Getal en Ruimte 13e ed deel 2 - Hoofdstuk 6 - Goniometrie oefentoetsen & antwoorden

We gebruiken de formule: $hellingsgetal=\frac{verticale\ verplaatsing}{horizontale\ verplaatsing}$Bereken het hellingsgetal.Gebruik: $hellingsgetal=hellingspercentage:100$$hellingsgetal=31:100=0,31$De verticale verplaatsing is 12, het hellingsgetal is 0,31, we vullen dit in. De horizontale verplaatsing willen we weten. $0,31=\frac{12}{horizontale\ verplaatsing}$Maak een tabel.$0,31$121Horizontale verplaatsing$horizontale\ verplaatsing=\frac{12}{0,31}$$horizontale\ verplaatsing=38,709…$Antwoord: 38,7 meter Gebruik de formule: tan⁡(hellingshoek)=verticale verplaatsinghorizontale verplaatsing\tan(hellingshoek)=\frac{verticale\ verplaatsing}{horizontale\ verplaatsing}tan(hellingshoek)=horizontale verplaatsingverticale verplaatsing​De hellingshoek is 27∘27 ^\circ27∘, de horizontale verplaatsing is 1203 meter. Maak een schets.Vul de waarden in de formule in. BCBCBC is de verticale verplaatsingABABAB is de horizontale verplaatsingtan⁡(27∘)=verticale verplaatsing1203\tan(27^\circ)=\frac{verticale\ verplaatsing}{1203}tan(27∘)=1203verticale verplaatsing​Maak een tabel.tan⁡(27)\tan(27)tan(27)verticale verplaatsing11203verticale verplaatsing=tan⁡(27∘)⋅1203verticale\ verplaatsing=\tan(27^\circ)\cdot 1203verticale verplaatsing=tan(27∘)⋅1203verticale verplaatsing=612,95…verticale\ verplaatsing=612,95…verticale verplaatsing=612,95… meterAntwoord: 613 meterWe kunnen de lengte van de helling berekenen met behulp van Pythagoras. AB2+BC2=AC2AB^2+BC^2=AC^2AB2+BC2=AC2AB=1203AB=1203AB=1203BC=612,95…BC=612,95…BC=612,95… (zie opgave a)12032+612,95…2=AC21203^2+612,95…^2=AC^212032+612,95…2=AC2AC2=1822927,878…AC^2=1822927,878…AC2=1822927,878…AC=1822927,878…=1350,15…AC=\sqrt{1822927,878…}=1350,15…AC=1822927,878…​=1350,15… meterJe had ook de lengte van ACACAC met de cosinus kunnen berekenen. Dan zou je ook op onderstaand antwoord uit moeten komen als je het goed hebt gedaan.Antwoord: De helling is 1350 meter ∠A12\angle A_{12}∠A12​ ligt niet in een rechthoekige driehoek, we berekenen dus ∠A1\angle A_1∠A1​ en ∠A2\angle A_2∠A2​ afzonderlijk en tellen deze op zodat we ∠A12\angle A_{12}∠A12​ hebben. We moeten hoek A1A_1A1​ weten, we kijken vanuit hoek A1A_1A1​ en benoemen de zijden.∠A1\angle A_1∠A1​ ligt in △ABD\triangle ABD△ABD dus we kijken in deze driehoek.De schuine zijde benoem je altijd als eerste. Dit is de zijde tegenover de rechte hoek. Vervolgens kijken we vanuit hoek A1A_1A1​, want deze willen we weten. Welke zijde ligt vast aan hoek A1A_1A1​? Deze noemen we de aanliggende zijde.Welke zijde ligt tegenover hoek A1A_1A1​? Dit noemen we de overstaande zijde.We gebruiken SOSCASTOA.We willen hoek A1A_1A1​ weten, en weten de overstaande zijde en de aanliggende zijde. SOSCASTOASOSCAS\red{TOA}SOSCASTOATOATOATOA staat voor tan⁡(hoek)=oa\tan(hoek)=\frac{o}{a}tan(hoek)=ao​tan⁡(∠A1)=4,68,1\tan(\angle A_1)=\frac{4,6}{8,1}tan(∠A1​)=8,14,6​∠A1=tan⁡−1(4,68,1)=29,59…∘\angle A_1=\tan^{-1}(\frac{4,6}{8,1})=29,59…^\circ∠A1​=tan−1(8,14,6​)=29,59…∘We moeten hoek A2A_2A2​ weten, we kijken vanuit hoek A2A_2A2​ en benoemen de zijden.∠A2\angle A_2∠A2​ ligt in △ABC\triangle ABC△ABC dus we kijken in deze driehoek.De schuine zijde benoem je altijd als eerste. Dit is de zijde tegenover de rechte hoek. Vervolgens kijken we vanuit hoek A2A_2A2​, want deze willen we weten. Welke zijde ligt vast aan hoek A2A_2A2​? Deze noemen we de aanliggende zijde.Welke zijde ligt tegenover hoek A2A_2A2​? Dit noemen we de overstaande zijde.De lengte van de overstaande zijde, zijde BCBCBC kunnen we berekenen, BC=10,5−4,6=5,9BC=10,5-4,6=5,9BC=10,5−4,6=5,9We gebruiken SOSCASTOA.We willen hoek A2A_2A2​ weten, en weten de overstaande zijde en de aanliggende zijde. SOSCASTOASOSCAS\red{TOA}SOSCASTOATOATOATOA staat voor tan⁡(hoek)=oa\tan(hoek)=\frac{o}{a}tan(hoek)=ao​tan⁡(∠A2)=5,98,1\tan(\angle A_2)=\frac{5,9}{8,1}tan(∠A2​)=8,15,9​∠A2=tan⁡−1(5,98,1)=36,06…∘\angle A_2=\tan^{-1}(\frac{5,9}{8,1})=36,06…^\circ∠A2​=tan−1(8,15,9​)=36,06…∘∠A12=∠A1+∠A2=29,59…+36,06…=65,66…∘\angle A_{12}=\angle A_1+\angle A_2=29,59…+36,06…=65,66…^\circ∠A12​=∠A1​+∠A2​=29,59…+36,06…=65,66…∘Antwoord: ∠A12=65,7∘\angle A_{12}=65,7^\circ∠A12​=65,7∘ Benoem de zijden.De schuine zijde benoem je altijd als eerste. Dit is de zijde tegenover de rechte hoek. Vervolgens kijken we vanuit hoek $M$, want deze willen we weten.Welke zijde ligt vast aan hoek $M$? Deze noemen we de aanliggende zijde.Welke zijde ligt tegenover hoek $M$? Dit noemen we de overstaande zijde.We gebruiken SOSCASTOA.We willen $\angle M$ weten, we weten de overstaande en schuine zijde. $\red{SOS}CASTOA$$SOS$ staat voor $\sin(hoek)=\frac{o}{s}$$\sin(\angle M)=\frac{LM}{KM}$$\sin(\angle M)=\frac{5,54}{9,64}$Bereken hoek $M$.$\angle M=\sin^{-1}(\frac{5,54}{9,64})=35,07…^\circ$Antwoord: $\angle M=35,1^\circ$ Maak een schets van de beschreven driehoek.We benoemen de zijden.De schuine zijde benoem je altijd als eerste. Dit is de zijde tegenover de rechte hoek. Vervolgens kijken we vanuit de hoek $Q$, want deze weten we.  Welke zijde ligt vast aan de hoek? Deze noemen we de aanliggende zijde.Welke zijde ligt tegenover de hoek? Dit noemen we de overstaande zijde.We gebruiken nu SOSCASTOA. We willen de overstaande zijde weten, we weten de schuine zijde en de hoek. $\red{SOS}CASTOA$$SOS$ staat voor $\sin(hoek)=\frac{o}{s}$$\sin(15)=\frac{PR}{31}$Maak een tabel.$\sin(15)$PR131$PR=\sin(15)\cdot 31=8,02…$Antwoord: $PR=8,0$ Gebruik de formule: $hellingspercentage=\frac{verticale\ verplaatsing}{horizontale\ verplaatsing}\cdot 100\%$Bereken de verticale verplaatsing.De starthoogte is 275 m en de eindhoogte is 805 m, de verticale verplaatsing is dus $805-275=530\ m$De horizontale verplaatsing is 8700 meter. $hellingspercentage=\frac{530}{8700}\cdot 100\%=6,1\%$Antwoord: Het hellingspercentage is $6,1\%$ Teken een hulplijn zodat je een rechthoekige driehoek hebt. Doordat het vooraanzicht symmetrisch is kunnen we de zijde van de driehoek berekenen door 7:2=3,5 m7:2=3,5\ m7:2=3,5 mDe hoogte kunnen we berekenen door: 7,5−5=2,5 m7,5-5=2,5\ m7,5−5=2,5 m tan⁡(hellingshoek)=hellingsgetal\tan(hellingshoek)=hellingsgetaltan(hellingshoek)=hellingsgetalhellingsgetal=verticale verplaatsinghorizontale verplaatsinghellingsgetal=\frac{verticale\ verplaatsing}{horizontale\ verplaatsing}hellingsgetal=horizontale verplaatsingverticale verplaatsing​hellingsgetal=2,53,5hellingsgetal=\frac{2,5}{3,5}hellingsgetal=3,52,5​tan⁡(hellingshoek)=2,53,5\tan(hellingshoek)=\frac{2,5}{3,5}tan(hellingshoek)=3,52,5​hellingshoek=tan⁡−1(2,53,5)=35,53…∘hellingshoek=\tan^{-1}(\frac{2,5}{3,5})=35,53…^\circhellingshoek=tan−1(3,52,5​)=35,53…∘Antwoord: De hellingshoek is 35,5∘35,5^\circ35,5∘ We hebben de lengten van zijden CDCDCD en ADADAD nodig, beide zijden liggen in driehoek ACDACDACD. Als we de lengte van zijde ACACAC in △ABC\triangle ABC△ABC berekenen met de stelling van Pythagoras kunnen we vervolgens in driehoek ACDACDACD SOSCASTOA. ∠B=90∘\angle B=90^\circ∠B=90∘ dus in △ABC\triangle ABC△ABC geldt AB2+BC2=AC2AB^2+BC^2=AC^2AB2+BC2=AC27,22+9,62=AC27,2^2+9,6^2=AC^27,22+9,62=AC2AC2=144AC^2=144AC2=144 dus AC=144=12AC=\sqrt{144}=12AC=144​=12We berekenen CDCDCD.We moeten zijde CDCDCD weten, in △ACD\triangle ACD△ACD weten we ∠A2\angle A_2∠A2​.  We kijken vanuit hoek A2A_2A2​ en benoemen de zijden.De schuine zijde benoem je altijd als eerste. Dit is de zijde tegenover de rechte hoek. Vervolgens kijken we vanuit hoek A2A_2A2​, want deze willen we weten. Welke zijde ligt vast aan hoek A2A_2A2​? Deze noemen we de aanliggende zijde.Welke zijde ligt tegenover hoek A2A_2A2​? Dit noemen we de overstaande zijde.We gebruiken SOSCASTOA.We willen de overstaande zijde weten, we weten de aanliggende zijde en ∠A2\angle A_2∠A2​ SOSCASTOASOSCAS\red{TOA}SOSCASTOATOATOATOA staat voor tan⁡(hoek)=oa\tan(hoek)=\frac{o}{a}tan(hoek)=ao​tan⁡(∠A2)=CDAC\tan(\angle A_2)=\frac{CD}{AC}tan(∠A2​)=ACCD​tan⁡(24)=CD12\tan(24)=\frac{CD}{12}tan(24)=12CD​Maak een tabel.tan⁡(24)\tan(24)tan(24)CD112CD=12⋅tan⁡(24)=5,34…CD=12\cdot \tan(24)=5,34…CD=12⋅tan(24)=5,34…Zijde ADADAD kunnen we berekenen met de stelling van Pythagoras of SOSCASTOA. We gebruiken nu SOSCASTOA. We willen de schuine zijde weten, we weten de aanliggende zijde en ∠A2\angle A_2∠A2​ SOSCASTOASOS\red{CAS}TOASOSCASTOACASCASCAS staat voor cos⁡(hoek)=as\cos(hoek)=\frac{a}{s}cos(hoek)=sa​cos⁡(∠A2)=ACAD\cos(\angle A_2)=\frac{AC}{AD}cos(∠A2​)=ADAC​cos⁡(24)=12AD\cos(24)=\frac{12}{AD}cos(24)=AD12​Maak een tabel.cos⁡(24)\cos(24)cos(24)121ADAD=12cos⁡(24)=13,13…AD=\frac{12}{\cos(24)}=13,13…AD=cos(24)12​=13,13…omtrek=AB+BC+CD+AD=7,2+9,6+5,34…+13,13…=35,27…omtrek=AB+BC+CD+AD=7,2+9,6+5,34…+13,13…=35,27…omtrek=AB+BC+CD+AD=7,2+9,6+5,34…+13,13…=35,27…Antwoord: De omtrek is 35,3. We benoemen de zijden.De schuine zijde benoem je altijd als eerste. Dit is de zijde tegenover de rechte hoek. Vervolgens kijken we vanuit de hoek van 30∘30^\circ30∘, want deze weten we.  Welke zijde ligt vast aan de hoek? Deze noemen we de aanliggende zijde.Welke zijde ligt tegenover de hoek? Dit noemen we de overstaande zijde.We gebruiken nu SOSCASTOA. We willen de schuine zijde weten, we weten de aanliggende zijde en de hoek. SOSCASTOASOS\red{CAS}TOASOSCASTOACASCASCAS staat voor cos⁡(hoek)=as\cos(hoek)=\frac{a}{s}cos(hoek)=sa​cos⁡(30)=118c\cos(30)=\frac{118}{c}cos(30)=c118​Maak een tabel.cos⁡(30)\cos(30)cos(30)1181cc=118cos⁡(30)=136,25…c=\frac{118}{\cos(30)}=136,25…c=cos(30)118​=136,25…Antwoord: ccc is 136 centimeter.  $BCK$ ligt in het diagonaalvlak $BCKL$We moeten $CK$ weten voordat we $\angle K$ kunnen berekenen.Bereken de lengte van de zijde $CK$ van het diagonaalvlak. $CK$ ligt in zijvlak $CDKJ$De lengte van $CK$ moet je berekenen, hiervoor schets je eerst zijvlak $CDKJ$. Gebruik de stelling van Pythagoras in $\triangle CDK$$CD^2+DK^2=CK^2$$4^2+8^2=CK^2$$CK^2=80$ dus $CK=\sqrt{80}$Bereken $\angle K$Terug naar diagonaalvlak $BCKL$.Gebruik SOSCASTOA. Benoem eerst de zijden. We kijken vanuit hoek $K$, want deze willen we weten.We willen hoek $K$ weten, en weten de overstaande zijde en de aanliggende zijde. $SOSCAS\red{TOA}$$TOA$ staat voor $\tan(hoek)=\frac{o}{a}$$\tan(\angle K)=\frac{4}{\sqrt{80}}$$\angle K=\tan^{-1}(\frac{4}{\sqrt{80}})=24,09…^\circ$Antwoord: $\angle K=24,1^\circ$