Overal Natuurkunde 5.1 ed - Hoofdstuk 15 - Quantumwereld oefentoetsen & antwoorden

Gegeven: $\lambda= 500 \ nm = 500 \cdot 10^{-9} \ m$$h = 6,62607 \cdot 10^{-34}\ Js$ (BiNaS tabel 7A) Gevraagd: $E_f = ?$Formule: $E_f=\frac{h \cdot c}{\lambda}$Berekening: $E_f = \frac{ 6,62607 \cdot 10^{-34} \ Js \times 2,997.. \cdot 10^{-9} \ m/s }{500 \cdot 10^{-9} m} = 3,973 \cdot 10^{-19} \ J$Omrekenen naar eV: deel door $1,602\cdot 10^{-19} \ J/eV$ (uit BiNaS tabel 5). $E_f = \frac{3,973 \cdot 10^{-19} \ J}{1,602\cdot 10^{-19} \ J/eV} = 2,48… \ eV$Conclusie: De fotonenergie is ongeveer 2,48 eV.Gegeven: $\lambda= 0,20 \ nm = 0,20 \cdot 10^{-9} m$, $m\ neutron=1,674…\cdot 10^{-27} \ kg$ (BiNaS tabel 7B)$h = 6,62607 \cdot 10^{-34}\ Js$ (BiNaS tabel 7A)Gevraagd: $v=?$Formule: $\lambda = \frac{h}{m \cdot v} \to v = \frac{h}{m \cdot \lambda}$Berekening: $v= \frac{h}{m\cdot \lambda} = \frac{6,626\cdot 10^{-34} \ Js}{1,674…\cdot 10^{-27} \ kg \times 0,20 \cdot 10^{-9} \ m} \approx 1,98 \cdot 10^3 \ m/s$Conclusie: De snelheid is ongeveer $1,98 \cdot 10^3 \ m/s$. Het deeltjeskarakter van een elektron zorgt ervoor dat het deeltje beïnvloed kan worden door een kracht, in dit geval de lorentzkracht. Diffractie is een ander woord voor buiging. Dit laat dus het golfkarakter van elektronen zien. Bij gammastraling gedragen fotonen zich als deeltje, waardoor ze met elektronen kunnen ‘botsen’ en zo een atoom kunnen ioniseren.  Werkwijze: we moeten de golflengte berekenen om te laten zien dat het om geel licht gaat. Dat heeft een golflengte van ongeveer 580 nm. (BiNaS tabel 19A)Gegeven: 420 lijnen per mm → $d = \frac{1 \cdot 10^{-3}}{420} \approx 2,38 \cdot 10^{-6} \ m$$\alpha_1 =14 ^\circ$ voor $n=1$Gevraagd: $\lambda = ?$Formule: $d \cdot \sin \alpha_n=n \cdot \lambda \to \lambda = \frac{d \cdot \sin \alpha_n}{n}$Berekening: $ \lambda = \frac{d \cdot \sin \alpha_n}{n} = \frac{2,38 \cdot 10^{-6} \cdot \sin 14}{1} \approx 5,76 \cdot 10^{-7} \ m \approx 576 \ nm$.Conclusie: De golflengte van het gebruikte licht is 576 nm. Dat komt overeen met geel licht (ongeveer 580 nm).  Blauw licht heeft een kleinere golflengte dan geel licht. (Zie eventueel BiNaS tabel 19A). Uit de formule $d \cdot \sin \alpha_n=n \cdot \lambda$ volgt dat een kleinere golflengte zorgt voor een kleinere hoek.De maxima in het interferentiepatroon zullen dus dichter bij elkaar liggen. Werkwijze: bereken het energieverschil $E_4-E_2$ en laat zien dat bij dit energieverschil een golflengte hoort van 486 nm.Gegeven: n = 4 en n = 2$m = 9,109 \cdot 10^{-31}$ kg, want een elektron zit opgesloten in de energieput$h = 6,62607 \cdot 10^{-34}\ Js$ (BiNaS tabel 7A)$c=2,997.. \cdot 10^8 \ m/s$ (BiNaS tabel 7A)Gevraagd: $\lambda = ? \ nm$Formule: Energieniveaus van het waterstofatoom: $E_n = -\frac{13,6}{n^2}$ in eVFotonenergie: $E_f=\frac{hc}{\lambda} \to \lambda = \frac{hc}{E_f}$Berekening: Energieverschil tussen $n=4$ en $n=2$: $E_{4}-E_{2} = -\frac{13,6}{4^2}--\frac{13,6}{2^2}=2,55 \ eV$ Omrekenen naar J: vermenigvuldig met $1,602\cdot 10^{-19} \ J/eV$. $E_f = 2,55 \cdot 1,602\cdot 10^{-19}= 4,086… \cdot 10^{-19} \ J$Golflengte foton berekenen: $lambda = \frac{hc}{E_f} = \frac{ 6,62607 \cdot 10^{-34} \cdot 2,997.. \cdot 10^8 \ m/s}{ 4,086… \cdot 10^{-19} \ J} = 4,86… \cdot 10^{-7} \ m \approx 486 \ nm $Conclusie: De lichtblauwe band in het emissiespectrum hoort inderdaad bij de overgang van energieniveau $n=4$ naar $n=2$. De elektronen in het waterstofatoom hebben discrete energieovergangen (ze komen alleen in discrete energieniveaus voor, zoals beschreven door de formule $E_n=-\frac{13,6}{n^2}$, en veranderingen van energieniveau komen dus ook in discrete stappen voor). Daardoor vindt de emissie (of absorbtie) alleen bij bepaalde fotonenergieën plaats. Dat geeft een discreet spectrum. Bij een bandenspectrum horen (vrijwel) continue overgangen, eventueel met een band gap ertussen.  Gegeven: $L = 5,0 \cdot 10^{-10} \ m$$m =9,109 \cdot 10^{-31} \ kg$ (BiNas tabel 7B)$h = 6,62607 \cdot 10^{-34}\ Js$ (BiNaS tabel 7A)Gevraagd: $E_1 = ?$ (het laagste energieniveau is $n=1$)Formule: $E_n=n^2 \cdot \frac{h^2}{8m \cdot L^2}$Berekening: $E_1=1^2 \cdot \frac{(6,626 \cdot 10^{-34} \ Js)^2}{8 \cdot 9.109 \cdot 10^{-31} \ kg  \cdot (5,0 \cdot 10^{-10} \ m)^2} = 2,4 \cdot 10^{-19} \ J$$E_1 = \frac{2,4 \cdot 10^{-19} \ J}{1,602\cdot 10^{-19} \ J/eV} = 1,5… \ eV$Conclusie: Het laagste energieniveau is 1,5 eV. De tunnelingkans hangt af van de dikte van de barrière, dus je kunt de wanden van het doosje minder dik maken. Ook kun je de wanden minder hoog maken, omdat de tunnelingkans groter wordt bij een minder hoge barrière. Bij de rechter figuur zijn de fotonen in fase. (Alle fotonen zijn identiek). Er is sprake van constructieve interferentie. De golven versterken elkaar, en daardoor wordt de totale amplitude en dus de laserintensiteit groot. Dit is niet zo bij een gewone lichtbron (daar is juist destructieve interferentie). In de tekst staat dat de aangeslagen moleculen eerst een deel van hun energie afgeven. Er blijft dus minder energie over voor het terugvallen naar een lagere toestand (en dus voor de emissie van fotonen). Uit de formule voor de fotonenergie, $E_f= \frac{hc}{\lambda}$, volgt dat bij een lagere energie een grotere golflengte hoort. De piek bij het emissiespectrum is dus naar rechts verschoven.  Voor het uitsluitingsprincipe van Pauli geldt dat zich maar één deeltje in elke quantumtoestand kan bevinden. Bij elk energieniveau horen twee quantumtoestanden. Er bevinden zich dus maximaal twee elektronen per energieniveau. Dit komt overeen met de figuur. Uit de figuur valt af te lezen dat er een verschil van 2,75 eV is tussen de twee energieniveaus. Dit verschil is gelijk aan de energie van het foton als hij terugvalt van n = 12 naar n = 11.  Gegeven: $E = 2,75 \ eV$$h = 6,62607 \cdot 10^{-34}\ Js$ (BiNaS tabel 7A)$c = 2,998 \cdot 10^8\ m/s$ (BiNaS tabel 7A)Gevraagd: $\lambda = ?\ (nm)$Formule: $E = \frac{hc}{\lambda} \to \lambda = \frac{hc}{E}$Berekening: Energie omrekenen naar J: vermenigvuldig met $1,602\cdot 10^{-19} \ J/eV$ (uit BiNaS tabel 5): $2,75/ eV \cdot 1,602\cdot 10^{-19} \ J/eV = 4,41 \cdot 10^{-19} \ J$$\lambda = \frac{hc}{E} = \frac{6,626 \cdot 10^{-34} \cdot 2,998 \cdot 10^8}{4,41 \cdot 10^{-19}} = 4,51 \cdot 10^{-7} \ m$Conclusie: Er wordt straling geabsorbeerd met een golflengte van 451 nm. Dit is een deeltje in een eendimensionaal doosje, met een energieverschil $E_{12}-E_{11}=2,75 \ eV$.Gegeven: $E_{12}-E_{11} = 2,75 \ eV = 4,41 \cdot 10^{-19} \ J$n = 11 en n = 12 $m = 9,109 \cdot 10^{-31}$ kg, want een elektron zit opgesloten in de energieput$h = 6,62607 \cdot 10^{-34}\ Js$ (zie BiNaS tabel 7A)Gevraagd: $L = ? \ m$Formule: Voor elk energieniveau geldt: $E_n = n^2 \cdot \frac{h^2}{8mL^2}$Berekening: $E_{12}-E_{11} = 12^2 \cdot \frac{h^2}{8mL^2} - 11^2 \cdot \frac{h^2}{8mL^2} = (12^2 - 11^2) \cdot \frac{h^2}{8mL^2}$ Omschrijven en invullen geeft: $L = \sqrt \frac{(12^2 - 11^2) \cdot h^2}{8m \cdot (E_{12}-E_{11})} = \sqrt \frac{(12^2 - 11^2) \cdot (6,626 \cdot 10^{-34})^2}{8 \cdot 9,109 \cdot 10^{-31} \cdot 4,41 \cdot 10^{-19}} = 1,77 \cdot 10^{-9} \ m$Conclusie: Lengte L is $1,77 \cdot 10^{-9}$ m.  Uit het uitsluitingsprincipe van Pauli blijkt dat alleen overgangen met n lager dan 11 niet mogelijk zijn (want bij een eendimensionaal deeltje in een doosje zit elk niveau vol als er twee deeltjes zijn, één deeltje met spin up en één met spin down. In de figuur is te zien dat in niveaus 1 t/m 11 al twee deeltjes zitten). Dat betekent dat er alleen fotonenergieën groter dan 2,75 eV mogelijk zijn. In Binas Tabel 19A is te zien dat infrarood licht een energie heeft lager dan 2,75 eV en ultraviolet een energie groter dan 2,75 eV. Ultraviolet licht kan dus wel geabsorbeerd worden en infrarood licht niet.   De straling van de zon bevat een heel (continu) spectrum aan golflengten, en dus een heel spectrum aan mogelijke fotonenergieën. Bij een stof met een band gap zijn er vrijwel continue energiebanden (met ertussen een band gap). Daarom kan zo’n stof heel veel mogelijkheden om straling te absorberen. Toelichting: Hieronder zie je de energieniveaus van een stof met discrete energieniveaus (rechts) en een band gap (links). De stof links heeft veel meer energieniveaus en kan dus fotonen met veel meer verschillende golflengtes absorberen. Werkwijze: Bereken eerst de minimale energie van schadelijk UV-B licht en van zichtbaar licht. Elke stof kan fotonen absorberen met een energie die gelijk is of groter dan hun band gap, dus we zoeken een stof met een band gap kleiner dan de energie van UV-B (dan wordt alle UV-B geabsorbeerd) en groter dan van zichtbaar licht (dan wordt zichtbaar licht niet geabsorbeerd).Gegeven: $\lambda_{UV-B}=330 \ nm = 330 \cdot 10^{-9} \ m$$\lambda_{zichtbaar\ licht}=380 \ nm = 380 \cdot 10^{-9} \ m$$h = 6,62607 \cdot 10^{-34}\ Js$ (zie BiNaS tabel 7A)$c = 2,998 \cdot 10^8\ m/s$ (BiNaS tabel 7A)Gevraagd:$E_f=?$Formule:$E_f=\frac{hc}{\lambda}$Berekening:UV-B$E_f = \frac{ 6,62607 \cdot 10^{-34} \ Js \times 2,997.. \cdot 10^8 \ m/s }{330 \cdot 10^{-9} m} = 6,02 \cdot 10^{-19} \ J $$E_f = \frac{6,02 \cdot 10^{-19} \ J}{1,602\cdot 10^{-19} \ J/eV} \approx 3,76 \ eV$.Zichtbaar licht$E_f = \frac{ 6,62607 \cdot 10^{-34} \ Js \times 2,997.. \cdot 10^8 \ m/s }{380 \cdot 10^{-9} m} = 5,23 \cdot 10^{-19} \ J $$E_f = \frac{5,23 \cdot 10^{-19} \ J}{1,602\cdot 10^{-19} \ J/eV} \approx 3,26 \ eV$.We moeten dus een stof vinden met een band gap van minstens 3,26 eV (dan wordt zichtbaar licht niet geabsorbeerd) en maximaal 3,76 eV (dan wordt alle UV-B geabsorbeerd). Conclusie:Galliumoxide heeft een te hoge band gap energie en voldoet niet. Zilveroxide heeft een te kleine band gap energie en voldoet ook niet. Alleen titaandioxide voldoet en is geschikt voor zonnebrandcrème.