Getal en Ruimte 13e ed deel 1 - Hoofdstuk 1 - Lineaire problemen oefentoetsen & antwoorden

$(\red{8},-7)$, het eerste getal van een coördinaat is de $x$-coördinaat. $(8,\red{-7})$, het tweede getal van een coördinaat is de $y$-coördinaat. We willen $a$ in de formule weten, hiervoor vullen we eerst de coördinaten in. $a\cdot 8-23=-7$$8a-23=-7$Gebruik de balansmethode. Eerst verplaatsen we de losse getallen naar de rechterkant. $8a\red{-23}=-7$ $-23$ is een los getal links. We tellen bij beide kanten $23$ op om deze naar rechts te werken. $8a-23\red{+23}=-7\red{+23}$ $8a=16$Deel beide kanten door het getal dat voor de letter staat. In dit geval $8$.$8a\red{:8}=16\red{:8}$$a=2$Antwoord: $a=2$ Vul de $x$-coördinaat $x=-1$ in.$g(-1)=-2\cdot -1-11$$g(-1)=2-11=-9$Vul de $x$-coördinaat $x=3$ in. $g(3)=-2\cdot 3-11$$g(3)=-6-11=-17$$g(-1)+g(3)=-9+-17=-26$Antwoord: $g(-1)+g(3)=-26$ Werk eerst de haakjes uit.$4(2x+3)+2=8+11x$ $8x+12+2=8+11x$$8x+14=8+11x$Gebruik de balansmethode. Eerst verplaatsen we de losse getallen naar de rechterkant. $8x\red{+14}=8+11x$ $+14$ is een los getal links. We trekken van beide kanten $14$ af om deze naar rechts te werken. $8x+14\red{-14}=8+11x\red{-14}$$8x=-6+11x$Alle waarden met $x$ erin verplaatsen we naar de linkerkant.$8x=-6\red{+11x}$, $+11x$ is een getal met $x$ erin aan de rechterkant, deze werken we naar de linkerkant door beide kanten $-11x$ te doen.$8x\red{-11x}=-6+11x\red{-11x}$$-3x=-6$Deel beide kanten door het getal dat voor de letter staat. In dit geval $-3$.$-3x\red{:-3}=-6\red{:-3}$$x=2$Antwoord: $x=2$Werk de haakjes weg.$\frac{1}{6}(k+30)=\frac{1}{6}(k-3)-\frac{1}{3}k-1\frac{1}{2}$$\frac{1}{6}k+5=\frac{1}{6}k-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}k-1\frac{1}{2}$Werk de breuken weg.Om de breuken weg te werken, zoek je het kleinste gemene veelvoud van de noemers van de breuken. De noemers zijn 6, 2 en 3. Het kleinste gemene veelvoud is 6, 6 is het kleinste getal dat in zowel de tafel van 6 als van 2 als van 3 zit.Vermenigvuldig de vergelijking met $6$.$6\cdot \frac{1}{6}k+6\cdot 5=6\cdot \frac{1}{6}k-6\cdot \frac{1}{2}-6\cdot \frac{1}{3}k-6\cdot 1\frac{1}{2}$$k+30=k-3-2k-9$Neem gelijksoortige termen samen.$k+30=-k-12$Gebruik de balansmethode. Eerst verplaatsen we de losse getallen naar de rechterkant. $k\red{+30}=-k-12$, $30$ is een los getal links. We trekken van beide kanten $30$ af om deze naar rechts te werken. $k+30\red{-30}=-k-12\red{-30}$$k=-k-42$Alle waarden met $k$ erin verplaatsen we naar de linkerkant.$k=\red{-k}-42$ $-k$ is een getal met $k$ erin aan de rechterkant, deze werken we naar de linkerkant door beide kanten $+k$ te doen.$k\red{+k}=-k-42\red{+k}$$2k=-42$Deel beide kanten door het getal dat voor de letter staat. In dit geval $2$.$2k\red{:2}=-42\red{:2}$$k=-21$ (let op $-:+=-$)Antwoord: $k=-21$ De grafiek is een lijn, dus de formule is van de vorm y=ax+by=ax+by=ax+bDe lijn heet kkk dus k:y=ax+bk: y=ax+bk:y=ax+bBereken de richtingscoëfficiënt. rck=rcm=arc_k=rc_m=arck​=rcm​=aLijn kkk is evenwijdig met lijn mmm, als we dus de richtingscoëfficiënt van lijn mmm weten, hebben we ook de richtingscoëfficiënt van kkk, oftewel de aaa in de formule.De richtingscoëfficiënt is hoeveel de grafiek toe- of afneemt bij elk stapje naar rechts. We bepalen de richtingscoëfficiënt van lijn mmm.Zoek twee roosterpunten.Tussen 222 en 333 ligt 111, dus horizontaal is er 1 bijgekomen. Tussen 222 en 555 is er 333 bijgekomen, dus verticaal is 333a=verticaalhorizontaala=\frac{verticaal}{horizontaal}a=horizontaalverticaal​a=31=3a=\frac{3}{1}=3a=13​=3rcm=3=rckrc_m=3=rc_krcm​=3=rck​k:y=3x+bk: y=3x+bk:y=3x+bBereken bbb.Om bbb te berekenen vullen we een punt in. In de opdracht staat dat kkk  door het punt (3,11)(3,11)(3,11) gaat. We vullen (3,11)(3,11)(3,11) in.3⋅3+b=113\cdot 3+b=113⋅3+b=119+b=119+b=119+b=11Doe beide kanten −9-9−9b=2b=2b=2Antwoord: k:y=3x+2k: y=3x+2k:y=3x+2 Snijpunt met de yyy-as.In het snijpunt met de yyy-as is x=0x=0x=0.f(0)=6−112⋅0f(0)=6-1\frac{1}{2}\cdot 0f(0)=6−121​⋅0f(0)=6f(0)=6f(0)=6A(0,6)A(0,6)A(0,6)Snijpunt met de xxx-as.In het snijpunt met de xxx-as is y=0y=0y=0.0=6−112x0=6-1\frac{1}{2}x0=6−121​x−6=−112x-6=-1\frac{1}{2}x−6=−121​x (beide kanten −6-6−6)4=x4=x4=x (beide kanten delen door −112-1\frac{1}{2}−121​)B(4,0)B(4,0)B(4,0)Snijpunt yyy-as A(0,6)A(0,6)A(0,6), snijpunt xxx-as B(4,0)B(4,0)B(4,0).Samen met de oorsprong vormen deze twee punten een driehoek. De driehoek is rechthoekig, dus we kunnen de zijden gebruiken als zijde en hoogte. oppervlakte driehoek=12⋅zijde⋅hoogteoppervlakte\ driehoek=\frac{1}{2}\cdot zijde\cdot hoogteoppervlakte driehoek=21​⋅zijde⋅hoogteoppervlakte △OAB=12⋅4⋅6=12oppervlakte\ \triangle OAB=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6=12oppervlakte △OAB=21​⋅4⋅6=12Antwoord: De oppervlakte is 12 Snijpunt met de $x$-as:In het snijpunt met de $x$-as geldt $y=0$.Vul $y=0$ in.$2x+8\cdot 0=3$Reken de keersom uit.$2x+0=3$$2x=3$Deel beide kanten door 2.$x=\frac{3}{2}$$x=1\frac{1}{2}$ Dus het snijpunt met de $x$-as is $(1\frac{1}{2};0)$In het snijpunt met de $y$-as geldt $x=0$.Vul $x=0$ in.$2\cdot 0+8y=3$Reken de keersom uit.$0+8y=3$$8y=3$Deel beide kanten door 8.$y=\frac{3}{8}$Dus het snijpunt met de $y$-as is $(0;\frac{3}{8})$Antwoord: Snijpunt $x$-as: $(1\frac{1}{2};0)$. Snijpunt $y$-as: $(0;\frac{3}{8})$Werk alles behalve $y$ naar rechts.$-8y=3-2x$ (beide kanten $-2x$)$y=\frac{3}{-8}-\frac{2}{-8}x$ (beide kanten delen door $-8$)$y=-\frac{3}{8}+\frac{1}{4}x$Antwoord: $y=-\frac{3}{8}+\frac{1}{4}x$Vul $(13,3)$ in in $2x-8y=…$. Als er 3 uit komt dan ligt het punt op de lijn.$2\cdot 13-8\cdot 3=$$26-24=2$Antwoord: Er komt geen 3 uit, dus $(13,3)$ ligt niet op de lijn. Maak een variabele vrij in één van de twee vergelijkingen.We maken $y$ vrij in de eerste vergelijking.$2x+5y=40$ (we moeten uiteindelijk links alleen $y$ overhouden)$5y=40-2x$ (beide kanten $-2x$)$y=8-\frac{2}{5}x$ (beide kanten delen door $5$)We vervangen de $y$ in de tweede vergelijking voor $y=8-\frac{2}{5}x$$3x-5(8-\frac{2}{5}x)=-15$ (denk aan de haakjes)$3x-40+2x=-15$ (werk de haakjes uit)$5x-40=-15$Los de vergelijking op.$5x=25$ (beide kanten $+40$)$x=5$ (beide kanten $:5$)Bereken de $y$-coördinaat.Vul de $x$-coördinaat in in één van de twee formules om de bijbehorende $y$-waarde te vinden.$2\cdot 5+5y=40$$10+5y=40$$5y=30$ (beide kanten $-10$)$y=6$Antwoord: De oplossing is $(5,6)$Bij deze opdracht had je ook $x$ kunnen vrijmaken en kunnen vervangen in de tweede formule, of met de tweede formule kunnen beginnen bij het vrijmaken, als je dat hebt gedaan en hetzelfde antwoord hebt, is je antwoord ook goed.  Normaal nemen we bij een lijn y=ax+by=ax+by=ax+b. Bij de yyy-as staat hier TTT en bij de xxx-as mmm. We nemen dus T=am+bT=am+bT=am+b. We hebben de yyy vervangen voor TTT en de xxx voor mmm. Bereken aaa. a=verticaalhorizontaala=\frac{verticaal}{horizontaal}a=horizontaalverticaal​We zoeken eerst twee roosterpunten.Twee roosterpunten zijn (100,800)(100,800)(100,800) en (300,100)(300,100)(300,100)Vervolgens kijken we wat tussen deze twee roosterpunten horizontaal is gebeurd.We vullen dus bij horizontaal 300300300 in. a=verticaal300a=\frac{verticaal}{300}a=300verticaal​Daarna kijken we wat er verticaal is gebeurd.We vullen bij verticaal −700-700−700 in. a=−700300=−312a=\frac{-700}{300}=-3\frac{1}{2}a=300−700​=−321​Elk stapje naar rechts gaat er dus 3,5 afBereken bbb. Dit kunnen we doen door een punt op de lijn in te vullen.Voor m=100m=100m=100 geldt T=800T=800T=800, dit punt vullen we in.−312⋅100+b=800-3\frac{1}{2}\cdot 100+b=800−321​⋅100+b=800−350+b=800-350+b=800−350+b=800b=1150b=1150b=1150 (beide kanten +350+350+350)Vul aaa en bbb in in de formuleT=−312m+1150T=-3\frac{1}{2}m+1150T=−321​m+1150Antwoord: T=−312m+1150T=-3\frac{1}{2}m+1150T=−321​m+1150 We vullen de $x$-coördinaat en de $y$-coördinaat in. Dus $x=3$ en $y=a$ $\frac{1}{2}a\cdot 3+4=a$$1\frac{1}{2}a+4=a$Gebruik de balansmethode. Eerst verplaatsen we de losse getallen naar de rechterkant. $1\frac{1}{2}a\red{+4}=a$, $+4$ is een los getal links. We trekken van beide kanten $4$ af om deze naar rechts te werken. $1\frac{1}{2}a+4\red{-4}=a\red{-4}$$1\frac{1}{2}a=a-4$Vervolgens de getallen met een letter naar de linkerkant.$1\frac{1}{2}a-a=-4$ (beide kanten $-a$)$\frac{1}{2}a=-4$ Deel beide kanten door het getal dat voor de letter staat. In dit geval $\frac{1}{2}$.$\frac{1}{2}a\red{:\frac{1}{2}}=-4\red{:\frac{1}{2}}$$a=-8$Antwoord: $a=-8$ Voor het snijpunt van twee lijnen zetten we de formule van de ene lijn aan de ene kant van de $=$ en de formule van de andere lijn aan de andere kant van de $=$. $-\frac{1}{6}x+4\frac{1}{6}=\frac{1}{3}x+1\frac{2}{3}$We werken eerste de breuken weg door te vermenigvuldigen met 6. Dit is het kleinste veelvoud van de noemers, 6 komt voor in de tafel van 6 en 3.  $6\cdot -\frac{1}{6}x+6\cdot 4\frac{1}{6}=6\cdot \frac{1}{3}x+6\cdot 1\frac{2}{3}$$-x+25=2x+10$Vervolgens gebruiken we de balansmethode. Eerst verplaatsen we de losse getallen naar de rechterkant. $-x\red{+25}=2x+10$ $+25$ is een los getal links. We trekken van beide kanten $25$ af om deze naar rechts te werken. $-x+25\red{-25}=2x+10\red{-25}$$-x=2x-15$Alle waarden met $x$ erin verplaatsen we naar de linkerkant.$-x=\red{2x}-15$, $2x$ is een getal met $x$ erin aan de rechterkant, deze werken we naar de linkerkant door beide kanten $-2x$ te doen.$-x\red{-2x}=2x-15\red{-2x}$$-3x=-15$$x=5$ (beide kanten delen door $-3$)Dus de $x$-coördinaat van $S$ is $x=5$We moeten niet alleen de $x$-coördinaat van het snijpunt berekenen maar ook de $y$-coördinaat. Hiervoor vullen we de $x$-coördinaat in in één van de twee formules. $x=5$ in $g(x)=-\frac{1}{6}x+4\frac{1}{6}$ geeft $g(5)=-\frac{1}{6}\cdot 5+4\frac{1}{6}$$=-\frac{5}{6}+4\frac{1}{6}=3\frac{2}{6}=3\frac{1}{3}$$x=5$ in $h(x)=\frac{1}{3}x+1\frac{2}{3}$  geeft$h(5)=\frac{1}{3}cdot 5+1\frac{2}{3}$  $=1\frac{2}{3}+1\frac{2}{3}=3\frac{1}{3}$Dus de $y$-coördinaat van $S$ is $y=3\frac{1}{3}$Je hoeft maar 1 van de twee berekeningen hierboven op te schrijven, uit beide berekeningen komt hetzelfde antwoord.Antwoord: $S(5, 3\frac{1}{3})$ De totale kosten kunnen we berekenen met de formule:$800x+700y=28200$negen tafels van Type A, dus $x=9$, dus vul in de formule voor $x$ 9 in. $800\cdot 9+700y=28200$$7200+700y=28200$$700y=21000$ (beide kanten $-7200$)$y=3$ (beide kanten delen door 700)Antwoord: 3 tafels van type BDe totale opbrengsten kunnen we berekenen met de formule:$950x+875y=34450$Maak $y$ vrij in de formule voor de totale kosten. (je kunt ook $x$ vrijmaken, of de totale opbrengsten formule gebruiken)$700y=28200-800x$ (beide kanten $-800x$)$y=\frac{28200}{700}-\frac{800}{700}x$ (beide kanten delen door $700$)$y=\frac{282}{7}-\frac{8}{7}x$Vervang nu de $y$ in de totale opbrengsten formule voor $y=\frac{282}{7}-\frac{8}{7}x$, denk aan de haakjes!$950x+875(\frac{282}{7}-\frac{8}{7}x)=34450$Werk de haakjes uit.$950x+35250-1000x=34450$$-50x+35250=34450$$-50x=34450-35250$ (beide kanten $-35250$)$-50x=-800$$x=-800:-50$ (beide kanten delen door $-50$)$x=16$Bereken $y$ door $x=16$ in te vullen in één van de twee formules.$800\cdot 16+700y=28200$$12800+700y=28200$$700y=28200-12800$ (beide kanten $-12800$)$700y=15400$$y=15400:700$ (beide kanten delen door $700$)$y=22$Antwoord: 16 tafels verkocht van type A en 22 tafels van type B.