Kern Wiskunde B deel 2 - Hoofdstuk 5 - Machten en exponenten oefentoetsen & antwoorden

Deze bewering is juist.Deze bewering is onjuist. We zien dat het exponent 3 oneven is, dus de oplossing is $x=\sqrt[3]{\frac{-2}{a}}$.Deze bewering is onjuist. Bij exponentiële groei geldt $g>1$. De grafiek is dalend als $0<g<1$. ${{\left( {{x}^{4}} \right)}^{3}}\cdot {{x}^{5}}$ Gebruik de regel ${{\left( {{a}^{m}} \right)}^{n}}={{a}^{mn}}$$={{x}^{12}}\cdot {{x}^{5}}$Gebruik de regel ${{a}^{m}}\cdot {{a}^{n}}={{a}^{m+n}}$$={{x}^{17}}$$\frac{{{x}^{7}}\cdot {{x}^{3}}}{{{x}^{5}}}$ Gebruik de regel ${{a}^{m}}\cdot {{a}^{n}}={{a}^{m+n}}$ $=\frac{{{x}^{10}}}{{{x}^{5}}}$Gebruik de regel $\frac{{{a}^{m}}}{{{a}^{n}}}={{a}^{m-n}}$$={{x}^{5}}$$\frac{{{x}^{3}}}{{{\left( \frac{1}{{{x}^{2}}} \right)}^{2}}}$Gebruik de regel ${{a}^{-n}}=\frac{1}{{{a}^{n}}}$$=\frac{{{x}^{3}}}{{{\left( {{x}^{-2}} \right)}^{2}}}$Gebruik de regel ${{\left( {{a}^{m}} \right)}^{n}}={{a}^{mn}}$$=\frac{{{x}^{3}}}{{{x}^{-4}}}$Gebruik de regel $\frac{{{a}^{m}}}{{{a}^{n}}}={{a}^{m-n}}$$={{x}^{3-\,-4}}={{x}^{7}}$ $5{{a}^{-2}}{{b}^{-1}}$$=5\cdot \frac{1}{{{a}^{2}}}\cdot \frac{1}{b}$$=\frac{5}{{{a}^{2}}b}$$\frac{{{b}^{-4}}}{{{a}^{2}}}$ $=\frac{1}{{{a}^{2}}}\cdot \frac{1}{{{b}^{4}}}$$=\frac{1}{{{a}^{2}}{{b}^{4}}}$$\frac{2{{a}^{-3}}}{{{b}^{-2}}}$$=2\cdot \frac{1}{{{a}^{3}}}\cdot \frac{1}{{{b}^{-2}}}$$=2\cdot \frac{1}{{{a}^{3}}}\cdot {{b}^{2}}$$=\frac{2{{b}^{2}}}{{{a}^{3}}}$ y=(81x1,327x−1,4)3⋅2x1,7y={{\left( \frac{81{{x}^{1,3}}}{27{{x}^{-1,4}}} \right)}^{3}}\cdot 2{{x}^{1,7}}y=(27x−1,481x1,3​)3⋅2x1,7 Gebruik de regel aman=am−n\frac{{{a}^{m}}}{{{a}^{n}}}={{a}^{m-n}}anam​=am−ny=(3x2,7)3⋅2x1,7y={{\left( 3{{x}^{2,7}} \right)}^{3}}\cdot 2{{x}^{1,7}}y=(3x2,7)3⋅2x1,7 Gebruik de regel (ab)m=ambm{{\left( ab \right)}^{m}}={{a}^{m}}{{b}^{m}}(ab)m=ambmy=33⋅(x2,7)3⋅2x1,7y={{3}^{3}}\cdot {{\left( {{x}^{2,7}} \right)}^{3}}\cdot 2{{x}^{1,7}}y=33⋅(x2,7)3⋅2x1,7 Gebruik de regel (am)n=amn{{\left( {{a}^{m}} \right)}^{n}}={{a}^{mn}}(am)n=amnen 33=27{{3}^{3}}=2733=27y=27⋅x8,1⋅2x1,7y=27\cdot {{x}^{8,1}}\cdot 2{{x}^{1,7}}y=27⋅x8,1⋅2x1,7 Gebruik de regelam⋅an=am+n{{a}^{m}}\cdot {{a}^{n}}={{a}^{m+n}} am⋅an=am+ny=54x9,8y=54{{x}^{9,8}}y=54x9,8 y=6x32x5y=\frac{6x}{\sqrt[5]{32x}}y=532x​6x​ Gebruik de regel an=a1n\sqrt[n]{a}={{a}^{\tfrac{1}{n}}}na​=an1​y=6x(32x)15y=\frac{6x}{{{\left( 32x \right)}^{\tfrac{1}{5}}}}y=(32x)51​6x​Gebruik de regel (ab)m=ambm{{\left( ab \right)}^{m}}={{a}^{m}}{{b}^{m}}(ab)m=ambmy=6x3215⋅x15y=\frac{6x}{{{32}^{\tfrac{1}{5}}}\cdot {{x}^{\tfrac{1}{5}}}}y=3251​⋅x51​6x​ Gebruik dat 3215=2{{32}^{\tfrac{1}{5}}}=23251​=2y=6x2⋅x15y=\frac{6x}{2\cdot {{x}^{\tfrac{1}{5}}}}y=2⋅x51​6x​Gebruik de regel aman=am−n\frac{{{a}^{m}}}{{{a}^{n}}}={{a}^{m-n}}anam​=am−nen 62=3\frac{6}{2}=326​=3y=3x45y=3{{x}^{^{\tfrac{4}{5}}}}y=3x54​ (2m3n−1)−4{{\left( 2{{m}^{3}}{{n}^{-1}} \right)}^{-4}}(2m3n−1)−4 Gebruik de regel (ab)m=ambm{{\left( ab \right)}^{m}}={{a}^{m}}{{b}^{m}}(ab)m=ambm=2−4(m3)−4(n−1)−4={{2}^{-4}}{{\left( {{m}^{3}} \right)}^{-4}}{{\left( {{n}^{-1}} \right)}^{-4}}=2−4(m3)−4(n−1)−4Gebruik de regel (am)n=amn{{\left( {{a}^{m}} \right)}^{n}}={{a}^{mn}}(am)n=amn=2−4m−12n4={{2}^{-4}}{{m}^{-12}}{{n}^{4}}=2−4m−12n4Gebruik de regel a−n=1an{{a}^{-n}}=\frac{1}{{{a}^{n}}}a−n=an1​=124⋅1m12⋅n4=\frac{1}{{{2}^{4}}}\cdot \frac{1}{{{m}^{12}}}\cdot {{n}^{4}}=241​⋅m121​⋅n4Gebruik dat 24=16{{2}^{4}}=1624=16=116⋅1m12⋅n4=\frac{1}{16}\cdot \frac{1}{{{m}^{12}}}\cdot {{n}^{4}}=161​⋅m121​⋅n4=n416m12=\frac{{{n}^{4}}}{16{{m}^{12}}}=16m12n4​8⋅s45⋅t−38\cdot {{s}^{\tfrac{4}{5}}}\cdot {{t}^{-3}}8⋅s54​⋅t−3Gebruik de regel amn=amn\sqrt[n]{{{a}^{m}}}={{a}^{\tfrac{m}{n}}}nam​=anm​ en a−n=1an{{a}^{-n}}=\frac{1}{{{a}^{n}}}a−n=an1​=8⋅s45⋅1t3=8\cdot \sqrt[5]{{{s}^{4}}}\cdot \frac{1}{{{t}^{3}}}=8⋅5s4​⋅t31​ 3x4−10=53{{x}^{4}}-10=53x4−10=53x4=153{{x}^{4}}=153x4=15    x4=5{{x}^{4}}=5x4=5 (deze vergelijking heeft 2 oplossingen, want de macht 4 is een even getal en de uitkomst 5 is groter dan 0)x=−54   ∨   x=54x=-\sqrt[4]{5}\,\,\,\vee \,\,\,x=\sqrt[4]{5}x=−45​∨x=45​x≈−1,5   ∨   x≈1,5x\approx -1,5\,\,\,\vee \,\,\,x\approx 1,5x≈−1,5∨x≈1,5(27y)23=18{{\left( 27y \right)}^{\frac{2}{3}}}=18(27y)32​=18 2723⋅y23=18{{27}^{\frac{2}{3}}}\cdot {{y}^{\frac{2}{3}}}=182732​⋅y32​=18  2723=(2713)2=32=9{{27}^{\frac{2}{3}}}={{\left( {{27}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{2}}={{3}^{2}}=92732​=(2731​)2=32=99⋅y23=189\cdot {{y}^{\frac{2}{3}}}=189⋅y32​=18y23=2{{y}^{\frac{2}{3}}}=2y32​=2y=232y={{2}^{\frac{3}{2}}}y=223​y≈2,8y\approx 2,8y≈2,84x3−x6=04{{x}^{3}}-{{x}^{6}}=04x3−x6=0Substitueer x3=u{{x}^{3}}=ux3=u4u−u2=04u-{{u}^{2}}=04u−u2=0u(4−u)=0u\left( 4-u \right)=0u(4−u)=0u=0   ∨   u=4u=0\,\,\,\vee \,\,\,u=4u=0∨u=4Substitueer u=x3u={{x}^{3}}u=x3x3=0   ∨   x3=4{{x}^{3}}=0\,\,\,\vee \,\,\,{{x}^{3}}=4x3=0∨x3=4x=0   ∨   x=43≈1,6x=0\,\,\,\vee \,\,\,x=\sqrt[3]{4}\approx 1,6x=0∨x=34​≈1,6x+3x=10x+3\sqrt{x}=10x+3x​=10Substitueer x=u\sqrt{x}=ux​=uu2+3u=10{{u}^{2}}+3u=10u2+3u=10u2+3u−10=0{{u}^{2}}+3u-10=0u2+3u−10=0(u−2)(u+5)=0\left( u-2 \right)\left( u+5 \right)=0(u−2)(u+5)=0u=2   ∨   u=−5u=2\,\,\,\vee \,\,\,u=-5u=2∨u=−5Substitueer u=xu=\sqrt{x}u=x​x=2   ∨   x=−5\sqrt{x}=2\,\,\,\vee \,\,\,\sqrt{x}=-5x​=2∨x​=−5x=−5\sqrt{x}=-5x​=−5 heeft geen oplossingen en x=2\sqrt{x}=2x​=2 geeft x=4x=4x=4 Een toename van 2,2% geeft een factor van 1,022We hebben te maken met een verdubbeling, dus gaan we de vergelijking 1,022x=2{{1,022}^{x}}=21,022x=2 oplossen.GR: Invoer:  Y1=1,022X{{Y}_{1}}={{1,022}^{X}}Y1​=1,022X en Y2=2{{Y}_{2}}=2Y2​=2Optie: Calc →\to →  intersect geeft X=31,85⋯X=31,85\cdots X=31,85⋯De verdubbelingstijd is 32 dagen.Een halveringstijd van 3,2 dagen geeft g3,2=12{{g}^{3,2}}=\tfrac{1}{2}g3,2=21​.De vergelijking oplossen geeft:g3,2=12{{g}^{3,2}}=\tfrac{1}{2}g3,2=21​g=(12)13,2g={{\left( \tfrac{1}{2} \right)}^{\frac{1}{3,2}}}g=(21​)3,21​g=0,805⋯g=0,805\cdots g=0,805⋯De procentuele afname is (1−0,805⋯ )⋅100\left( 1-0,805\cdots  \right)\cdot 100%\approx 19,5%(1−0,805⋯ )⋅100 per dag. Van $t=31$ naar $t=116$ neemt $N$ toe van $172$ naar $1403$. De groeifactor per $116-31=85$ tijdseenheden is ${{g}_{85}}=\frac{1403}{172}$De groeifactor per één tijdseenheid is dan $g={{\left( \frac{1403}{172} \right)}^{\frac{1}{85}}}=1,0250\ldots $We ronden nog niet af, want we moeten nog verder rekenen met het tussenantwoord.We hebben nu $N=b\cdot 1,0250{{\ldots }^{t}}$. Voor het berekenen van de $b$ hebben we een punt op de grafiek, dus een $t$ met bijbehorende $N$, nodig. We kunnen er twee aflezen uit de figuur. Het maakt niet uit welke we kiezen, want beide punten liggen op de grafiek. We kiezen de eerste: $N=172$ voor $t=31$. $t=31$ en $N=172$ invullen in $N=b\cdot 1,0250{{\ldots }^{t}}$ geeft:$172=b\cdot 1,0250{{\ldots }^{31}}$Dus $b=\frac{172}{1,0250{{\ldots }^{31}}}=79,999\ldots $De formule is $N=80\cdot {{1,025}^{t}}$ In 2000 waren er 15,9 miljoen inwoners.In 2022 waren er 17,6 miljoen inwoners.De groeifactor per 22 jaar is dan:g22 jaar=17,615,9{{g}_{22\text{ jaar}}}=\frac{17,6}{15,9}g22 jaar​=15,917,6​Dit geeft een groeifactor per jaar van:g1 jaar=(17,615,9)122=1,00462…{{g}_{1\text{ jaar}}}={{\left( \frac{17,6}{15,9} \right)}^{\frac{1}{22}}}=1,00462\ldots g1 jaar​=(15,917,6​)221​=1,00462…Dit is een groei van (1,00462…−1)⋅100\left( 1,00462\ldots -1 \right)\cdot 100%\approx 0,5%(1,00462…−1)⋅100 per jaar.Verdubbelen, dus we willen weten wanneer 1,005t=2{{1,005}^{t}}=21,005t=2.We gebruiken de grafische rekenmachine om deze vergelijking op te lossen.GR: Invoer:  Y1=1,005X{{Y}_{1}}={{1,005}^{X}}Y1​=1,005X en Y2=2{{Y}_{2}}=2Y2​=2Optie: Calc →\to →  intersect geeft X=150,12⋯X=150,12\cdots X=150,12⋯Een verdubbeling van de bevolking duurt 151 jaar (afronden naar boven, want na 150 jaar is de bevolking nog niet verdubbeld. Een verhoging van 20% is gelijk aan een vermenigvuldiging met 1,2 van het oorspronkelijke aantal.We willen dus weten wanneer 1,005t=1,2{{1,005}^{t}}=1,21,005t=1,2.We gebruiken de grafische rekenmachine om deze vergelijking op te lossen.GR: Invoer:  Y1=1,005X{{Y}_{1}}={{1,005}^{X}}Y1​=1,005X en Y2=1,2{{Y}_{2}}=1,2Y2​=1,2Optie: Calc →\to →  intersect geeft X=36,55⋯X=36,55\cdots X=36,55⋯Na 36,6 jaar is het inwonersaantal 20% hoger dan in het jaar 2000. We moeten laten zien dat de oppervlakte per dag met (ongeveer) dezelfde factor wordt vermenigvuldigd.$\frac{6,6}{4,1}=1,60\cdots \,\,;\,\,\frac{10,5}{6,6}=1,59\cdots \,\,;\,\,\frac{16,8}{10,5}=1,6\,\,;\,\,\frac{26,9}{16,8}=1,60\cdots \,\,;\,\,\frac{43,0}{26,9}=1,59\cdots $De factor is elke keer ongeveer $1,6$, dus bij benadering groeit de oppervlakte van de schimmels exponentieel.De formule is van de vorm $A=b\cdot {{g}^{t}}$De beginhoeveelheid is $4,1$, dus $b=4,1$.De groeifactor is $1,6$, dus $g=1,6$.De formule is $A=4,1\cdot {{1,6}^{t}}$ AAA is in honderden meters. Een afstand van 250250250 meter geeft dus A=2,5A=2,5A=2,5 Invullen van A=2,5A=2,5A=2,5geeft:G=94⋅(0,829)2,5+2≈40G=94\cdot {{\left( 0,829 \right)}^{2,5+2}}\approx 40G=94⋅(0,829)2,5+2≈40 dBG=30G=30G=30 geeft de vergelijking 30=94⋅0,829A+230=94\cdot {{0,829}^{A+2}}30=94⋅0,829A+2We gebruiken de GR om deze vergelijking op te lossen.Invoer:   Y1=94⋅0,829X+2{{Y}_{1}}=94\cdot {{0,829}^{X+2}}Y1​=94⋅0,829X+2 Y2=30{{Y}_{2}}=30Y2​=30Optie: Calc →\to →  intersect geeft X=4,090⋯X=4,090\cdots X=4,090⋯Uitkomst: De maximale afstand is dus $400$ meter.G=94⋅0,829A+2G=94\cdot {{0,829}^{A+2}}G=94⋅0,829A+2G=94⋅0,829A⋅0,8292G=94\cdot {{0,829}^{A}}\cdot {{0,829}^{2}}G=94⋅0,829A⋅0,8292G=94⋅0,8292⋅0,829AG=94\cdot {{0,829}^{2}}\cdot {{0,829}^{A}}G=94⋅0,8292⋅0,829AG=94⋅0,687241⋅0,829AG=94\cdot 0,687241\cdot {{0,829}^{A}}G=94⋅0,687241⋅0,829AG≈64,601⋅0,829AG\approx 64,601\cdot {{0,829}^{A}}G≈64,601⋅0,829AHalveren, dus 0,83A=0,5{{0,83}^{A}}=0,50,83A=0,5We gebruiken de GR om deze vergelijking op te lossen.Invoer:   Y1=0,83X{{Y}_{1}}={{0,83}^{X}}Y1​=0,83X Y2=0,5{{Y}_{2}}=0,5Y2​=0,5Optie: Calc →\to →  intersect geeft X=3,720⋯X=3,720\cdots X=3,720⋯Uitkomst: De afstand moet 372372372 meter toenemen.