Getal en Ruimte 13e ed deel 2 - Hoofdstuk 8 - Allerlei verbanden oefentoetsen & antwoorden

De kortste tijd die het duurt tot de herhaling van de grafiek optreedt, heet de periode. De grafiek van $f$ begint bij $tijd=0$. Bij $tijd=0,4$ herhaalt de grafiek zich. De periode is dus 0,4 milliseconden.De grafiek van $g$ begint bij $tijd=0$. Bij $tijd=0,5$ herhaalt de grafiek zich. De periode is dus 0,5 milliseconden.Antwoord: De periode van $f$ is 0,4 milliseconden, de periode van $g$ is 0,5 milliseconden. Als er met een factor wordt vermenigvuldigd is er sprake van exponentiële groei, dus de formule die hierbij hoort is van de vorm $N=b\cdot g^t$Stel de formule op. $groeifactor=1,098$ dus $g=1,098$$t=0$ is 1991, in 1991 waren er 1024 lepelaars. De beginwaarde is 1024. $b=1024$$N=1024\cdot 1,098^t$Antwoord:  $N=1024\cdot 1,098^t$Meer dan verdubbeld vergeleken 1991, in 1991 waren er 1024 lepelaars, er moeten dus meer dan $1024\cdot 2=2048$ lepelaars zijn, dan is het aantal lepelaars meer dan verdubbeld.We proberen net zo lang tot we de $t$ vinden waarvoor het aantal lepelaars voor het eerst meer is dan 2048. $t=5$ geeft $N=1024\cdot 1,098^5=1634,22…$Dit is nog niet meer dan 2048, we kiezen dus een grotere waarde voor $t$.$t=10$ geeft $N=1024\cdot 1,098^{10}=2608,09…$Dit is meer dan 2048, maar we weten niet of dit het eerste jaar is dat het aantal lepelaars boven 2048 uitkwam, we controleren dit door te berekenen hoeveel lepelaars er het jaar ervoor waren.$t=9$ geeft $N=1024\cdot 1,098^9=2375,31…$Dit is minder dan 2048, dus bij $t=10$ waren er voor het eerst meer dan 2048 lepelaars. 1991 is $t=0$, dus dan is 2001 $t=10$Antwoord: in 2001Bereken het aantal lepelaars in Nederland in 2010.$t=19$ in 2010$t=19$ geeft $N=1024\cdot 1,098^{19}=6049,84…$Bereken hoeveel keer zo veel 6049,84… is dan 1024.$\frac{6049,84…}{1024}=5,9…$ (reken met je onafgeronde antwoord verder)Antwoord: 6 keer zo veel Isoleer eerst de macht.$-2x^3=6$  (beide kanten $-5$)$x^3=-3$ (beide kanten delen door $-2$)Om tot de macht 3 weg te werken nemen we de 3de machtswortel.$x=\sqrt[3]{-3}$ (het is een oneven macht dus we hebben maar 1 oplossing)$x\approx -1,44$Antwoord: $x\approx -1,44$Isoleer de macht.$3x^2=3$ (beide kanten $+13$)Deel beide kanten door 3. $x^2=1$Werk de macht weg.We kunnen tot de macht 2 wegwerken met de wortel.2 is even, dus we hebben twee oplossingen.$x=\sqrt{1} \vee x=-\sqrt{1}$Antwoord: $x=1 \vee x=-1$ De groei is exponentieel, dus de standaardformule die hierbij hoort is $N=b\cdot g^t$In dit geval moeten we het ijsoppervlak $O$ noemen, dus het wordt $O=b\cdot g^t$Jaarlijks met 0,975 wordt vermenigvuldigd, dus $g=0,975$Bepaal de beginwaarde.$t=0$ in 2005, het ijsoppervlak was toen 5,35 miljoen vierkante kilometer. $b=5,35$Stel de formule op.$O=5,35\cdot 0,975^t$Antwoord: $O=5,35\cdot 0,975^t$Probeer een aantal waarden.$t=5$ geeft $O=5,35\cdot 0,975^5=4,71…$Dit is nog meer dan 3 miljoen, dus we kiezen een grotere waarde voor $t$.$t=15$ geeft $O=5,35\cdot 0,975^{15}=3,65…$Dit is nog meer dan 3 miljoen, dus we kiezen een grotere waarde voor $t$.$t=20$ geeft $O=5,35\cdot 0,975^{20}=3,22…$Dit is nog meer dan 3 miljoen, maar we zitten wel in de buurt, dus we kiezen een grotere waarde voor $t$, maar niet veel groter dan 20.$t=22$ geeft $O=5,35\cdot 0,975^{22}=3,06…$Dit is nog steeds meer dan 3 miljoen.$t=23$ geeft $O=5,35\cdot 0,975^{23}=2,98…$Dus bij $t=22$ is het ijsoppervlak nog groter dan 3 miljoen, bij $t=23$ is het ijsoppervlak kleiner dan 3 miljoen. Dus voor het eerst in $2005+23=2028$Antwoord: in 2028Bereken het ijsoppervlak 10 jaar na 2005. Dit is dus 2015, $t=10$.$t=10$ geeft $O=5,35\cdot 0,975^{10}=4,15…$In 2005 was het ijsoppervlak 5,35. We berekenen dus het procentuele verschil tussen $oud=5,35$ en $nieuw=4,15…$Gebruik de formule $procentuele\ afname=\frac{nieuw-oud}{oud}\cdot 100\%$$procentuele\ afname=\frac{4,15…-5,35}{5,35}\cdot 100\%=-22,36…$Antwoord: De afname is 22,4%  De groei is exponentieel, dus de standaardformule die hierbij hoort is $N=b\cdot g^t$In dit geval moeten we het aantal vliegenzwammen $A$ noemen, dus het wordt $A=b\cdot g^t$Bereken de groeifactor.De jaarlijkse afname is 6%. Een afname gaat van 100% af, dus we trekken 6% van 100% af.$100-6=94\%$Van percentage naar factor rekenen we door te delen door 100.$94:100=0,94$Dus $g=0,94$Bepaal de beginwaarde.$t=0$ in 2024, het aantal vliegenzwammen was toen 120000. $A$ moet in duizendtallen dus we zetten het begingetal ook in duizendtallen. $b=120$Stel de formule op.$A=120\cdot 0,94^t$Antwoord: $A=120\cdot 0,94^t$In 2030 is $t=6$ vul voor $t$ in de formule 6 in$A=120\cdot 0,94^6=82,78…$Dit is afgerond op duizendtallen 83 duizend.Antwoord: 83000 vliegenzwammenWe vragen ons af wat $t$ moet zijn zodat $A$ is 5,5. (5500 in duizendtallen is 5,5)$t$ is een waarde groter dan 6, bij opgave b hebben we al gezien dat bij $t=6$ de uitkomst nog groter is dan 5,5. Probeer een aantal waarden.$t=15$ geeft $A=120\cdot 0,94^{15}=47,43…$Dit is nog meer dan 5,5 duizend, dus we kiezen een grotere waarde voor $t$.$t=25$ geeft $A=120\cdot 0,94^{25}=25,54…$Dit is nog meer dan 5,5 duizend, dus we kiezen een grotere waarde voor $t$.$t=45$ geeft $A=120\cdot 0,94^{45}=7,41…$Dit is nog meer dan 5,5 duizend, dus we kiezen een grotere waarde voor $t$.$t=50$ geeft $A=120\cdot 0,94^{50}=5,43…$Dit is minder dan 5,5 duizend. We proberen een grotere waarde voor $t$ om te kijken of dit het eerste jaar is dat er minder dan 5,5 duizend vliegenzwammen zijn.$t=49$ geeft $A=120\cdot 0,94^{49}=5,78…$Dus bij $t=49$ is het aantal vliegenzwammen nog groter dan 5,5 duizend, bij $t=50$ is het aantal vliegenzwammen kleiner dan 5,5 duizend.  In $2024+50=2074$ zullen er naar verwachting maatregelen moeten worden getroffen.Antwoord: in 2074 Als er sprake is van exponentiële groei is er een constante factor.De factor berekenen we door $g=\frac{nieuw}{oud}$ te doen. $\frac{119}{125}\approx 0,95$$\frac{113}{119}\approx 0,95$$\frac{107}{113}\approx 0,95$Dus er is sprake van een constante factor waarmee wordt vermenigvuldigd. Afgerond is de factor steeds 0,95. We stellen de formule op van $C$. Er is sprake van exponentiële afname, hierbij hoort een formule van de vorm $C=b\cdot g^t$.$g=0,95$ $b$ is het begingetal, $t=0$ in 2015. In 2015 zijn er 125 citroenvlinders, dus $b=125$Antwoord: $C=125\cdot 0,95^t$Als er sprake is van lineaire groei is er een constant verschil. Trek steeds twee opeenvolgende waarden van $K$ van elkaar af.$91-82=9$$100-91=9$$109-100=9$Het verschil is steeds 9 dus er is sprake van lineaire groei.Bij lineaire groei hoort een formule van de vorm $K=at+b$De toename per twee jaar is 9, dus $a=9$. $t=0$ in 2015, dus bij 2015 hoort het begingetal, $b=82$Antwoord: $K=9t+82$In beide formules is $t$ in tweetallen jaren. Bij $t=0$ hoort 2015 dus bij 2027 hoort $t=6$. $t=6$ in $C=125\cdot 0,95^t$ geeft $C=125\cdot 0,95^6=91,886…$$t=6$ in $K=9t+82$ geeft $K=9\cdot 6+82=54+82=136$In 2027 zijn er 92 citroenvlinders en 136 kolibrievlinders, dat zijn in totaal $92+136=228$ vlinders.Antwoord: In 2027 zijn er 228 vlinders in de vlindertuinAls er sprake is van lineaire afname  is er een constant verschil. Trek steeds twee opeenvolgende waarden van $C$ van elkaar af.$119-125=-6$$113-119=-6$$107-113=-6$Het verschil is steeds -6 dus er is sprake van lineaire afname.Bij lineaire groei hoort een formule van de vorm $C=at+b$De afname per twee jaar is -6, dus $a=-6$. $t=0$ in 2015, dus bij 2015 hoort het begingetal, $b=125$Antwoord: $C=-6t+125$ De periode.Voor de periode kijk je hoe lang het duurt voordat de grafiek weer op dezelfde hoogte is. We zien hier dat de grafiek na 2 uur op 9,8 meter hoogte is, na 14 uur is de grafiek weer op 9,8 meter hoogte.periode=14−2=12periode=14-2=12periode=14−2=12De periode is dus 12 uur.De evenwichtsstand.Bereken het midden van de hoogste stand en de laagste stand.hoogste stand=10,5hoogste\ stand=10,5hoogste stand=10,5laagste stand=9,8laagste\ stand=9,8laagste stand=9,8evenwichtsstand=hoogste stand+laagste stand2evenwichtsstand=\frac{hoogste\ stand+laagste\ stand}{2}evenwichtsstand=2hoogste stand+laagste stand​evenwichtsstand=10,5+9,82=10,15evenwichtsstand=\frac{10,5+9,8}{2}=10,15evenwichtsstand=210,5+9,8​=10,15De amplitude.Bereken de afstand van hoogste stand tot de evenwichtsstand.hoogste stand=10,5hoogste\ stand=10,5hoogste stand=10,5evenwichtsstand=10,15evenwichtsstand=10,15evenwichtsstand=10,15amplitude=hoogste stand−evenwichtsstandamplitude=hoogste\ stand-evenwichtsstandamplitude=hoogste stand−evenwichtsstandamplitude=10,5−10,15=0,35amplitude=10,5-10,15=0,35amplitude=10,5−10,15=0,35Antwoord: De periode is 12 uur, de evenwichtsstand is 10,15 en de amplitude is 0,35. Schipper Leunis kan niet onder de brug door als de doorvaarthoogte lager is dan 10,2. Twee keer op een dag is de doorvaarthoogte 5 uur en 10 minuten lang lager dan 10,2 meter. Totaal is dat 10 uur en 20 minuten op een dag.Antwoord: 10 uur en 20 minuten (als je een antwoord had tussen de 10 uur en een kwartier of 10 uur en 25 minuten is het goed. De doorvaarthoogte is om 14 uur op zijn laagst. Dit betekent dat de afstand van het water tot de brug dan het kleinst is. Het water staat dan dus hoog. Het water staat hoog tijdens vloed. Antwoord: Vloed Bepaal de eigenschappen van de grafiek. $n=3$ dus $n$ is oneven. De grafiek heeft een punt van symmetrie.$a=0,6$ dus $a>0$, dus de grafiek begint linksonder het punt van symmetrie.Teken het punt van symmetrie. Schets de grafiek.Begin linksonder het punt van symmetrie, ga door het punt van symmetrie, en eindig rechtsboven. Vul voor $v$ in de formule 10 in.$v=10$ geeft $E=0,005\cdot 10^3=5$ kWhAntwoord: 5 kWhWe moeten de vergelijking $0,005v^3=3$ oplossen.Isoleer de macht, deel hiervoor beide kanten door 0,005. $v^3=600$Om tot de macht 3 weg te werken nemen we de 3de machtswortel.$v=\sqrt[3]{600}$$v=8,434…$Antwoord: Een snelheid van maximaal 8,4 meter per seconde Dit is een omgekeerd evenredig verband, hoe meer vrienden er meegaan, hoe minder ieder persoon hoeft te betalen. Het bedrag dat één persoon betaalt, hangt dus af van het aantal vrienden. De formule is dus van de vorm $y=\frac{a}{x}$. In dit geval is dit $y=\frac{1200}{x}$ met $y$ de kosten per persoon en $x$ het aantal vrienden dat meegaat. Antwoord: $y=\frac{1200}{x}$Probeer een aantal waarden voor $x$ uit. Als we $x=8$ invullen komt er 150 uit. $x=8$ geeft $y=\frac{1200}{8}=150$. Antwoord: Er gaan 8 vrienden mee.