Getal en Ruimte 13e ed deel 2 - Hoofdstuk 9 - Spreiding, tellen en kans oefentoetsen & antwoorden

Bereken hoeveel zakjes snoep minder dan 27 gram bevatten.Elk deel van de boxplot is 25%, het gedeelte voor de box is dus ook 25%. Bereken 25% van het totaal aantal zakjes, 18 zakjes.$0,25\cdot 18=4,5$Dit zijn meer dan 3 zakjes, dus de machine moet anders worden ingesteld. Antwoord: meer dan 3 zakjes wegen minder dan 27 gram. De machine moet anders worden ingesteld.  Alle zakjes chips die minder dan 30 gram wegen, zijn eigenlijk te licht. We tellen het aantal getallen achter 28 en 29.15 zakjes zijn te licht. In totaal zijn er 27 zakjes chips. We berekenen hoeveel procent 15 van 27 is.Gebruik $\frac{deel}{geheel}\cdot 100=$$\frac{15}{27}\cdot 100=55,55…\%$Antwoord: 55,6%Er zijn in totaal 27 getallen. 27 is een oneven getal, dus er is één middelste cijfer.$\frac{27}{2}=13,5$ dus het 14e getal is de mediaan.Tel vanaf de bovenste rij van links naar rechts tot het 14e getal.Het 14e getal is 29,8$mediaan=29,8$Antwoord: 29,8De modus is het gewicht die het vaakst voorkomt, 3 zakjes chips wegen 29,3 gram.Antwoord: De modus is 29,3 gram.Tel alle gewichten op en deel het totale gewicht door het aantal zakjes chips, 27.$28,1+28,2+28,4+28,5+28,7+28,9+28,9+29,2+29,3+29,3+29,3+29,6+29,8+29,8+29,9+30,1+30,3+30,4+30,6+30,7+30,8+31,2+31,2+31,5+31,8+32,3+32,6=809,4$Deel het totale gewicht door 27. $809,4:27=29,97…$Antwoord: Het gemiddelde gewicht is 30,0 gram De grootste waarde die de boxplot bereikt is 45. De kleinste waarde die de boxplot bereikt is 20. $spreidingsbreedte=grootste\ getal-kleinste\ getal$$spreidingsbreedte=45-20=25$ Antwoord: 25De tweede klas heeft de kleinste kwartielafstand.Het begin van de box van de tweede klas is $Q_1$ in dit geval 28.Het einde van de box is $Q_3$ in dit geval 32.$kwartielafstand=Q_3-Q_1$$kwartielafstand=32-28=4$Antwoord: 4Hoe meer rondjes er worden geschaatst, hoe hoger de opbrengst is. Het kan zo zijn dat in het laatste deel van de boxplot van leerjaar 2 er meerdere leerlingen zijn die 45 rondjes schaatsen. Als dat er veel meer zijn dan het aantal leerlingen uit klas 1 die 45 rondjes schaatsen, kan de totale opbrengst van de tweede klas hoger liggen.Antwoord: Ja, dat kan. Voor elke cijfer in de code heeft Cas 5 mogelijkheden.dus $5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625$Antwoord: 625 mogelijkhedenVoor het eerste cijfer heb je 5 mogelijkheden, voor de tweede 4, voor de derde 3 enzovoort. $5\cdot 4\cdot 3\cdot 2=120$Antwoord: 120 mogelijkhedenAlleen 2, 4 en 8 zijn even, dus als eerste cijfer heeft hij 3 mogelijkheden. Op de tweede en derde plek moet dan een oneven getal zijn, hier zijn er 2 van, omdat herhaling niet is toegestaan heeft hij voor het tweede cijfer 2 en het derde cijfer nog 1 mogelijkheid. Op het einde moet nog een even getal komen te staan, dit kan niet hetzelfde cijfer zijn als het eerste cijfer. Dus voor het laatste cijfer heeft hij nog 2 mogelijkheden.$3\cdot 2\cdot 1\cdot 2=12$Antwoord: 12 mogelijkheden Bereken eerst het totaal aantal mogelijkheden.$totaal\ aantal\ mogelijkheden=3\cdot 8\cdot 4=96$Bereken vervolgens het aantal oneven getallen dat Minke kan draaien.Het laatste cijfer bepaalt of een getal even is of oneven, als het laatste cijfer oneven is, is het hele getal oneven. Het laatste cijfer kan dus een 3 of een 5 zijn. De andere twee kunnen alles zijn.$aantal\ oneven=3\cdot 8\cdot 2=48$Bereken de kans.$P(oneven)=\frac{aantal\ mogelijkheden\ oneven}{totaal\ aantal\ mogelijkheden}$$P(oneven)=\frac{48}{96}=\frac{1}{2}$Antwoord: $P(oneven)=\frac{1}{2}=0,5$Het totaal aantal mogelijkheden weten we. $totaal\ aantal\ mogelijkheden=3\cdot 8\cdot 4=96$Bereken vervolgens het aantal getallen groter dan 630 dat Minke kan draaien.Het eerste cijfer moet een 6 zijn. Het tweede cijfer moet een 3 of hoger zijn, dat zijn 6 mogelijkheden. Het laatste getal mag alles zijn, dat zijn 4 mogelijkheden.$aantal\ groter\ dan \630=1\cdot 6\cdot 4=24$Bereken de kans.$P(groter\ dan\ 630)=\frac{aantal\ mogelijkheden\ groter\ dan\ 630}{totaal\ aantal\ mogelijkheden}$$P(groter\ dan\ 630)=\frac{24}{96}=\frac{1}{4}$Antwoord: $P(groter\ dan\ 630)=\frac{1}{4}=0,25$ De klassenbreedte is het verschil tussen de klassengrenzen.Neem de klasse 22-<24 (of een andere klasse)$24-22=2$Antwoord: De klassenbreedte is 2.De modale klasse is de klasse die het vaakst voorkomt. In dit geval is dat de klasse: 28-<30Antwoord: 28-<30De mediaan is het middelste getal. Bereken de totale frequentie: $3+9+15+22+16+6+1=72$72 is een even getal, er zijn dus twee middelste getallen.$72:2=36$, het 36e en het 37e getal zijn de twee middelste getallen.We tellen de frequenties op tot we bij het 36e en 37e getal zijn. De frequentie van de eerste twee klassen samen is $3+9=12$, we zijn nog niet bij het 36e en 37e getal dus we tellen verder. Na de derde klasse zijn er $12+15=27$ getallen geweest, dus daar zit de mediaan ook niet in.Na de vierde klasse zijn er $27+22=49$ getallen geweest.Het 36 en 37 zijn kleiner dan 49.  De mediaan ligt dus in de vierde klasse.Antwoord: De mediaan ligt in de klasse: 28-<30Vermenigvuldig steeds het klassenmidden met de bijbehorende frequentie en tel de uitkomsten op, deel tot slot door het totaal aantal getallen.Het klassenmidden bereken je dan door de grenzen op te tellen en te delen door twee. Klassenmidden eerste klasse: $(22+24):2=23$Tweede klasse: $(24+26):2=25$Derde klasse: $(26+28):2=27$ Vierde klasse: $(28+30):2=29$Vijfde klasse: $(30+32):2=31$Zesde klasse: $(32+34):2=33$Zevende klasse: $(36+38):2=37$Bereken het gemiddelde: $gemiddelde=\frac{3\cdot 23+ 9\cdot 25+15\cdot 27+22\cdot 29+ 16\cdot 31+6\cdot 33+1\cdot 37}{72}\approx 28,72$Antwoord: Het gemiddelde is 28,72 minuten De vijfgetallensamenvatting is:$Q_0$: het kleinste getal$Q_1$: het eerste kwartiel$Q_2$: de mediaan$Q_3$: het derde kwartiel$Q_4$: het grootste getalBepaal $Q_0$ en $Q_4$.Het kleinste getal is 15, dus $Q_0=15$.Het grootste getal is 27, dus $Q_4=27$.Bereken de mediaan.Bereken het totaal van de frequenties.Tel de frequenties op.$2+7+8+13+5+6+1=42$We hebben een even aantal getallen, namelijk 42, dus we hebben twee middelste getallen.$42:2=21$ Het 21e getal en 22e getal zijn de middelste getallen.Zoek het 21e en 22e getal. Tel van links naar rechts. $2+7+8=17$, in de eerste drie kolommen zit dus nog niet het 21e en 22e getal.$17+13=30$ in de vierde kolom ziten dus het 21e en 22e getal. Het 21e en 22e getal zijn beide 19. De mediaan is 19, $Q_2=19$Bereken $Q_1$ en $Q_3$Bij een even aantal getallen doen de twee middelste getallen mee bij het vinden van $Q_1$ en $Q_3$.De eerste helft getallen heeft 21 cijfers. Dit is een oneven aantal dus we hebben één middelste getal.$21:2=10,5$ het 11e getal is het middelste getal van de eerste helft. Zoek het 11e getal. Tel van links naar rechts. $2+7=9$, in de eerste twee kolommen zit dus nog niet het 11e getal.$9+8=17$, in de derde kolom zit dus het 11e getal.Het 11e getal is 18.$Q_1=18$De tweede helft getallen heeft ook 21 cijfers. Dit is een oneven aantal dus we hebben één middelste getal.We zoeken het 11e getal van de tweede helft. De eerste helft zijn 21 getallen. Dus het 11e getal van de tweede helft is het $21+11=32^e$ getal van alle getallen. Het 11e getal van de tweede helft is dan het 32e getal van alle getallen.Zoek het 32e getal. Tel van links naar rechts. $2+7+8+13=30$, in de eerste vier kolommen zit dus nog niet het 32e getal.$30+5=35$, in de vijfde kolom zit dus wel het 32e getal.Het 32e getal is 22.$Q_3=22$Antwoord: $Q_0=15$, $Q_1=18$, $Q_2=19$, $Q_3=22$, $Q_4=27$$kwartielafstand=derde\ kwartiel(Q_3)-eerste\ kwartiel(Q_1)$$kwartielafstand=22-18=4$$spreidingsbreedte=grootste\ waarde(Q_4)-kleinste\ waarde(Q_0)$$spreidingsbreedte=27-15=12$Antwoord: $kwartielafstand=4$ en $spreidingsbreedte=12$De kleinste waarde is 15 en de grootste waarde is 27. Teken een getallenlijn met daarboven een lijn van 15 tot en met 27 en zet verticale streepjes bij de kwartielen en mediaan.Gebruik je antwoord bij opgave a: $Q_0=15$, $Q_1=18$, $Q_2=19$, $Q_3=22$, $Q_4=27$Teken een rechthoek van $Q_1$ naar $Q_3$ en deel de rechthoek in tweeën bij de mediaan.Zet nog aantal vogels onder de getallenlijn.Antwoord: Met de eerste schijf kan hij 3 cijfers draaien, met de tweede schijf 8 cijfers en met de derde schijf 4 cijfers. We gebruiken de vermenigvuldigingsregel.$3\cdot 8\cdot 4=96$Antwoord: 96 mogelijkheden.Om een getal groter dan 500 te krijgen moet het eerste cijfer een 5 of een 6 zijn.Met de eerste schijf kan hij dus 2 cijfers draaien, met de tweede schijf 8 en de derde schijf 4. $2\cdot 8\cdot 4=64$Antwoord: 64 mogelijkheden.Er zijn 3 manieren om twee keer hetzelfde cijfer op het begin te hebben.Namelijk als de eerste twee cijfers een 3 zijn. Het laatste cijfer mag dan alles zijn dus dat kan op $1\cdot 1\cdot 4=4$ manieren.Of als de eerste twee cijfers een 5 zijn. Het laatste cijfer mag dan alles zijn dus dat kan op $1\cdot 1\cdot 4=4$ manieren.Of als de eerste twee cijfers een 6 zijn. Het laatste cijfer mag dan alles zijn dus dat kan op $1\cdot 1\cdot 4=4$ manieren.In totaal zijn dat $4+4+4=12$ mogelijkheden.Antwoord: 12 mogelijkheden.Om het getal kleiner te laten zijn dan 370. Moet het eerste cijfer een 3 zijn. Een 5 en 6 zouden het al groter maken dan 370.De tweede schijf mag 1 tot en met 6 draaien. De laatste schijf mag alles draaien. Dat zijn dus $1\cdot 6\cdot 4=24$ mogelijkhedenAntwoord: 24 mogelijkheden Bereken eerst het totaal aantal mogelijkheden.Er zijn in totaal 26 letters. $totaal\ aantal\ mogelijkheden=26\cdot 26\cdot 26\cdot 26=456976$Bereken vervolgens het aantal mogelijkheden met alleen klinkers.Er zijn 5 klinkers: a, e, i, o, u.$aantal\ alleen\ klinkers=5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625$Bereken de kans.$P(alleen\ klinkers)=\frac{aantal\ mogelijkheden\ klinkers}{totaal\ aantal\ mogelijkheden}$$P(alleen\ klinkers)=\frac{625}{456976}\approx 0,001$Antwoord: $P(alleen\ klinkers)\approx 0,001$Het totaal aantal mogelijkheden weten we. $totaal\ aantal\ mogelijkheden=26\cdot 26\cdot 26\cdot 26=456976$$aantal\ afwisselend=5\cdot 26\cdot 5\cdot 26=16900$Bereken de kans.$P(afwisselend)=\frac{aantal\ mogelijkheden\ afwisselend}{totaal\ aantal\ mogelijkheden}$$P(afwisselend)=\frac{16900}{456976}\approx 0,037$Antwoord: $P(afwisselend)\approx 0,037$Het totaal aantal mogelijkheden weten we. $totaal\ aantal\ mogelijkheden=26\cdot 26\cdot 26\cdot 26=456976$Bereken vervolgens de kans op eerst 3 klinkers en dan een medeklinker zonder herhaling.$aantal=5\cdot 4\cdot 3\cdot 26=1560$Bereken de kans.$P(3\ klinkers\ 1\ medeklinker)=\frac{aantal\ mogelijkheden\ 3\ klinkers\ 1\ medeklinker}{totaal\ aantal\ mogelijkheden}$$P(3\ klinkers\ 1\ medeklinker)=\frac{1560}{456976}\approx 0,003$Antwoord: $P(3\ klinkers\ 1\ medeklinker)\approx 0,003$