Kern Wiskunde A deel 2 - Hoofdstuk 6 - Verdelingen oefentoetsen & antwoorden

Deze bewering is juist, want de top van kromme I ligt verder naar rechts.Deze bewering is onjuist. Kromme II is breder dan kromme I, dus kromme II heeft een grotere standaardafwijking. a) De top ligt bij 200, dit is de modus.Minder dan 50% van de oppervlakte ligt voor de modus, dus de mediaan ligt rechts van de modus.Het is een rechts-scheve verdeling, dus het gemiddelde ligt rechts van de mediaan.Van klein naar groot: modus-mediaan-gemiddeldeb) Voor het schetsen van een boxplot is het handig om eerst een relatieve cumulatieve verdelingskromme te schetsen.Voor het schetsen van de relatieve cumulatieve verdelingskromme, moet je op een aantal dingen letten. De gegeven verdelingskromme gaat van 0 naar 1000, dus de te schetsen relatieve cumulatieve verdelingskromme gaat van 0% bij 0 naar 100% bij 1000. Daarnaast zien we dat de modus ongeveer 200 is (de top van de gegeven verdelingskromme), dit betekent dat het steilste stuk van de verdelingskromme bij 200 ligt. De gegeven verdeling is een rechts-scheve verdeling, dus de mediaan ligt ongeveer bij 300, want daar kun je de oppervlakte onder de grafiek verdelen in ongeveer twee gelijke stukken. Voor de cumulatieve kromme betekent dit dat 50% bij ongeveer 300 ligt. Als laatste laten we de cumulatieve kromme op het einde iets minder steil lopen. De gegeven kromme is rechts-scheef, wat betekent dat op het einde weinig waarnemingsgetallen zijn. We kunnen nu de relatieve cumulatieve verdelingskromme gebruiken om een boxplot te schetsen. a) We beginnen met het maken van een schets. We gebruiken daarbij de vuistregels van de normale verdeling.We zien dat 13,5% + 2,5% = 16% van de vrouwen langer is dan 181 cm.b) Eerst maar weer een schets.We zien dat 13,5% + 34% = 47,5% van de vrouwen langer is tussen 151 en 171 cm.Dat zijn $\frac{5000}{100}\cdot 47,5=2375$ vrouwen.c) $\frac{125}{5000}\cdot 100\%=2,5\%$ De vrouwen zijn kleiner dan 151 cm. a) We gebruiken de grafische rekenmachine:Voer in: lijst 1 $=\left\{ 0,1,2,...,10,11,12 \right\}$ en lijst 2 $=\left\{ 2,5,4,...,7,9,10 \right\}$Optie 1-var-stats geeft:$\bar{X}=7,44...$ en $\sigma =3,78...$.Het gemiddelde is 7,4 en de standaardafwijking is 3,8b) Meer dan gemiddeld is 8 keer of vaker.Dit zijn 36 leerlingen.$\frac{36}{65}\cdot 100\%=55,384...$55,4% van de leerlingen is vaker over hun datalimiet gegaan dan gemiddeld. We gebruiken de grafische rekenmachine:Voer in: lijst 1 $=\left\{ 803,805,809,809...,847,854 \right\}$Optie 1-var-stats geeft:${{\sigma }_{X}}=12,66...$, en $\bar{X}=828,16...$$\bar{X}+{{\sigma }_{X}}\approx 840,8$5 flessen hebben een inhoud dat meer dan een standaardafwijking afwijkt van de gemiddelde inhoud.Dit is $\frac{5}{30}\cdot 100\%\approx 16,7\%$ a) ${{\mu }_{{\bar{X}}}}=\mu =100$ ${{\sigma }_{{\bar{X}}}}=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}=\frac{4,5}{\sqrt{25}}=0,9$b) We gaan vuistregel 2 in combinatie met de symmetrie van de normaalkromme gebruiken.Bij 2,5% van de steekproeven van omvang 25 krijg je een steekproefgemiddelde kleiner dan $100-2\cdot 0,9=98,2$Nu is $98 a) Het gaat het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de proportie, dus maken we gebruik van de formule $\left[ \hat{p}-2\sqrt{\frac{\hat{p}\left( 1-\hat{p} \right)}{n}};\ \hat{p}+2\sqrt{\frac{\hat{p}\left( 1-\hat{p} \right)}{n}} \right]$.$\hat{p}=\frac{165}{1500}=0,11$en $n=1500$.Invullen geeft  $\left[ 0,11-2\sqrt{\frac{0,11\left( 1-0,11 \right)}{1500}};\ 0,11+2\sqrt{\frac{0,11\left( 1-0,11 \right)}{1500}} \right]$Dit geeft het 95%-betrouwbaarheidsinterval  $\left[ 0,094;\ 0,126 \right]$.b)  $\hat{p}=\frac{682}{6200}=0,11$en $n=6200$.Invullen geeft  $\left[ 0,11-2\sqrt{\frac{0,11\left( 1-0,11 \right)}{6200}};\ 0,11+2\sqrt{\frac{0,11\left( 1-0,11 \right)}{6200}} \right]$Dit geeft het 95%-betrouwbaarheidsinterval  $\left[ 0,102;\ 0,118 \right]$.c)  Bij $n=6200$hoort een kleiner interval dan bij $n=1500$.Een grotere steekproef geeft een betrouwbaarder resultaat.d)  Een groter onderzoek kost over het algemeen meer tijd en geld. a) Voor de suikerbieten van boer Koekoek geldt:$n=100$, $\bar{X}=1006$ en $S=22,4$Voor de suikerbieten van boer Harms geldt:$n=100$, $\bar{X}=998$ en $S=22,4$We gaan nu de 95%-betrouwbaarheidsintervallen vergelijken.We gebruiken de formule $\left[ \overline{X}-2\cdot \frac{S}{\sqrt{n}};\overline{X}+2\cdot \frac{S}{\sqrt{n}} \right]$.Koekoek:$\overline{X}-2\cdot \frac{S}{\sqrt{n}}=1006-2\cdot \frac{22,4}{\sqrt{100}}=1001,52$$\overline{X}+2\cdot \frac{S}{\sqrt{n}}=1006+2\cdot \frac{22,4}{\sqrt{100}}=1010,48$Het 95%-betrouwbaarheidsinterval is  $\left[ 1001,52;\ 1010,48 \right]$.Harms:$\overline{X}-2\cdot \frac{S}{\sqrt{n}}=998-2\cdot \frac{22,4}{\sqrt{100}}=993,52$$\overline{X}+2\cdot \frac{S}{\sqrt{n}}=998+2\cdot \frac{22,4}{\sqrt{100}}=1002,48$Het 95%-betrouwbaarheidsinterval is  $\left[ 993,52;\ 1002,48 \right]$.   De beide betrouwbaarheidsintervallen overlappen elkaar. Op basis van deze gegevens kan boer Koekoek dus niet met zekerheid zeggen dat zijn suikerbieten de grootste zijn.b)  De breedte van het betrouwbaarheidsinterval is $1008,24-1003,76=4,48$De breedte van het betrouwbaarheidsinterval is ook $4 \sigma $.$\sigma =\frac{S}{\sqrt{n}}$ met $S=22,4$Dit alles geeft $4\cdot \frac{22,4}{\sqrt{n}}=4,48$We gebruiken de GR om deze vergelijking op te lossen.Invoer: ${{Y}_{1}}=4\cdot \frac{22,4}{\sqrt{X}}$ en ${{Y}_{2}}=4,48$Optie: Calc $\to $ intersect geeft $X=400$Boer Koekoek heeft 400 suikerbieten gewogen.