Getal en Ruimte 13e ed deel 1 - Hoofdstuk 3 - Kwadratische problemen oefentoetsen & antwoorden

In deze vorm van een kwadratische functie kun je de top aflezen.$y=a(x-p)^2+q$ geeft top $(p,q)$.In dit geval is de $p$ $2\frac{1}{3}$, $g(x)=-2(x-\red{2\frac{1}{3}})^2-3$$q$ is $3$, $g(x)=-2(x-2\frac{1}{3})^2\red{-3}$De coördinaten van de top zijn dus $(2\frac{1}{3},-3)$$a=-2<0$ dus dit is een bergparabool.Antwoord: Het maximum is -3In deze vorm van een kwadratische functie kun je $x_{top}$ als volgt berekenen.$y=a(x-d)(x-e)$ geeft $x_{top}=\frac{d+e}{2}$In dit geval is $d=-3\frac{1}{4}$ en $e=-\frac{1}{4}$, dus $x_{top}=\frac{-3\frac{1}{4}+-\frac{1}{4}}{2}=\frac{-3\frac{1}{2}}{2}=-1\frac{3}{4}$De $y$-coördinaat van de top kunnen we berekenen door $x_{top}=-1\frac{3}{4}$ in te vullen in de formule. $k(-1\frac{3}{4})=-2(-1\frac{3}{4}+3\frac{1}{4})(-1\frac{3}{4}+\frac{1}{4})$$=-2\cdot 1\frac{1}{2}\cdot -1\frac{1}{2}$$=4\frac{1}{2}$De coördinaten van de top zijn dus $(-1\frac{3}{4},4\frac{1}{2})$.$a=-2<0$ dus dit is een bergparabool.Antwoord: Het maximum is $4\frac{1}{2}$In deze vorm van een kwadratische functie kun je $x_{top}$ als volgt berekenen.$y=ax^2+bx+c$ geeft $x_{top}=\frac{-b}{2a}$In dit geval is $a=-6$ en $b=-3$, dus $x_{top}=\frac{- -3}{2\cdot -6}=\frac{3}{-12}=-\frac{1}{4}$De $y$-coördinaat van de top kunnen we berekenen door $x_{top}=-\frac{1}{4}$ in te vullen in de formule.$j(-\frac{1}{4})=-6(-\frac{1}{4})^2-3\cdot -\frac{1}{4}-2=-1\frac{5}{8}$De coördinaten van de top zijn dus $(-\frac{1}{4}; -1\frac{5}{8})$$a=-6<0$ dus dit is een bergparabool.Antwoord: Het maximum is $-1\frac{5}{8}$ Bereken de discriminant en gebruik:$D<0$, de vergelijking heeft geen oplossingen.$D=0$, de vergelijking heeft één oplossing.$D>0$, de vergelijking heeft twee oplossingen.Bereken de discriminant.In deze vergelijking geldt $a=-3, b=-0,5, c=-12$$D=b^2-4ac$$D=(-0,5)^2-4\cdot -3\cdot -12$$D=0,25-144=-143,75$Antwoord: $D<0$ dus de vergelijking heeft geen oplossingen en snijdt de $x$-as dus niet. We kunnen gelijk oplossen omdat er al staat $A\cdot B=0$ dit geeft $A=0\vee B=0$.Dus $3x+5=0 \vee 2-x=0$$3x=-5 \vee -x=-2$Antwoord: $x=-\frac{5}{3} \vee x=2$Werk de haakjes uit.$\frac{1}{4}x(x-4)=3$   $\frac{1}{4}x^2-x=3$Herleid op nul.Werk alle getallen naar links.$\frac{1}{4}x^2-x-3=0$ (beide kanten $-3$)Werk de breuken weg.Vermenigvuldig met 4 om $\frac{1}{4}$ weg te werken.$x^2-4x-12=0$Ontbind in factoren.Begin bij de laatste term, wat is keer elkaar -12?Kijk vervolgens naar de tweede term, wat is opgeteld -4?$-6\times 2=-12$$-6+2=-4$Dus de termen die we zoeken zijn -6 en 2.$(x-6)(x+2)=0$$x-6=0 \vee x+2=0$ ($A\cdot B=0$ geeft $A=0 \vee B=0$)$x=6 \vee x=-2$Antwoord: $x=6 \vee x=-2$ A en B zijn de snijpunten van $f$ met de $x$-as. In het snijpunt met de $x$-as geldt $y=0$. Los op $f(x)=0$$\frac{1}{5}x^2-3x+10=0$Vermenigvuldig eerst de hele vergelijking met 5. $x^2-15x+50=0$Ontbind in factoren.Kijk welk product 50 oplevert en welke som -15 oplevert. $(x-10)(x-5)=0$ $x-10=0 \vee x-5=0$$x=10 \vee x=5$Bepaal welke coördinaat bij A hoort en welke bij B.A ligt links van B dus de $x$-coördinaat van A is kleiner. $A(5,0)$ en $B(10,0)$C is het snijpunt van $f$ met de $y$-as. Hier is $x=0$.$f(0)=\frac{1}{5}\cdot 0^2-3\cdot 0+10$$=10$$C(0,10)$D en E zijn de snijpunten van $f$ en $g$.Los op $f(x)=g(x)$$\frac{1}{5}x^2-3x+10=-x+25$.Herleid op 0.$\frac{1}{5}x^2-3x+10+x-25=0$.$\frac{1}{5}x^2-2x-15=0$.Vermenigvuldig met 5.$x^2-10x-75=0$Ontbind in factoren.$(x+5)(x-15)=0$$x+5=0 \vee x-15=0$$x=-5 \vee x=15$Bereken de $y$-coördinaten van de snijpunten.Vul $x=-5$ in in één van de twee formules, het maakt niet uit welke, beide zullen dezelfde uitkomst geven. De lijn heeft altijd de makkelijkste formule, dus kies in dit geval om hem in te vullen in $g$.$g(-5)=- -5+25$$=5+25=30$$D(-5,30)$, de negatieve $x$-coördinaat hoort bij $D$. Vul $x=15$ in in één van de twee formules, het maakt niet uit welke, beide zullen dezelfde uitkomst geven.$g(15)=-15+25$$=10$$E(15,10)$Antwoord: $A(5,0)$, $B(10,0)$, $C(0,10)$, $D(-5,30)$ en $E(15,10)$.  In de vorm $y=a(x-d)(x-e)$ zijn $(d,0)$ en $(e,0)$ de snijpunten met de $x$-as.We kunnen de snijpunten met de $x$-as dus zo uit de formule aflezen. $d=3$ dus het eerste snijpunt met de $x$-as is $(3,0)$.$e=-11$ (Let op! Er staat een + voor 11 en dus de $e$ in de formule moet wel negatief zijn!), dus het tweede snijpunt met de $x$-as is $(-11,0)$Antwoord: $(3,0)$ en $(-11,0)$De $x$-coördinaat van de top van de grafiek bij een functie van de vorm $y=a(x-d)(x-e)$ is $x_{top}=\frac{d+e}{2}$.$d=3$ en $e=-11$ dus $x_{top}=\frac{3+-11}{2}=\frac{-8}{2}=-4$De $y$-coördinaat van de top berekenen we door $x_{top}$ in te vullen in de formule.$j(-4)=\frac{1}{4}(-4-3)(-4+11)$$=\frac{1}{4}\cdot -7\cdot 7$$=-12\frac{1}{4}$Antwoord: $(-4,-12\frac{1}{4})$Werk de haakjes uit.$j(x)=\frac{1}{4}(x-3)(x+11)$$j(x)=\frac{1}{4}(x^2+11x-3x-33)$ (Schrijf nieuwe haakjes om de uitkomst van de dubbele haken, alles moet namelijk nog keer $\frac{1}{4}$)$j(x)=\frac{1}{4}(x^2+8x-33)$$j(x)=\frac{1}{4}x^2+2x-8\frac{1}{4}$Antwoord: $j(x)=\frac{1}{4}x^2+2x-8\frac{1}{4}$ Om de grafiek 3 naar links te schuiven tellen we 3 bij xxx op. Denk aan de haakjes!f(x)=−x2−3f(x)=-x^2-3f(x)=−x2−3 3 naar links geeft y=−(x+3)2−3y=-(x+3)^2-3y=−(x+3)2−3 (Denk eraan dat de verschoven grafiek niet meer fff heet)Om 5 omhoog te schuiven tellen we bij de hele functie 5 op. y=−(x+3)2−3y=-(x+3)^2-3y=−(x+3)2−3. 5 omhoog geeft g(x)=−(x+3)2−3+5g(x)=-(x+3)^2-3+5g(x)=−(x+3)2−3+5 (als beide verschuivingen zijn gedaan heet de functie ggg)Antwoord: g(x)=−(x+3)2+2g(x)=-(x+3)^2+2g(x)=−(x+3)2+2 Werk de haakjes uit.$2x^2-\frac{1}{4}x=\frac{1}{4}-\frac{3}{4}x$Herleid op nul.$2x^2-\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}+\frac{3}{4}x=0$$2x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}=0$Gebruik de ABC-formule.Bereken de discriminant.In deze formule geldt: $a=2, b=\frac{1}{2}$ en $c=-\frac{1}{4}$$D=b^2-4ac$$D=(\frac{1}{2})^2-4\cdot 2\cdot -\frac{1}{4}$$D=\frac{1}{4}+2$$D=2\frac{1}{4}$Bereken de oplossingen.$x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a} \vee x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$$x=\frac{-\frac{1}{2}-\sqrt{2\frac{1}{4}}}{2\cdot 2} \vee x=\frac{-\frac{1}{2}+\sqrt{2\frac{1}{4}}}{2\cdot 2}$$x=\frac{-\frac{1}{2}-1\frac{1}{2}}{4} \vee x=\frac{-\frac{1}{2}+1\frac{1}{2}}{4}$$x=\frac{-2}{4}\vee x=\frac{1}{4}$Antwoord: $x=-\frac{1}{2}\vee x=\frac{1}{4}$Gebruik de ABC-formule.Herleid op 0.Breng hiervoor $6x+7$ naar de andere kant. $-3x^2-6x-7=0$Bereken de discriminant.In deze formule geldt: $a=-3, b=-6$ en $c=-7$$D=b^2-4ac$$D=(-6)^2-4\cdot -3\cdot -7$$D=36-84$$D=-48$Antwoord: $D<0$, dus deze vergelijking heeft geen oplossing.Werk de haakjes uit.$2x^2+5x-4x-10=4$Herleid op nul.$2x^2+x-14=0$ Gebruik de ABC-formule. In deze vergelijking is $a=2, b=1, c=-14$Bereken de discriminant.$D=b^2-4ac$$D=(1)^2-4\cdot 2\cdot -14$$D=1+112=113$Bereken $x$$x=\frac{-1-\sqrt{113}}{2\cdot 2} \vee x=\frac{-1+\sqrt{113}}{2\cdot 2}$$x=\frac{-1-\sqrt{113}}{4} \vee x=\frac{-1+\sqrt{113}}{4}$Antwoord: $x=-2,91\vee x=2,41$ Deze vergelijking kunnen we schrijven naar de vorm $(x+p)^2=c$Herleid naar de vorm $(x+p)^2=c$.Alles behalve $(x+\frac{1}{2})^2$ moet naar rechts.$-5(x+\frac{1}{2})^2=-1\frac{4}{5}$ (beide kanten $-\frac{1}{5}$)$(x+\frac{1}{2})^2=\frac{9}{25}$ (beide kanten delen door $-5$)Gebruik de wortel om de vergelijking op te lossen.$x+\frac{1}{2}=\sqrt{\frac{9}{25}} \vee x+\frac{1}{2}=-\sqrt{\frac{9}{25}}$$x+\frac{1}{2}=\frac{3}{5} \vee x+\frac{1}{2}=-\frac{3}{5}$$x=\frac{1}{10} \vee x=-1\frac{1}{10}$Antwoord: $x=\frac{1}{10} \vee x=-1\frac{1}{10}$  We willen eigenlijk de $x$-coördinaat van de top berekenen.Gebruik $x_{top}=\frac{-b}{2a}$In deze formule geldt $a=-0,001, b=0,3$ en $c=160$$x_{top}=\frac{-0,3}{2\cdot -0,001}=\frac{-0,3}{-0,002}=150$Antwoord: na 150 meterVul de $x$-coördinaat van de top in in de formule om de maximale hoogte te berekenen. $h=-0,001\cdot (150)^2+0,3\cdot 150+160$.$=-0,001\cdot 22500+45+160$$=-22,5+45+160=182,5$Antwoord: maximaal 182,5 meter Van deze parabool weten we de snijpunten met de $x$-as, namelijk $(0,0)$ en $(96,0)$. We kunnen dus het beste de vorm $y=a(x-d)(x-e)$ gebruiken.Vul in $d=0$ en $e=96$$y=a(x-0)(x-94)$$y=ax(x-96)$Bereken $a$ door het punt $(46;27,6)$ in te vullen in de formule.$27,6=a\cdot 46(46-96)$$27,6=46a\cdot -50$$27,6=-2300a$$a=27,6:-2300$$a=-0,012$Bij de $y$-as staat $h$, dus we schrijven $h=-0,012x(x-96)$Antwoord: $h=-0,012x(x-96)$ We weten van deze parabool de top. We gebruiken dus de formule van de vorm $y=a(x-p)^2+q$, hierbij is de top $(p,q)$.De top is het hoogste punt van het vliegtuig, die vindt plaats na 11 seconden en de maximale hoogte is 8500 meter. Dus de top is $(11,8500)$. Vul de top in in de formule. $h=a(t-11)^2+8500$Vul het extra gegeven punt in om $a$ te berekenen.In dit geval weten we dat na 21 seconden het vliegtuig op 8009 meter hoogte is. $(21, 8009)$ is dus gegeven naast de top.$8009=a(21-11)^2+8500$Los de vergelijking op.$8009=a(10)^2+8500$$8009=100a+8500$$-491=100a$ (beide kanten $-8500$)$a=-491:100=-4,91$Antwoord: $h=-4,91(t-11)^2+8500$ We delen de oppervlakte van het betegelde gedeelte op in drie delen.De oppervlakte van een rechthoek berekenen we met de formule oppervlakte rechthoek=lengte⋅breedteoppervlakte\ rechthoek=lengte\cdot breedteoppervlakte rechthoek=lengte⋅breedteDe lengte van deel 1 is 24−2x24-2x24−2x, de breedte is xxx.De oppervlakte van deel 1 is dus x(24−2x)x(24-2x)x(24−2x)De oppervlakte van deel 2 is even groot, we hebben dus 2⋅x(24−2x)=2x(24−2x)2\cdot x(24-2x)=2x(24-2x)2⋅x(24−2x)=2x(24−2x)De oppervlakte van deel 3 is 2x⋅12=24x2x\cdot 12=24x2x⋅12=24xDe totale oppervlakte van het betegelde gedeelte is dus 24x+2x(24−2x)24x+2x(24-2x)24x+2x(24−2x)De oppervlakte van de hele tuin is 24⋅12=28824\cdot 12=28824⋅12=28858\frac{5}{8}85​ deel moet betegeld worden, 58⋅288=180\frac{5}{8}\cdot 288=18085​⋅288=180 Dus 180 vierkante meter moet betegeld worden. Oftewel, we moeten de vergelijking 24x+2x(24−2x)=18024x+2x(24-2x)=18024x+2x(24−2x)=180 oplossen.Werk de haakjes uit. 24x+48x−4x2=18024x+48x-4x^2=18024x+48x−4x2=180Herleid op nul.−4x2+72x−180=0-4x^2+72x-180=0−4x2+72x−180=0Deel de hele vergelijking door −4-4−4.x2−18x+45=0x^2-18x+45=0x2−18x+45=0Ontbind in factoren. (x−15)(x−3)=0(x-15)(x-3)=0(x−15)(x−3)=0x−15=0∨x−3=0x-15=0\vee x-3=0x−15=0∨x−3=0x=15∨x=3x=15\vee x=3x=15∨x=3x=15x=15x=15 kan niet, want de tuin is zelf maar 12 meter breed. Antwoord: De tegelrand moet 3 meter breed worden. Het deel van oppervlakte 3 moet 6 meter breed worden.