Polaris Natuurkunde - Hoofdstuk 11 - Atoomfysica oefentoetsen & antwoorden

De golflengte $(\lambda)$ en frequentie $(f)$ van elektromagnetische straling zijn met elkaar verbonden door de lichtsnelheid \(c\):  \(c = \lambda f\)Omdat de lichtsnelheid in vacuüm constant is (\(c \approx 3{,}00 \times 10^8\) m/s), betekent dit dat als de golflengte groter wordt, de frequentie kleiner wordt, en omgekeerd. Daarom maakt het niet uit welke van de twee gegeven wordt, want met één van de waarden kan de andere direct berekend worden.De totale intensiteit neemt toe: Het oppervlak onder de kromme wordt groter, wat betekent dat het voorwerp meer straling uitzendt.     De piekgolflengte verschuift naar kortere golflengten: Volgens de wet van Wien geldt: $\lambda_{\text{max}} = \frac{b}{T}$ waarbij \(b\) de constante van Wien is. Dit betekent dat bij een hogere temperatuur het maximum van de uitgezonden straling naar een kortere golflengte verschuift, waardoor de kleur van een gloeiend voorwerp bijvoorbeeld van rood naar blauw kan veranderen.Als de energie van een foton groter wordt,  dan wordt de golflengte van het foton kleiner.dan wordt de frequentie van het foton groter. dan blijft de snelheid van het foton gelijk (in vacuüm altijd \(c\)).Normaal gesproken is een emissiespectrum het omgekeerde van een absorptiespectrum: een gas dat bepaalde golflengten absorbeert, zal dezelfde golflengten uitzenden wanneer het weer afkoelt. Sommige materialen echter absorberen fotonen van een bepaalde golflengte en zenden meerdere fotonen uit op een langere golflengte (bijvoorbeeld UV-absorptie gevolgd door zichtbare emissie).In dat geval komt de emissie niet exact overeen met de geabsorbeerde straling. Gegeven:\( f = 2{,}45 \times 10^9 \text{ Hz} \)\( c = 3{,}00 \times 10^8 \text{ m/s} \) (zie Binas tabel 7A) Gevraagd:De afstand tussen twee smeltplekken (d) in de chocoladeFormules:De golflengte \(\lambda\) van de microgolven wordt bepaald met de formule:\(\lambda = \frac{c}{f}\)De afstand is de helft van de golflengte:\( d = \frac{\lambda}{2}\)Berekening:\(\lambda = \frac{c}{f}\)\(\lambda = \frac{3{,}00 \times 10^8}{2{,}45 \times 10^9}\)\(\lambda \approx 0{,}122 \text{ m} = 12{,}2 \text{ cm}\)De afstand tussen twee smeltplekken in de chocolade komt overeen met een halve golflengte:\( d = \frac{\lambda}{2}\)\(d = \frac{12{,}2}{2} = 6{,}1 \text{ cm}\)Conclusie: De afstand tussen twee smeltplekken is 6,1 cm. Een planck-kromme is een overzicht van de intensiteiten van een continu spectrum. Elk voorwerp zendt een continu spectrum uit ten gevolge van zijn temperatuur. Gegeven:\(T = 1200^\circ \text{C} + 273 = 1473 \text{ K}\)Gevraagd:\(\lambda_{\text{max}}\)Formules:\(\lambda_{\text{max}} = \frac{k_{w}}{T}\)Berekening:\(\lambda_{\text{max}} = \frac{2{,}898 \times 10^{-3}}{1473}\)\(\lambda_{\text{max}} \approx 1{,}97 \times 10^{-6} \text{ m} = 1{,}97 \text{ µm} = 1967 \text{ nm}\)Conclusie:De meest voorkomende golflengte bij een temperatuur van \( 1200^\circ \)C is ongeveer \(\mathbf{1{,}97}\) µm (\(\mathbf{1967}\) nm). (Wat in het infrarode spectrum valt.)De top ligt in het infrarode spectrum. Dit betekent dat de hoogste intensiteit van de straling zich in het infrarood bevindt, wat niet zichtbaar is voor het menselijk oog.  Echter, een gloeiende spijker straalt ook een klein deel van zijn energie uit in het zichtbare spectrum. Bij \( 1200^\circ \)C is het voorwerp roodgloeiend. De kleur is dus overwegend rood, omdat het meeste zichtbare licht aan de lange golflengte (rode) kant van het spectrum zit.Het rendement wordt geschat door de oppervlakte onder de Planck-kromme te berekenen voor het zichtbare bereik (400-700 nm) en dit te delen door de totale uitgestraalde energie.Uit de oppervlakte onder de Planck-kromme blijkt dat ongeveer 1-2% van de uitgestraalde energie van een zwart straler bij 1200°C binnen het zichtbare spectrum valt. (schatting)De rest van de energie zit voornamelijk in het infrarood (onbruikbaar voor zichtbaar licht). Gegeven:\( \lambda = 656,3 \times 10^{-9} \) m.\( h = 6,626 \times 10^{-34} \) J·s (constante van Planck) (Binas tabel 7A)\( c = 3,00 \times 10^8 \) m/s (lichtsnelheid) (Binas tabel 7A)Gevraagd:\( E \) eVFormule:\( E = \frac{hc}{\lambda}\)Berekening:\(E = \frac{(6,626 \times 10^{-34}) (3,00 \times 10^8)}{656,3 \times 10^{-9}}\)\(= \frac{1,9878 \times 10^{-25}}{656,3 \times 10^{-9}}\)\(= 3,03 \times 10^{-19} \text{ J}\)Om de energie in eV te krijgen, delen we door de elementaire lading (\( e = 1,602 \times 10^{-19} \) C):\(E = \frac{3,03 \times 10^{-19}}{1,602 \times 10^{-19}}\)\(E = 1,89 \text{ eV}\)Conclusie:\( E=1,89\) eVAls Hα wordt uitgezonden als onderdeel van het emissiespectrum dan is deze lijn (naast andere spectraallijnen) wel aanwezig. Dat betekent dat het golflengtes zijn die eerst geabsorbeerd uit een continu spectrum van een thermische straler en later in willekeurige richtingen weer worden uitgezonden. Als de Balmerreeks de zichtbare kleuren zijn in het emissiespectrum van waterstof dan is de Hβ-lijn met 486,1 nm daar een onderdeel van omdat het zichtbare gebied van 400-700 nm loopt.Als de intensiteit gelijk is, betekent dit dat de totale energie per golflengte per vierkante meter gelijk is. Als de golflengte van Hβ korter is dan die van Hα dan betekent dit dat de energie per foton groter is. Daarmee zijn er minder Hβ-fotonen nodig voor dezelfde intensiteit ten opzichte van Hα. Gegeven:De energie van de grondtoestand (n=1) is -13,60 eV en die van het 4e energieniveau (n=4) is -0,85 eVGevraagd:De golflengte (nm) die nodig is om een elektron te laten aanslaan van n=1 naar n=4.Formules:E=h⋅cλ→λ=h⋅cEverschilE = \frac{h \cdot c}{\lambda} \rightarrow \lambda = \frac{h \cdot c}{E_{\text{verschil}}} E=λh⋅c​→λ=Everschil​h⋅c​Berekening:Everschil=12,75 eVE_{\text{verschil}} = 12{,}75 \, \text{eV}Everschil​=12,75eVEverschil=12,75 eV×1,602×10−19 J/eV=2,04×10−18 JE_{\text{verschil}} = 12{,}75 \, \text{eV} \times 1{,}602 \times 10^{-19} \, \text{J/eV} = 2{,}04 \times 10^{-18} \, \text{J}Everschil​=12,75eV×1,602×10−19J/eV=2,04×10−18Jλ=(6,626×10−34 J⋅s)⋅(3,00×108 m/s)2,04×10−18 J\lambda = \frac{(6{,}626 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}) \cdot (3{,}00 \times 10^8 \, \text{m/s})}{2{,}04 \times 10^{-18} \, \text{J}}λ=2,04×10−18J(6,626×10−34J⋅s)⋅(3,00×108m/s)​λ=9,75×10−8 m=97,5 nm\lambda = 9{,}75 \times 10^{-8} \, \text{m} = 97{,}5 \, \text{nm}λ=9,75×10−8m=97,5nmConclusie:Dus de golflengte van het foton die nodig is om een elektron van de grondtoestand naar het 4e energieniveau van waterstof te brengen is λ=97,5 nm \lambda = 97{,}5 \, \text{nm} λ=97,5nm.Mogelijkheid 1: rechtstreeks (van 4 naar 1)Mogelijkheid 2: via 3 (van 4 naar 3 naar 1)Mogelijkheid 3: via 2 (van 4 naar 2 naar 1)Mogelijkheid 4: via 2 en 3 (van 4 naar 3 naar 2 naar 1), de laatste mogelijkheid levert echter geen nieuwe fotonen op. Gegeven:De grootste golflengte hoort bij de kleinste energie. Dat is in dit geval de overgang van n=4 naar n=3. De bijbehorende energie is 1,51-0,85 is 0,66 eVGevraagd:E=h⋅cλ→λ=h⋅cEverschilE = \frac{h \cdot c}{\lambda} \rightarrow \lambda = \frac{h \cdot c}{E_{\text{verschil}}} E=λh⋅c​→λ=Everschil​h⋅c​Formules:E=h⋅cλ→λ=h⋅cEverschilE = \frac{h \cdot c}{\lambda} \rightarrow \lambda = \frac{h \cdot c}{E_{\text{verschil}}} E=λh⋅c​→λ=Everschil​h⋅c​Berekening:Everschil=0,66 eVE_{\text{verschil}} = 0{,}66 \, \text{eV}Everschil​=0,66eVEverschil=0,66 eV×1,602×10−19 J/eV=1,057×10−19 JE_{\text{verschil}} = 0{,}66 \, \text{eV} \times 1{,}602 \times 10^{-19} \, \text{J/eV} = 1{,}057 \times 10^{-19} \, \text{J}Everschil​=0,66eV×1,602×10−19J/eV=1,057×10−19Jλ=(6,626×10−34 J⋅s)⋅(3,00×108 m/s)1,057×10−19 J\lambda = \frac{(6{,}626 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}) \cdot (3{,}00 \times 10^8 \, \text{m/s})}{1{,}057 \times 10^{-19} \, \text{J}}λ=1,057×10−19J(6,626×10−34J⋅s)⋅(3,00×108m/s)​λ=1,88×10−6 m=1,88 μm\lambda = 1{,}88 \times 10^{-6} \, \text{m} = 1{,}88 \, \mu m λ=1,88×10−6m=1,88μmConclusie:dus de grootst mogelijke golflengte die mogelijk is met deze overgangen (n=1 tot en met  n=4) is 1,88 μm 1,88\, \mu m 1,88μm. Gegeven:\( T=10 \times 10^4 \) KGevraagd:\(\lambda_{\text{max}} \)Formules:\( \lambda_{\text{max}} = \frac{k_w}{T} \)Berekening:\( \lambda_{\text{max}} = \frac{k_w}{T} = \frac{2{,}898 \times 10^{-3} \, \text{m} \cdot \text{K}}{10 \times 10^4 \, \text{K}} = 2{,}898 \times 10^{-7} \, \text{m} = 289{,}8 \, \text{nm} \)Conclusie:Een golflengte van 290 nm ligt in het UV-gebied.Ondanks dat de piek in het UV-gebied ligt zendt het ook licht uit in het zichtbare gebied van het EM-spectrum. Daarmee is de ster ook voor het blote oog zichtbaar.Als de gaswolk tussen Sirius A en de Aarde in zit dan worden er golflengtes geabsorbeerd. Daar worden dan de fotonen met een golflengte van 53,7 nm geabsorbeerd. Op Aarde is dit zichtbaar als zwarte lijnen in een absorptiespectrum.Het aantal verschillende golflengten kun je afleiden uit het aantal mogelijke overgangen binnen de eerste vier energieniveaus:van n=4 naar n=1van n=4 naar n=2van n=4 naar n=3van n=3 naar n=1van n=3 naar n=2van n=2 naar n=1Dit geeft 6 verschillende mogelijkheden en dus ook 6 verschillende golflengtes.Gegeven:De golflengte \( \lambda \) van het foton dat wordt opgenomen is \( \lambda = 53{,}7 \, \text{nm} \)De golflengte van 1 van de 2 uitgezonden fotonen is: \( \lambda = 667{,}8 \, \text{nm} \)gevraagd:De golflengte \( \lambda \) van het resterende foton.Formules:De energie van het geabsorbeerde foton en de uitgezonden fotonen is gerelateerd aan hun golflengtes \( \lambda \) door de formule:\( E = \frac{hc}{\lambda} \)De som van de energieën van de uitgezonden fotonen moet gelijk zijn aan de energie van het opgenomen foton. Berekening:\(E_{\text{absorptie}} = \frac{(6{,}626 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}) \cdot (3{,}00 \times 10^8 \, \text{m/s})}{53{,}7 \times 10^{-9} \, \text{m}} \)\( E_{\text{absorptie}} = 3{,}69 \times 10^{-18} \, \text{J} \)Stel dat dit foton in twee stappen wordt uitgezonden, waarbij een van de fotonen een golflengte van \( 667{,}8 \, \text{nm} \) heeft. De energie van dit foton kan worden berekend met de formule:\( E_1 = \frac{hc}{\lambda_1} = \frac{(6{,}626 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}) \cdot (3{,}00 \times 10^8 \, \text{m/s})}{667{,}8 \times 10^{-9} \, \text{m}} = 2{,}97 \times 10^{-19} \, \text{J} \)Aangezien de totale energie van de geabsorbeerde foton gelijk moet zijn aan de som van de twee uitgezonden fotonen, kan de energie van het tweede foton worden berekend als:\(E_2 = E_{\text{absorptie}} - E_1 = 3{,}69 \times 10^{-18} \, \text{J} - 2{,}97 \times 10^{-19} \, \text{J} = 3{,}39 \times 10^{-18} \, \text{J} \)Nu kunnen we de golflengte van het tweede foton berekenen:\( \lambda_2 = \frac{hc}{E_2} = \frac{(6{,}626 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}) \cdot (3{,}00 \times 10^8 \, \text{m/s})}{3{,}39 \times 10^{-18} \, \text{J}} \)\( \lambda_2 = 5{,}87 \times 10^{-7} \, \text{m} = 587 \, \text{nm} \)Conclusie:De golflengte van het andere foton is dus \( \lambda_2 = 587 \, \text{nm} \). Gegeven:\( \lambda_{max} = 620 nm \)Gevraagd:\( T \) in KelvinFormules:\( k_W= \lambda_{max} \cdot T \)Berekening:\( k_W= \lambda_{max} \cdot T \)\( T= \frac{k_W}{\lambda_{max}}=\frac {2,898 \times 10^{-3}}{620} \times 10^{-9} \)\( T= 4674 \text{ K} \) Conclusie:De temperatuur is \( 4,7\cdot10^3 \text{ K} \)Gegeven:Drempelspanning van de LED: \( V_T = 2.00 \) VGolflengte van het uitgezonden licht: \( \lambda = 620 \) nm \( = 620 \times 10^{-9} \) mGevraagd:De constante van Planck (h)Formules:De energie van een foton is gelijk aan:\( E = h \frac{c}{\lambda} \)Deze energie komt overeen met de elektrische energie van een elektron in de LED: \( E = q \cdot U \)Berekening:Door deze twee vergelijkingen aan elkaar gelijk te stellen:\(  q \cdot U = h \frac{c}{\lambda} \)Herleiden naar \( h \):\( h = \frac{q \cdot U \cdot \lambda}{c} \)\( h = \frac{(1.602 \times 10^{-19}) \times (2.00) \times (620 \times 10^{-9})}{3.00 \times 10^8} \)\( h= \frac{1.98648 \times 10^{-25}}{3.00 \times 10^8}= 6.62 \times 10^{-34} \) J·sConclusie:De berekende waarde van de constante van Planck is:\( h \approx 6.62 \times 10^{-34} \) J·sDit ligt zeer dicht bij de algemeen aanvaarde waarde van \( 6.626 \times 10^{-34} \) J·s.Het verband tussen de spanning en de stroom is wel een rechte lijn maar deze gaat niet door de oorsprong. Daarmee is het ook geen recht evenredig verband. (maar een lineair verband)Omdat er een spreiding in golflengtes is zal er geen duidelijke lijn zichtbaar zijn maar meer een gebied wat oplicht in het emissiespectrum rond de 620 nm.