Getal en Ruimte 13e ed deel 2 - Hoofdstuk 7 - Kwadratische vergelijkingen en ongelijkheden oefentoetsen & antwoorden

Herleid op nul.$3x^2-12x=0$Haal een zo groot mogelijke factor buiten de haakjes.$3x(x-4)=0$$3x=0\vee x-4=0$$x=0 \vee x=4$Antwoord: $x=0 \vee x=4$ De vraag is, waar ligt $g$ boven de $x$-as?Zoek eerst het snijpunt van $g$ met de $x$-as.$g(x)=0$ geeft $x=3$$g$ ligt boven de $x$-as na het snijpunt. De getallenlijn die hierbij hoort is:Antwoord: $g(x)>0$ voor $x> 3$ Werk de haakjes uit.$2x^2-\frac{1}{4}x=\frac{1}{4}-\frac{3}{4}x$Herleid op nul.$2x^2-\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}+\frac{3}{4}x=0$$2x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}=0$Gebruik de ABC-formule.Bereken de discriminant.In deze formule geldt: $a=2, b=\frac{1}{2}$ en $c=-\frac{1}{4}$$D=b^2-4ac$$D=(\frac{1}{2})^2-4\cdot 2\cdot -\frac{1}{4}$$D=\frac{1}{4}+2$$D=2\frac{1}{4}$Bereken de oplossingen.$x=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a} \vee x=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$$x=\frac{-\frac{1}{2}-\sqrt{2\frac{1}{4}}}{2\cdot 2} \vee x=\frac{-\frac{1}{2}+\sqrt{2\frac{1}{4}}}{2\cdot 2}$$x=\frac{-\frac{1}{2}-1\frac{1}{2}}{4} \vee x=\frac{-\frac{1}{2}+1\frac{1}{2}}{4}$$x=\frac{-2}{4}\vee x=\frac{1}{4}$Antwoord: $x=-\frac{1}{2}\vee x=\frac{1}{4}$Gebruik de ABC-formule.Herleid op 0.Breng hiervoor $6x+7$ naar de andere kant. $-3x^2-6x-7=0$Bereken de discriminant.In deze formule geldt: $a=-3, b=-6$ en $c=-7$$D=b^2-4ac$$D=(-6)^2-4\cdot -3\cdot -7$$D=36-84$$D=-48$Antwoord: $D<0$, dus deze vergelijking heeft geen oplossing.Werk de haakjes uit.$2x^2+5x-4x-10=4$Herleid op nul.$2x^2+x-14=0$ Gebruik de ABC-formule. In deze vergelijking is $a=2, b=1, c=-14$Bereken de discriminant.$D=b^2-4ac$$D=(1)^2-4\cdot 2\cdot -14$$D=1+112=113$Bereken $x$$x=\frac{-1-\sqrt{113}}{2\cdot 2} \vee x=\frac{-1+\sqrt{113}}{2\cdot 2}$$x=\frac{-1-\sqrt{113}}{4} \vee x=\frac{-1+\sqrt{113}}{4}$Antwoord: $x\approx -2,91 \vee x\approx 2,41$ Tussen fff en ggg staat het groter dan teken, dus de vraag is: wanneer ligt fff boven ggg?Zoek de snijpunten.f(x)=g(x)f(x)=g(x)f(x)=g(x) als x=1x=1x=1 en x=5x=5x=5Kijk wanneer fff (blauw) boven ggg (rood) ligt.Voor het snijpunt x=1x=1x=1 ligt fff boven ggg. Na het snijpunt x=5x=5x=5 ligt fff boven ggg.De getallenlijn die hierbij hoort:Antwoord: f(x)>g(x)f(x)>g(x)f(x)>g(x) geeft x<1∨x>5x<1 \vee x>5x<1∨x>5De vraag is, wanneer ligt fff onder de xxx-as?Zoek de snijpunten.f(x)=0f(x)=0f(x)=0 als x=1,5x=1,5x=1,5 en x=3x=3x=3Kijk wanneer fff (blauw), onder de xxx-as ligt. Dit is tussen de twee snijpunten. Tussen snijpunt x=1,5x=1,5x=1,5 en het snijpunt x=3x=3x=3 ligt fff onder d4 xxx-as. De snijpunten doen zelf niet mee omdat de vraag is kleiner dan.De getallenlijn die hierbij hoort:Antwoord: f(x)<0f(x)<0f(x)<0 geeft 1,5<x<31,5<x<31,5<x<3 We moeten de ongelijkheid $3x(2x+6)<60$ oplossen.We lossen eerst de gelijkheid $3x(2x+6)=60$ op.Werk de haakjes uit. $6x^2+18x=60$Herleid op nul.$6x^2+18x-60=0$Los de vergelijking op.Deel de vergelijking door 6. (Je mag de vergelijking ook oplossen met de ABC-formule)$x^2+3x-10=0$Ontbind in factoren.$(x+5)(x-2)=0$$x+5=0\vee x-2=0$$x=-5\vee x=2$Los de ongelijkheid op.$3x(2x+6)<60$, oftewel, waar is $f$ (blauw) kleiner dan de lijn $y=60$ (rood). $f$ ligt onder de lijn $y=60$ voor alle punten tussen $x=-5$ en $x=2$. $-5<x<2$Antwoord: $3x(2x+6)<60$ geeft $-5<x<2$ A en B zijn de snijpunten van $f$ met de $x$-as. In het snijpunt met de $x$-as geldt $y=0$. Los op $f(x)=0$$x^2-x-6=0$Ontbind in factoren.Kijk welk product -6 oplevert en welke som -1 oplevert. $(x-3)(x+2)=0$ $x-3=0 \vee x+2=0$$x=3 \vee x=-2$Bepaal welke coördinaat bij A hoort en welke bij B.A ligt links van B dus de $x$-coördinaat van A is kleiner. $A(-2,0)$ en $B(3,0)$C is het snijpunt van $f$ met de $y$-as. Hier is $x=0$.$f(0)=0^2-0-6$$=-6$$C(0,-6)$D is het snijpunt van de grafieken van $f$ en $g$. Los op $f(x)=g(x)$$x^2-x-6=2x+4$.Herleid op 0.$x^2-3x-10=0$.Ontbind in factoren.$(x-5)(x+2)=0$$x-5=0 \vee x+2=0$$x=5 \vee x=-2$$x=-2$ is het punt A dat we al eerder hadden gevonden, dit is namelijk ook het snijpunt van de parabool met de $x$-as.D hoort dus bij $x=5$. Bereken de $y$-coördinaat die hoort bij $x=5$Vul $x=5$ in in één van de twee formules, het maakt niet uit welke, beide zullen dezelfde uitkomst geven. De lijn heeft altijd de makkelijkste formule, dus kies in dit geval om hem in te vullen in $g$.$g(5)=2\cdot 5+4$$=10+4=14$$D(5,14)$E is het snijpunt van $g$ met de $y$-as, in het snijpunt met de $y$-as geldt $x=0$. $g(0)=2\cdot 0+4=4$$E(0,4)$Antwoord: $A(-2,0)$, $B(3,0)$, $C(0,-6)$, $D(5,14)$ en $E(0,4)$.  Bereken de discriminant en gebruik:$D<0$, de vergelijking heeft geen oplossingen.$D=0$, de vergelijking heeft één oplossing.$D>0$, de vergelijking heeft twee oplossingen.Er moet dus gelden $D<0$$a=5$, $b=-2$ en $c=p$$D=b^2-4ac$ dus $D=(-2)^2-4\cdot 5\cdot p$$D=4-20p$Als $D<0$ heeft de vergelijking geen oplossing, we lossen dus op $4-20p<0$ $4-20p<0$$-20p<-4$ (beide kanten $-4$)$p>\frac{-4}{-20}$ (beide kanten delen door $-20$, let op, delen door een negatief getal dus het teken klapt om!)$p>\frac{1}{5}$Antwoord: Voor $p>\frac{1}{5}$ heeft de vergelijking geen oplossingen. We moeten de ongelijkheid $2x^2+3x+2>5x+6$ oplossen.We lossen eerst de gelijkheid $2x^2+3x+2=5x+6$ op.Herleid op nul.$2x^2-2x-4=0$ Los de vergelijking op.Deel de vergelijking door 2. (Je mag de vergelijking ook oplossen met de ABC-formule)$x^2-x-2=0$Ontbind in factoren.$(x-2)(x+1)=0$$x-2=0\vee x+1=0$$x=2\vee x=-1$Los de ongelijkheid op.$2x^2+3x+2>5x+6$, oftewel, waar is $f$ (rood) groter dan $g$ (blauw). $f$ ligt boven $g$ voor alle punten buiten $x=-1$ en $x=2$. $x<-1 \vee x>2$Antwoord: $2x^2+3x+2>5x+6$ geeft $x<-1 \vee x>2$ Los eerst de vergelijking 3x2−5x+2=03x^2-5x+2=03x2−5x+2=0 op. We hebben hiervoor de ABC-formule nodig. Bereken de discriminant.In deze vergelijking geldt a=3,b=−5,c=2a=3, b=-5, c=2a=3,b=−5,c=2D=b2−4acD=b^2-4acD=b2−4acD=(−5)2−4⋅3⋅2D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot 2D=(−5)2−4⋅3⋅2D=25−24=1D=25-24=1D=25−24=1Bereken de snijpunten met de xxx-as.D=1D=1D=1 dus x=−−5−12⋅3∨x=−−5+12⋅3x=\frac{- -5-\sqrt{1}}{2\cdot 3} \vee x=\frac{- -5+\sqrt{1}}{2\cdot 3}x=2⋅3−−5−1​​∨x=2⋅3−−5+1​​x=5−16∨x=5+16x=\frac{5-1}{6} \vee x=\frac{5+1}{6}x=65−1​∨x=65+1​x=46∨x=66x=\frac{4}{6} \vee x=\frac{6}{6}x=64​∨x=66​x=23∨x=1x=\frac{2}{3} \vee x=1x=32​∨x=1Los de ongelijkheid op.3x2−5x+2<03x^2-5x+2<03x2−5x+2<0, oftewel wanneer ligt de grafiek onder de xxx-as.Tussen de twee snijpunten ligt de grafiek boven de xxx-as.Antwoord: 3x2−5x+2<03x^2-5x+2<03x2−5x+2<0 geeft 23<x<1\frac{2}{3}<x<132​<x<1 We delen de oppervlakte van het betegelde gedeelte op in drie delen.De oppervlakte van een rechthoek berekenen we met de formule oppervlakte rechthoek=lengte⋅breedteoppervlakte\ rechthoek=lengte\cdot breedteoppervlakte rechthoek=lengte⋅breedteDe lengte van deel 1 is 24−2x24-2x24−2x, de breedte is xxx.De oppervlakte van deel 1 is dus x(24−2x)x(24-2x)x(24−2x)De oppervlakte van deel 2 is even groot, we hebben dus 2⋅x(24−2x)=2x(24−2x)2\cdot x(24-2x)=2x(24-2x)2⋅x(24−2x)=2x(24−2x)De oppervlakte van deel 3 is 2x⋅12=24x2x\cdot 12=24x2x⋅12=24xDe totale oppervlakte van het betegelde gedeelte is dus 24x+2x(24−2x)24x+2x(24-2x)24x+2x(24−2x)De oppervlakte van de hele tuin is 24⋅12=28824\cdot 12=28824⋅12=28858\frac{5}{8}85​ deel moet betegeld worden, 58⋅288=180\frac{5}{8}\cdot 288=18085​⋅288=180 Dus 180 vierkante meter moet betegeld worden. Oftewel we moeten de vergelijking 24x+2x(24−2x)=18024x+2x(24-2x)=18024x+2x(24−2x)=180 oplossen.Werk de haakjes uit. 24x+48x−4x2=18024x+48x-4x^2=18024x+48x−4x2=180Herleid op nul.−4x2+72x−180=0-4x^2+72x-180=0−4x2+72x−180=0Deel de hele vergelijking door −4-4−4.x2−18x+45=0x^2-18x+45=0x2−18x+45=0Ontbind in factoren. (x−15)(x−3)=0(x-15)(x-3)=0(x−15)(x−3)=0x−15=0∨x−3=0x-15=0\vee x-3=0x−15=0∨x−3=0x=15∨x=3x=15\vee x=3x=15∨x=3x=15x=15x=15 kan niet, want de tuin is zelf maar 12 meter breed. Antwoord: De tegelrand moet 3 meter breed worden. Het deel  van oppervlakte 3 moet 6 meter breed worden.