Getal en Ruimte wisA/C 12e ed deel 2 - Hoofdstuk K - Lineair programmeren oefentoetsen & antwoorden

Als de isolijnen van een doelfunctie evenwijdig zijn met één van de randen van het toegestane gebied is er meer dan één oplossing. $W=x+10y$ is niet evenwijdig met één van de randen.$W=16x+6y$ is evenwijdig met $8x+3y=25$, de getallen voor $x$ en $y$ zijn met 2 vermenigvuldigd. $W=4x+6y$ is niet evenwijdig met één van de randen.$W=6x+15y$ is evenwijdig met $2x+5y=18$, de getallen voor $x$ en $y$ zijn met 3 vermenigvuldigd.Antwoord: B en D We willen een variabele elimineren, dat kunnen we doen door de vergelijkingen op te tellen of af te trekken. Als we dat in dit geval doen elimineren we alsnog geen variabele, we kunnen de eerste vergelijking vermenigvuldigen met 2 en de tweede met 3, dan valt na optellen wel een variabele weg.$\begin{cases} 7x-3y=8 \\ 3x+2y=10 \end{cases}$23Geeft $\begin{cases} 14x-6y=16 \\ 9x+6y=30 \end{cases}$Vervolgens tellen we de vergelijkingen op.$\begin{cases} 14x-6y=16 \\ 9x+6y=30 \end{cases}$ +$23x=46$$x=2$ (beide kanten delen door 23)Vul vervolgens $x=2$ in één van de twee vergelijkingen in om $y$ te berekenen.$7\cdot 2-3y=8$$14-3y=8$$-3y=-6$ (beide kanten $-14$)$y=2$ (beide kanten delen door $-3$)Dus $x=2$ en $y=2$, de oplossing is $(2,2)$Antwoord: $(2,2)$ Teken eerst de horizontale en verticale lijnen. We moeten het gebied hebben waarvoor geldt $x\geq -4$. Oftewel $x$ moet altijd groter zijn of gelijk zijn aan -4, groter dan -4 is rechts van de lijn en gelijk aan is de lijn zelf. Kleur de lijn zelf dus ook.Teken de niet verticale en horizontale lijnen. Dit doen we als volgt:Maak van de ongelijkheid een gelijkheid, dus vervang het ongelijkheidsteken voor $=$.$5x+2y=-3$Om een lijn te tekenen hebben we twee punten op de lijn nodig, maak hiervoor een tabel.$x$$y$Vul twee punten in die geen breuken opleveren. Probeer altijd $x=0$ en $y=0$$5\cdot 0+2y=-3$$2y=-3$$y=-\frac{3}{2}$$x=0$ levert dus een breuk op, zo ook $y=0$, we moeten dus andere punten zoeken. Probeer $x=1$$5\cdot 1+2y=-3$$5+2y=-3$$2y=-8$ (beide kanten -5)$y=-4$ (beide kanten delen door 2)$x=1$ levert dus $y=-4$ op, dit is geen breuk dus we vullen het punt in in de tabel. $x$1$y$-4Probeer $y=1$$5x+2\cdot 1=-3$$5x+2=-3$$5x=-5$ (beide kanten -2)$x=-1$ (beide kanten delen door 5)$y=1$ levert dus $x=-1$ op, dit is geen breuk dus we vullen dit punt in in de tabel.$x$1-1$y$-41Teken de coördinaten in het assenstelsel en teken een lijn door deze punten.Teken het vlak dat hoort bij de ongelijkheid. We moesten niet de lijn $5x+2y=-3$ tekenen, maar de ongelijkheid $5x+2y\leq -3$Om te bepalen welke kant van de lijn we moeten kleuren vullen we een punt dat niet op de lijn ligt in de ongelijkheid in. Het punt $(0,0)$ is altijd makkelijk (maar kan niet als deze op de lijn zelf ligt!)$5\cdot 0+2\cdot 0\leq -3$$0\leq -3$0 is niet kleiner dan -3. dus de ongelijkheid klopt niet als we $(0,0)$ invullen. We moeten dus het vlak kleuren waar $(0,0)$ NIET in ligt. De lijn zelf doet mee, dus kleur deze ook.Teken op dezelfde manier de andere ongelijkheid. Maak van de ongelijkheid een gelijkheid, dus vervang het ongelijkheidsteken voor $=$.$2x-3y=3$Om een lijn te tekenen hebben we twee punten op de lijn nodig, maak hiervoor een tabel.$x$$y$Vul twee punten in die geen breuken opleveren. Probeer altijd $x=0$ en $y=0$$x=0$ geeft$2\cdot 0-3y=3$$-3y=3$$y=-1$$x=0$ levert dus $y=-1$ op, vul dit in in de tabel. $x$0$y$-1$y=0$ geeft $2x-3\cdot 0=3$$2x=3$$x=\frac{3}{2}$, dit is een breuk, dit punt kunnen we dus niet gebruiken.Probeer $x=1$$2\cdot 1-3y=3$$2-3y=3$Dit levert een breuk op.Probeer $y=1$$2x-3\cdot 1=3$$2x-3=3$$2x=6$ (beide kanten +3)$x=3$ (beide kanten delen door 2)$y=1$ levert dus $x=3$ op, dit is geen breuk dus we vullen dit punt in in de tabel.$x$03$y$-11Teken de punten en bijbehorende lijn in het assenstelsel.Teken het vlak dat hoort bij de ongelijkheid. We moesten niet de lijn $2x-3y=3$ tekenen, maar de ongelijkheid $2x+3y<3$Om te bepalen welke kant van de lijn we moeten kleuren vullen we een punt dat niet op de lijn ligt in in de ongelijkheid. Het punt $(0,0)$ is altijd makkelijk (maar kan niet als deze op de lijn zelf ligt!)$2\cdot 0-3\cdot 0< 3$$0<3$0 is kleiner dan -3. dus de ongelijkheid klopt als we $(0,0)$ invullen. We moeten dus het vlak kleuren waar $(0,0)$ in ligt. De lijn zelf doet niet mee want er staat geen is gelijk tekentje bij!Kleur het vlak dat binnen alle gekleurde delen valt.Antwoord:  De totale kosten zijn 28200, dus de kosten van een type A tafel vermenigvuldigd met het aantal verkochte tafels plus de kosten van een type B tafel vermenigvuldigd met het aantal verkochte type B tafels moet 28200 opleveren. Dit geeft $800x+700y=28200$Deze vergelijking kunnen we nog delen door 100 geeft $8x+7y=282$Voor de totale opbrengsten doen we hetzelfde, nu gebruiken we de opbrengst per tafel.$950x+875y=34450$Deze vergelijking kunnen we delen door 25: $38x+35y=1378$Antwoord: $8x+7y=282$ en $38x+35y=1378$Het stelsel van vergelijkingen dat we moeten oplossen is:$\begin{cases} 8x+7y=282 \\ 38x+35y=1378 \end{cases}$We willen een variabele elimineren, dat kunnen we doen door de vergelijkingen op te tellen of af te trekken. Als we dat in dit geval doen, elimineren we alsnog geen variabele.Als we de bovenste vergelijking vermenigvuldigen met 5 kunnen we de variabele $y$ elimineren. In beide vergelijkingen staat dan $35y$, dan valt na aftrekken wel een variabele weg, namelijk $y$.$\begin{cases} 8x+7y=282 \\ 38x+35y=1378 \end{cases}$51Geeft $\begin{cases} 40x+35y=1410 \\ 38x+35y=1378 \end{cases}$Als jij een andere vermenigvuldiging hebt gemaakt om daarna te kunnen elimineren, is dat ook goed.Vervolgens trekken we de vergelijkingen van elkaar af.$\begin{cases} 40x+35y=1410 \\ 38x+35y=1378 \end{cases}$ -$2x=32$$x=16$ (beide kanten delen door 2)Vul vervolgens $x=16$ in één van de twee vergelijkingen in om $y$ te berekenen.$8\cdot 16+7y=282$$128+7y=282$$7y=154$ (beide kanten $-128$)$y=22$ (beide kanten delen door $7$)Dus $x=16$ en $y=22$, de oplossing is $(16,22)$$x$ waren de tafels van type A en $y$ waren de tafels van type B.Antwoord: 16 tafels verkocht van type A en 22 tafels van type B.  Noem het aantal standaardwoningen $x$ en het aantal luxewoningen $y$.Zin voor zin stellen we de vergelijkingen op. ‘Hij heeft 25000 vierkante meter grond tot zijn beschikking. Hij wil standaardwoningen met een kaveloppervlakte van 80 vierkante meter bouwen en luxewoningen met een kaveloppervlakte van 100 vierkante meter.’Dus de oppervlakte van een standaardwoning vermenigvuldigd met het aantal standaardwoningen plus de oppervlakte van een luxewoning vermenigvuldigd met het aantal luxewoningen moet minder of gelijk aan 25000 zijn.$80x+100y\leq 25000$Deel de ongelijkheid nog door 20.$4x+5y\leq 1250$‘Hij wil minstens 5000 vierkante meter van zijn vakantiepark gebruiken voor luxe woningen.’Dus de oppervlakte van een luxe woning vermenigvuldigd met het aantal luxe woningen moet groter zijn dan 5000.$100y\geq 5000$Deel de ongelijkheid nog door 100.$y\geq 50$‘Daarnaast wil hij maximaal 200 standaardwoningen bouwen.’Dus het aantal standaardwoningen moet kleiner of gelijk zijn aan 200. $x\leq 200$‘Tot slot wil hij minstens twee keer zoveel standaardwoningen bouwen als luxewoningen.’Dus het aantal standaardwoningen moet groter of gelijk zijn aan twee keer het aantal luxewoningen.$x\geq 2y$Antwoord: $4x+5y\leq 1250$, $y\geq 50$, $x\leq 200$, $x\geq 2y$Teken een assenstelsel met zowel de $x$-as als de $y$-as van 0 tot 300. We kunnen geen negatief aantal huisjes bouwen, daarom tekenen we geen negatieve $x$-as en $y$-as.Teken eerst de horizontale en verticale lijnen. We moeten het gebied hebben waarvoor geldt $x\leq 200$. Oftewel $x$ moet altijd kleiner zijn of gelijk zijn aan 200, kleiner dan 200 is links van de lijn en gelijk aan is de lijn zelf. Kleur de lijn zelf dus ook.$y\geq 50$, dus we arceren het gedeelte boven de lijn $y=50$Teken de niet verticale en horizontale lijnen. Dit doen we als volgt:Maak van de ongelijkheid een gelijkheid, dus vervang het ongelijkheidsteken voor =.$4x+5y=1250$Om een lijn te tekenen hebben we twee punten op de lijn nodig, maak hiervoor een tabel.$x$$y$Vul twee punten in die geen breuken opleveren. Probeer altijd $x=0$ en $y=0$$x=0$$5\cdot 0+5y=1250$$5y=1250$$y=250$$x$0$y$250$y=0$$4x+5\cdot 0=1250$$4x=1250$$x=312,5$Dit is geen geheel getal dus dit punt kunnen we niet gebruiken.Probeer $y=50$, we kiezen 50 omdat we stapgrootte 50 hebben genomen in het assenstelsel.$4x+5\cdot 50=1250$$4x+250=1250$$4x=1000$ (beide kanten $-250$)$x=250$ (beide kanten delen door 4)$x=250$ levert dus $y=50$ op, dit is geen breuk dus we vullen het punt in in de tabel. $x$0250$y$25050Teken de coördinaten in het assenstelsel en trek een lijn door de punten.Teken het vlak dat hoort bij de ongelijkheid. We moesten niet de lijn $4x+5y=1250$ tekenen, maar de ongelijkheid $4x+5y\leq 1250$Om te bepalen welke kant van de lijn we moeten kleuren vullen we een punt dat niet op de lijn ligt in in de ongelijkheid. Het punt $(0,0)$ is altijd makkelijk (maar kan niet als deze op de lijn zelf ligt!)$4\cdot 0+5\cdot 0\leq 1250$$0\leq 1250$0 is kleiner dan 1250. Dus de ongelijkheid klopt als we $(0,0)$ invullen. We moeten dus het vlak kleuren waar $(0,0)$ in ligt. De lijn zelf doet mee, dus kleur deze ook.Teken op dezelfde manier de andere ongelijkheid. Maak van de ongelijkheid een gelijkheid, dus vervang het ongelijkheidsteken voor =.$x=2y$Om een lijn te tekenen hebben we twee punten op de lijn nodig, maak hiervoor een tabel.$x$$y$Vul twee punten in die geen breuken opleveren. Probeer altijd $x=0$ en $y=0$$x=0$ geeft$0=2y$$y=0$$x=0$ levert dus $y=0$ op, vul dit in in de tabel. $x$0$y$0$x=100$ geeft $100=2y$$y=50$$x=100$ levert dus $y=50$ op, dit is geen breuk dus we vullen dit punt in in de tabel.$x$0100$y$050Teken de punten in het assenstelsel en trek er een lijn doorheen.Teken het vlak dat hoort bij de ongelijkheid. We moesten niet de lijn $x=2y$ tekenen, maar de ongelijkheid $x\geq 2y$Om te bepalen welke kant van de lijn we moeten kleuren vullen we een punt dat niet op de lijn ligt in in de ongelijkheid. Het punt $(0,0)$ is altijd makkelijk (maar kan niet als deze op de lijn zelf ligt!)We vullen $(0,50)$ in. $0\geq 2\cdot 50$$0\geq 100$0 is kleiner dan 100. dus de ongelijkheid klopt niet als we $(0,50)$ invullen. We moeten dus het vlak kleuren waar $(0, 50)$ NIET in ligt. Kleur het vlak dat binnen alle gekleurde delen valt.Antwoord: 12000 vierkante meter aan standaardwoningen, elke woning heeft een kaveloppervlakte van 80 vierkante meter, hij bouwt dan dus $12000:80=150$ standaardwoningen.Teken een verticale lijn bij $x=150$, $x$ gaat namelijk over het aantal standaardwoningen.Het maximum aantal luxewoningen dat de ondernemer kan bouwen is het snijpunt van de gele lijn met de bovengrens van het toegestane gebied. Dit is dus het snijpunt van de lijn $x=150$ en $x=2y$. Vul $x=150$ in de formule in. $150=2y$, beide kanten delen door 2 geeft $y=75$Dus de ondernemer kan dan maximaal 75 luxewoningen bouwen.Antwoord: maximaal 75 luxewoningen ‘Een vervoerder transporteert vanuit een containerterminal in Duitsland wekelijks minstens 1000 TEU naar Rotterdam.’Het vervoer kan bestaan uit een goederentrein, deze vervoert 80 TEU en een binnenvaartschip 50 TEU. Dus het vervoer van deze twee samen moet groter zijn dan 1000 TEU.Dus $80x+50y\geq 1000$Als we deze vergelijking delen door 10 krijgen we $8x+5y\geq 100$‘De vervoerder kan op maandag maximaal 3 goederentreinen laten rijden. Op dinsdag tot en met vrijdag heeft hij de beschikking over maximaal 2 goederentreinen per dag.’In een week heeft hij dus maximaal $3+2+2+2+2=11$ goederentreinen tot zijn beschikking, oftewel $x\leq 11$Antwoord: met bovenstaande redenering heb je dit laten zien.Teken een assenstelsel met de horizontale as van 0 tot en met 14 en de verticale as van 0 tot en met 20. Noem de horizontale as $x$ en de verticale as $y$.Teken eerst de horizontale en verticale lijnen. We moeten het gebied hebben waarvoor geldt $x\leq 11$. Oftewel $x$ moet altijd kleiner zijn of gelijk zijn aan 11, kleiner dan 11 is links van de lijn en gelijk aan is de lijn zelf. Kleur de lijn zelf dus ook.$y\leq 15$, dus we arceren het gedeelte onder de lijn $y=15$Teken de niet verticale en horizontale lijnen. Dit doen we als volgt.Maak van de ongelijkheid een gelijkheid, dus vervang het ongelijkheidsteken voor =.$8x+5y=100$Om een lijn te tekenen hebben we twee punten op de lijn nodig, maak hiervoor een tabel.$x$$y$Vul twee punten in die geen breuken opleveren. Probeer altijd $x=0$ en $y=0$$x=0$$8\cdot 0+5y=100$$5y=100$$y=20$$x$0$y$200$y=0$$8x+5\cdot 0=100$$8x=100$$x=12,5$Dit is geen geheel getal dus dit punt kunnen we niet gebruiken.Probeer $x=10$$8\cdot 10+5y=100$$80+5y=100$$5y=20$ (beide kanten $-80$)$y=4$ (beide kanten delen door 5)$x=10$ levert dus $y=4$ op, dit is geen breuk dus we vullen het punt in in de tabel. $x$010$y$204Teken de coördinaten in het assenstelsel en trek een lijn door de punten.Teken het vlak dat hoort bij de ongelijkheid. We moesten niet de lijn $8x+5y=100$ tekenen, maar de ongelijkheid $8x+5y\geq 100$Om te bepalen welke kant van de lijn we moeten kleuren vullen we een punt dat niet op de lijn ligt in in de ongelijkheid. Het punt $(0,0)$ is altijd makkelijk (maar kan niet als deze op de lijn zelf ligt!)$8\cdot 0+5\cdot 0\geq 100$$0\leq 100$0 is niet groter dan 100. dus de ongelijkheid klopt NIET als we $(0,0)$ invullen. We moeten dus het vlak kleuren waar $(0,0)$ NIET in ligt. De lijn zelf doet mee, dus kleur deze ook.Kleur het vlak dat binnen alle gekleurde delen valt.Antwoord: Het transport van 80 TEU met een goederentrein kost 7000 euro. Het transportvan 50 TEU met een binnenvaartschip kost 3500 euro. Dus de totale kosten van de goederentreinen en binnenvaartschepen samen zijn $K=7000x+3500y$De doelfunctie is dus $K=7000x+3500y$De vervoerder streeft naar zo laag mogelijke transportkosten, we moeten de doelfunctie dus minimaliseren.We nemen als eerste isolijn de lijn door $(4,0)$$K=7000\cdot 4+3500\cdot 0=28000$, dus de formule die hoort bij de isolijn door $(4,0)$ is $7000x+3500y=28000$. Om een lijn te tekenen hebben we twee punten nodig, als $x=0$ geeft deze lijn $7000\cdot 0+3500y=28000$$3500y=28000$ geeft na het delen door 3500 $y=8$Teken de lijn door $(4,0)$ en $(0,8)$De lijn valt niet binnen het toegestane gebied, we moeten dus een evenwijdige lijn, meer naar rechts tekenen, totdat hij in het toegestane gebied valt. De lijn moet echter niet teveel naar rechts want we willen natuurlijk de kosten zo laag mogelijk houden.Bij $x=10$ gaat de lijn nog niet door het toegestane gebied, bij $x=11$ wel. We nemen dus $x=11$, dan is $y=0$, we kijken wat de kosten dan zijn.$K=7000\cdot 11+3500\cdot 0=77000$, als $x=11$ en $y=0$ zijn de kosten 77000.De lijn gaat dan door twee roosterpunten, namelijk $x=4$ en $y=14$ en $x=5$ en $y=12$. We mogen alleen roosterpunten gebruiken omdat je natuurlijk alleen gehele waarden voor $x$ en $y$ kunt hebben in deze context omdat het over goederentreinen en binnenvaartschepen gaat. Antwoord: De transportkosten zijn minimaal als hij 4 goederentreinen en 14 binnenvaartschepen inzet, of 5 goederentreinen en 12 binnenvaartschepen. ‘Het maken van de traveller kost 2 manuren en het maken van de mondial 3 manuren. Voor de fabricage van deze koffers kan maximaal 616 manuren per week ingezet worden.’Oftewel $2x+3y\leq 616$‘Voor elk van beide koffers is 1,5 $m^2$ leer nodig. Wekelijks is hiervoor in totaal 387 $m^2$ leer beschikbaar.’Dus $1,5x+1,5y\leq 387$Antwoord: $2x+3y\leq 616$ en $1,5x+1,5y\leq 387$ We berekenen het met isolijnen.Neem een punt, we nemen nu $(150,0)$, vul deze in $W=44x+56y$ in. $44\cdot 150+56\cdot 0=6600$Dus voor $(150,0)$ geldt $44x+56y=6600$Om een lijn te tekenen moeten we twee punten op de lijn weten, we berekenen $y$ voor $x=0$. $44\cdot 0+56x=6600$$56x=6600$ geeft $x=117,85…$. We tekenen een lijn door $(150,0)$ en $(0,118)$.Als de fabrikant meer produceert kan hij meer winst behalen, de lijn moet zo veel mogelijk rechts van het toegestane gebied voor een maximale winst. Als de doelfunctie door het snijpunt van $2x+3y=616$ en $1,5x+1,5y=387$ gaat is de winst maximaal.We berekenen het snijpunt van de twee lijnen.  Maak een stelsel van vergelijkingen$\begin{cases} 2x+3y=616 \\ 1,5x+1,5y=387 \end{cases}$We willen een variabele elimineren, dat kunnen we doen door de vergelijkingen op te tellen of af te trekken. Als we dat in dit geval doen elimineren we alsnog geen variabele, we kunnen de tweede vergelijking vermenigvuldigen met 2, dan valt na optellen wel een variabele weg.$\begin{cases} 2x+3y=616 \\ 1,5x+1,5y=387 \end{cases}$12Geeft $\begin{cases} 2x+3y=616 \\ 3x+3y=774 \end{cases}$Vervolgens trekken we de vergelijkingen van elkaar af.$\begin{cases} 2x+3y=616 \\ 3x+3y=774 \end{cases}$   - $-x=-158$$x=158$ (beide kanten delen door -1)Vul vervolgens $x=158$ in één van de twee vergelijkingen in om $y$ te berekenen.$2\cdot 158+3y=616$$316+3y=616$$3y=300$ (beide kanten $-300$)$y=100$ (beide kanten delen door $3$)Dus $x=158$ en $y=100$, de oplossing is $(158,100)$Bereken de winst bij deze productie. Vul hiervoor $x=158$ en $y=100$ in $W=44x+56y$ in.$44\cdot 158+56\cdot 100=12552$‘Dat betekent dat er elke week twee keer zoveel travellers als mondials geproduceerd zullen worden.’Bij deze voorwaarde hoort de vergelijking $x=2y$.Om een lijn te tekenen hebben we twee punten nodig op de lijn. Als $x=0$ dan is $y=0$Als $x=200$ dan is $y=100$Teken deze voorwaarde in het assenstelsel hierboven.De oplossing ligt dus nu in ieder geval op de rode lijn. Het snijpunt van $x=2y$ met de groene lijn, $1,5x+1,5y=387$, is het uiterste punt in het toegestane gebied, daar zal de winst maximaal zijn in deze situatie.Bereken het snijpunt van $x=2y$ en $1,5x+1,5y=387$. Dit kun je doen door op de plek van $x$ in $1,5x+1,5y=387$, $2y$ in te vullen.$1,5\cdot 2y+1,5y=387$$3y+1,5y=387$$4,5y=387$$y=86$ (beide kanten delen door $4,5$)Vul $y=86$ in $x=2y$ in om de bijbehorende $x$-waarde te vinden.$x=2\cdot 86=172$Dus bij een productie van 172 travellers en 86 mondials is de winst maximaal.De winst is dan $44\cdot 172+56\cdot 86=12384$ euroAntwoord: 172 travellers, 86 mondials en een winst van 12384 euro. Van Koeweit naar New York kost 38 dollarcent per barrel, dus de totale kosten voor dit transport: $0,38\cdot 140000=53200$Van Galveston naar New York kost 10 dollarcent per barrel, dus de totale kosten voor dit transport: $0,10\cdot 100000=10000$Dan moet het overige voor New York wel uit Caracas komen, dat zijn er dus nog $300000-140000-1000000=60000$$0,18\cdot 60000=10800$In Koeweit zijn dan nog $200000-140000=60000$ barrels over, die gaan naar London. $0,35\cdot 60000=21000$In Galveston zijn er nog $150000-100000=50000$, deze gaan naar London. $0,22\cdot 50000=11000$In Caracas zijn er nog $100000-60000=40000$ over, deze gaan naar London. $0,25\cdot 40000=10000$De totale kosten zijn dan $53200+10000+108000+21000+11000+10000=116000$Antwoord: 116000$x$ is het aantal barrels dat van Koeweit naar New York getransporteerd wordt.Wat niet naar van Koeweit naar New York gaat, gaat naar Londen, dus naar London gaat $200000-x$$y$ is het aantal barrels dat van Galveston naar New York getransporteerd wordt. Wat niet van Galveston naar New York gaat, gaat naar London, dus naar London gaat $150000-y$New York wil in totaal 300000 barrels, $x$ komt uit Koeweit, $y$ uit London, $300000-x-y$ komt uit Caracas. London wil 150000 barrels, $200000-x$ komt uit Koeweit, $150000-y$ komt uit Galveston dus $150000-(200000-x)-(150000-y)$ komt uit Caracas.Zet dit om het overzichtelijk te maken in een tabel.New YorkLondonKoeweit$x$$200000-x$Galveston$y$$150000-y$Caracas$300000-x-y$$150000-(200000-x)-(150000-y)$De beperkende voorwaarden zijn dus: $x\geq 0$, $y\geq 0$Je kunt nooit een negatief aantal barrels hebben, dus $200000-x\geq 0$ oftewel $x\leq 200000$$150000-y\geq 0$, oftewel $y\leq 150000$$300000-x-y\geq 0$, oftewel $x+y\leq 300000$$150000-(200000-x)-(150000-y)\geq 0$ haakjes uitwerken geeft: $150000-200000+x-150000+y\geq 0$$-200000+x+y\geq 0$$x+y\geq 200000$Teken de grenslijnen in een assenstelsel, omdat we te maken hebben met getallen tot maximaal 300000 tekenen we een groot assenstelsel met een grote stapgrootte. $x\leq 200000$, dus een verticale lijn bij $x=200000$ en alles links van deze lijn gearceerd. $y\leq 150000$ dus een horizontale lijn bij $y=150000$ en alles onder deze lijn gearceerd. $x+y\leq 300000$, de lijn $x+y=300000$ gaat door $(0,300000)$ en $(300000,0)$, teken een lijn door deze twee punten.Als we $(0,0)$ invullen klopt de ongelijkheid, dus we arceren het deel waar $(0,0)$ in ligt. $x+y\geq 200000$, de lijn $x+y=200000$ gaat door $(0,200000)$ en $(200000,0)$, teken een lijn door deze twee punten.Als we $(0,0)$ invullen klopt de ongelijkheid niet, dus we arceren het deel waar $(0,0)$ niet in ligt. Het toegestane gebied arceren we. We stellen de doelfunctie op. De maatschappij wil natuurlijk minimale kosten, de kosten berekenen we door de kosten per barrel te vermenigvuldigen met het aantal barrels. New YorkLondonKoeweit$0,38\cdot x$$0,35\cdot (200000-x)$Galveston$0,1\cdot y$$0,22\cdot (150000-y)$Caracas$0,18\cdot (300000-x-y)$$0,25\cdot (x+y-200000)$De totale kosten zijn dan: $K=0,38x+0,1y+0,18(300000-x-y)+0,35(200000-x)+0,22(150000-y)+0,25(x+y-200000)$Haakjes uitwerken geeft $K=0,38x+0,1y+54000-0,18x-0,18y+70000-0,35x+33000-0,22y+0,25x+0,25y-50000$Gelijksoortige termen samennemen geeft $K=107000+0,10x-0,05y$Bereken de coördinaten van de hoekpunten van het gearceerde gebied. Bereken de coördinaten van $A$, dit is het snijpunt van de lijnen $x+y=200000$ en $y=150000$Zet op de plek van $y$ in $x+y=200000$ $150000$ dit geeft $x+150000=200000$Beide kanten $-150000$ geeft $x=50000$$A(50000, 150000)$Bereken de coördinaten van $B$, dit is het snijpunt van de lijnen $x+y=300000$ en $y=150000$Zet op de plek van $y$ in $x+y=300000$ $150000$ dit geeft $x+150000=300000$Beide kanten $-150000$ geeft $x=150000$$B(150000, 150000)$Bereken de coördinaten van $C$, dit is het snijpunt van de lijnen $x+y=300000$ en $x=200000$Zet op de plek van $x$ in $x+y=300000$ $200000$ dit geeft $200000+y=300000$Beide kanten $-200000$ geeft $y=100000$$C(200000, 100000)$Bereken de coördinaten van $D$, dit is het snijpunt van de lijnen $x+y=200000$ en $x=200000$Zet op de plek van $x$ in $x+y=200000$, $200000$ dit geeft $200000+y=200000$Beide kanten $-200000$ geeft $y=0$$D(200000, 0)$Vul de hoekpunten in de doelfunctie in.$A(50000, 150000)$ $K=107000+0,10\cdot 50000-0,05\cdot 150000=104500$$B(150000, 150000)$ $K=107000+0,10\cdot 150000-0,05\cdot 150000=114500$$C(200000, 100000)$ $K=107000+0,10\cdot 200000-0,05\cdot 100000=122000$$D(200000, 0)$ $K=107000+0,10\cdot 200000-0,05\cdot 0=127000$De kosten zijn minimaal in punt $A$. New YorkLondonKoeweit$50000$$150000$Galveston$150000$$0$Caracas$100000$$0$Antwoord: Dan gaan er dus 50000 barrels van Koeweit naar New York, 150000 barrels van Koeweit naar London, 150000 van Galveston naar New York, 100000 van Caracas naar New York en zijn de kosten voor de oliemaatschappij 104500 dollar.