten AC=260,CG=20AC = \sqrt{260}, CG = 20AC=260​,CG=20. Gebruik de stelling van Pythagoras: a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2a2+b2=c2 geeft AC2+CG2=AG2AC^2 + CG^2 = AG^2AC2+CG2=AG2, dus:(260)2+202=AG2(\sqrt{260})^2 + 20^2 = AG^2(260​)2+202=AG2AG2=260+400=660AG^2 = 260 + 400 = 660AG2=260+400=660AC=660≈25,7AC = \sqrt{660} \approx 25,7AC=660​≈25,7.De figuur wordt in tweeën gedeeld:Eerst moeten we de lengte van zijde AIAIAI vinden om in vlak AIQEAIQEAIQE de lengte van EIEIEI te kunnen berekenen.Kijk in het vlak ABIJABIJABIJ. Gebruik Pythagoras in driehoek ABIABIABI om zijde AIAIAI te berekenen:a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2a2+b2=c2 geeft AB2+BI2=AI2AB^2 + BI^2 = AI^2AB2+BI2=AI2, dus:82+72=AG28^2+ 7^2 = AG^282+72=AG2AG2=64+49=113AG^2 = 64 + 49 = 113 AG2=64+49=113AC=113AC = \sqrt{113}AC=113​Nu kunnen we in △AIE\triangle AIE△AIE de lengte van EIEIEI berekenen, opnieuw met Pythagoras:a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2a2+b2=c2 geeft AI2+AE2=EI2AI^2 + AE^2 = EI^2AI2+AE2=EI2, dus:(113)2+202=EI2(\sqrt{113})^2 + 20^2 = EI^2(113​)2+202=EI2EI2=113+400=513EI^2 = 113 + 400 = 513EI2=113+400=513AC=513≈22,6AC = \sqrt{513} \approx 22,6AC=513​≈22,6.