Getal en Ruimte 13e ed deel 1 - Hoofdstuk 2 - Gelijkvormigheid oefentoetsen & antwoorden

Twee zijden zijn een vergroting van elkaar en de rechte hoeken zijn gelijk.Hierbij hoort gelijkvormigheidskenmerk ZZRAntwoord: ZZR We beginnen in de eerste en laatste kolom, hier hebben we maar één variabele, dat is $x$. De tweede kolom heeft we twee variabelen, $x$ en $y$ dus die kunnen we niet gebruiken.We gaan kruislings vermenigvuldigen.$(x+2)\cdot 56=40\cdot 7$ (diagonalen keer elkaar aan elkaar gelijkstellen)$56x+112=280$ (haakjes uitwerken)$56x=168$ (beide kanten $-112$)$x=3$ (beide kanten delen door $56$)Vul de uitkomst van $x$ in in de tabel. Nu kunnen we ook $y$ berekenen, we hebben niet meer twee variabelen in de laatste twee kolommen.$40$$3y$$56$$5$$3$$7$We gaan weer kruislings vermenigvuldigen.$3y\cdot 7=3\cdot 56$ (diagonalen keer elkaar aan elkaar gelijkstellen)$21y=168$ $y=8$ (delen door $21$)Antwoord: $x=3$ en $y=8$ Toon gelijkvormigheid aan.$\angle B=\angle D$ (F-hoeken)$\angle C\ (in\ \triangle ABC)=\angle C\ (in\ \triangle EDC)$ Dus $\triangle ABC \sim \triangle EDC$ (hh) Let op dat je gelijke hoeken op gelijke plekken zet!Maak een verhoudingstabel. $\triangle ABC$$AB$$BC$$AC$$\triangle EDC$$ED$$DC$$EC$Vul in wat je weet. $AC=AE+EC$$AC=55+22=77$$\triangle ABC$$AB$$BC$$77$$\triangle EDC$$ED$$DC$$22$We kunnen nog niet kruislings vermenigvuldigen omdat we nog te weinig weten. Dit kunnen we oplossen door een zijde gelijk te stellen aan $x$. We stellen, $DC$, de zijde die we willen weten gelijk aan $x$, dan is $BC=38+x$$\triangle ABC$$AB$$38+x$$77$$\triangle EDC$$ED$$x$$22$Kruislings vermenigvuldigen.$22(38+x)=77x$$836+22x=77x$ (haakjes uitwerken)$-55x=-836$ (alle waarden met $x$ naar links, losse getallen naar rechts)$x=15,2$Antwoord: $CD=15,2$ Alle hoeken van deze driehoek zijn gelijk, dat betekent dat dit een gelijkzijdige driehoek is. Een middenparallel is gelijk aan de helft van de lengte van de derde zijde. Dus $MN=2OP$$MN=2\cdot 3=6$Dus alle zijden van de driehoek zijn $6$ lang. $LP=PM$, dus $PM$ is de helft van zijde $LM$, $LM=6$ dus $PM=3$Zo is ook $NO=3$Dus de omtrek van vierhoek $MNOP$ is $MN+NO+OP+PM=6+3+3+3=15$Antwoord: 15 Denk eraan om eerst gelijkvormigheid aan te tonen!Zoek gelijke hoeken.$\angle R=\angle V$ $\angle T=\angle S$ Als twee hoeken in twee driehoeken gelijk zijn, weten we dat de derde ook gelijk moeten zijn. Schrijf de gelijkvormigheid juist op.Dus $\triangle RST$ is een vergroting van $\triangle VUS$Zorg ervoor dat hoeken die gelijk zijn op dezelfde plek staan. Hoek $R$ is gelijk aan hoek $V$ dus staan deze beide op dezelfde plek. Hoek $S$ is gelijk aan hoek $U$ dus staan deze beide op de tweede plek. Hoek $T$ is gelijk aan hoek $S$ dus deze staan op de derde plek. $\triangle RST \sim \triangle VUS\ (hh)$Maak een verhoudingstabel. Zet gelijke zijden boven elkaar.$\triangle RST$$RS$$ST$$RT$$\triangle VUS$$VU$$US$$VS$Vul de zijden in die je weet. $\triangle RST$$RS$$45$$40$$\triangle VUS$$VU$$US$$44$Gebruik kruislingsmenigvuldigen.$US=\frac{45\cdot 44}{40}=49,5$Antwoord: $US=49,5$ Zoek gelijkvormige driehoeken in de figuur en toon de gelijkvormigheid aan.$\angle A=\angle E$ (Z-hoeken, dit zien we aan de evenwijdigheid van $AB$ aan $DE$)$\angle C\ (in\ \triangle ABC)=\angle C\ (in\ \triangle DEC)$ (overstaande hoeken). Als twee hoeken in twee driehoeken gelijk zijn, weten we dat de derde ook gelijk zijn. Je had ook twee keer Z-hoeken kunnen gebruiken: $\angle D=\angle B$ wegens Z-hoeken.Dus $\triangle ABC$ is een vergroting van $\triangle EDC$ (gelijke hoeken op dezelfde plekken)$\triangle ABC \sim \triangle EDC$ (hh)Teken een tabel. Zet gelijkvormige zijden onder elkaar.Zet de grootste driehoek op de bovenste rij.$\triangle ABC$$AB$$BC$$AC$$\triangle EDC$$ED$$DC$$EC$Vul de maten in die je weet.$\triangle ABC$$7$$BC$$AC$$\triangle EDC$$2$$3$$EC$Bereken BC.Gebruik kruislingsvermenigvuldigen. $BC=\frac{7\cdot 3}{2}=10,5$Antwoord: $BC=10,5$ We tekenen de doorsnede SAWSAWSAWIn △SPQ\triangle SPQ△SPQ is ∠P=90∘\angle P=90^\circ∠P=90∘. De lengte van SQSQSQ kunnen we dus berekenen met behulp van de stelling van Pythagoras. PS2+PQ2=SQ2PS^2+PQ^2=SQ^2PS2+PQ2=SQ232+42=SQ23^2+4^2=SQ^232+42=SQ29+16=259+16=259+16=25SQ2=25SQ^2=25SQ2=25SQ=25SQ=\sqrt{25}SQ=25​SQ=5SQ=5SQ=5Gebruik gelijkvormigheid.Zoek gelijke hoeken.∠S=∠Q\angle S=\angle Q∠S=∠Q (beide rechte hoeken) ∠A (in △SAW)=∠A (in △BQA)\angle A\ (in\ \triangle SAW)=\angle A\ (in\ \triangle BQA)∠A (in △SAW)=∠A (in △BQA)Als twee hoeken in twee driehoeken gelijk zijn, weten we dat de derde ook gelijk moeten zijn. Schrijf de gelijkvormigheid juist op.Dus △SAW\triangle SAW△SAW is een vergroting van △QAB\triangle QAB△QAB△SAW∼△QAB (hh)\triangle SAW \sim \triangle QAB\ (hh)△SAW∼△QAB (hh)Maak een verhoudingstabel. Zet gelijke zijden boven elkaar.△SAW\triangle SAW△SAWSASASAAWAWAWSWSWSW△QAB\triangle QAB△QABQAQAQAABABABBQBQBQVul de zijden in die je weet. △RST\triangle RST△RSTSASASAAWAWAW888△VUS\triangle VUS△VUSQAQAQAABABAB333We kunnen nog niet kruislings vermenigvuldigen omdat we nog te weinig weten. Dit kunnen we oplossen door een zijde gelijk te stellen aan xxx. We stellen, QAQAQA, de zijde die we willen weten gelijk aan xxx, dan is SA=5+xSA=5+xSA=5+x△RST\triangle RST△RSTx+5x+5x+5AWAWAW888△VUS\triangle VUS△VUSxxxABABAB333Gebruik kruislingsmenigvuldigen.3(x+5)=8x3(x+5)=8x3(x+5)=8x3x+15=8x3x+15=8x3x+15=8x−5x=−15-5x=-15−5x=−15x=3x=3x=3QA=3QA=3QA=3Antwoord: QA=3QA=3QA=3 We tekenen lijn CECECE om de driehoeken duidelijk te maken.CD=DE=CE=EFCD=DE=CE=EFCD=DE=CE=EFCE (in △ CDE)=CE (in △CFE)CE\ (in\ \triangle\ CDE)=CE\ (in\ \triangle CFE)CE (in △ CDE)=CE (in △CFE)△CDE∼△CFE\triangle CDE \sim \triangle CFE△CDE∼△CFE (zzz)Als de twee driehoeken gelijkvormig zijn geldt dus ∠E (in △ CDE)=∠C (in △CFE)\angle E\ (in\ \triangle\ CDE)=\angle C\ (in\ \triangle CFE)∠E (in △ CDE)=∠C (in △CFE)Dan moeten deze hoeken wel Z-hoeken zijn en dan zijn DEDEDE en CFCFCF evenwijdig. Als de twee driehoeken gelijkvormig zijn geldt dus ∠C (in △ CDE)=∠E (in △CFE)\angle C\ (in\ \triangle\ CDE)=\angle E\ (in\ \triangle CFE)∠C (in △ CDE)=∠E (in △CFE)Dan moeten deze hoeken wel Z-hoeken zijn en dan zijn CDCDCD en EFEFEF evenwijdig.  CECECE kunnen we berekenen met behulp van de stelling van Pythagoras in △AEC\triangle AEC△AEC.AE2+EC2=AC2AE^2+EC^2=AC^2AE2+EC2=AC292+EC2=1529^2+EC^2=15^292+EC2=15281+EC2=22581+EC^2=22581+EC2=225EC2=225−81=144EC^2=225-81=144EC2=225−81=144EC=144=12EC=\sqrt{144}=12EC=144​=12Antwoord: EC=12EC=12EC=12Trek loodlijn DFDFDF vanuit DDD op ABABAB.DDD is het midden van lijnstuk BCBCBC, ∠AED=∠AFD=90∘\angle AED=\angle AFD=90^\circ∠AED=∠AFD=90∘ dus wegens F-hoeken moeten ECECEC en DFDFDF wel evenwijdig zijn.We weten over een middenparallel dat deze evenwijdig is aan de derde zijde, dat is dus het geval EFEFEF is evenwijdig aan CECECE, omdat DDD het midden is van BCBCBC moet wel gelden dat DFDFDF dan de middenparallel is van △BEC\triangle BEC△BEC.Als we de lengte van BEBEBE berekenen, weten we dat EFEFEF precies de helft is van BEBEBE, doordat DFDFDF een middenparallel is.Bereken BEBEBE in △BEC\triangle BEC△BEC met behulp van de stelling van Pythagoras.BE2+EC2=BC2BE^2+EC^2=BC^2BE2+EC2=BC2BE2+122=202BE^2+12^2=20^2BE2+122=202BE2+144=400BE^2+144=400BE2+144=400BE2=400−144=256BE^2=400-144=256BE2=400−144=256BE=256=16BE=\sqrt{256}=16BE=256​=16Als BE=16BE=16BE=16 dan is EF=16:2=8EF=16:2=8EF=16:2=8Omdat  DFDFDF de middenparallel is weten we ook dat deze de helft is van de lengte van CECECE, dus DF=12:2=6DF=12:2=6DF=12:2=6We weten nu zijde AF=9+8=17AF=9+8=17AF=9+8=17 en DF=6DF=6DF=6 in △ADF\triangle ADF△ADF, we kunnen nu met Pythagoras ASASAS berekenen.AF2+DF2=AD2AF^2+DF^2=AD^2AF2+DF2=AD2172+62=AD217^2+6^2=AD^2172+62=AD2325=AD2325=AD^2325=AD2Dus AD=325≈18AD=\sqrt{325}\approx 18AD=325​≈18Antwoord: AD=18AD=18AD=18