Kern Wiskunde B deel 2 - Hoofdstuk 6 - Goniometrische functies oefentoetsen & antwoorden

Let erop dat je rekenmachine op de juist stand staat, graden of radialen.Zo is in graden sin⁡(30)=12\sin(30) = \frac{1}{2}sin(30)=21​ en in radialen is sin⁡(16π)=12\sin(\frac{1}{6}\pi)=\frac{1}{2}sin(61​π)=21​ De coördinaten van punt $A$ zijn $\left( \cos \left( \alpha  \right),\sin \left( \alpha  \right) \right)$.Het x-coördinaat van punt $A$ is gelijk aan $\cos \left( {{140}^{\circ }} \right)\approx -0,766$.Het y-coördinaat van punt $A$ is gelijk aan $\sin \left( {{140}^{\circ }} \right)\approx 0,643$.De coördinaten van punt $A$ zijn $\left( -0,766\,;0,643 \right)$.Voor het x-coördinaat van punt $B$ geldt ${{x}_{B}}=\cos \left( \alpha  \right)=0,8$.De positieve draaihoek is dan $\alpha ={{36,869...}^{\circ }}$.Het eerste y-coördinaat is dan ${{y}_{B}}=\sin \left( {{36,869...}^{\circ }} \right)=0,6$.Het tweede $y$-coördinaat vinden we met behulp van symmetrie.Door te spiegelen in de $x$-as vinden we het andere $y$-coördinaat.Het tweede $y$-coördinaat is ${{y}_{B}}=-0,6$. ${{120}^{\circ }}=120\cdot \frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{360}\,\,\text{rad}=\frac{240\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{360}\,\,\text{rad}=\tfrac{2}{3}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\,\,\text{rad}$$\tfrac{5}{12}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\,\,\text{rad}=\frac{5\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{12}\cdot \frac{{{360}^{\circ }}}{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}=\frac{1800{{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}^{\circ }}}{24\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}={{75}^{\circ }}$$\tfrac{5}{6}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$ aflezen uit de eenheidscirkel met exacte waarden$\sin \left( \tfrac{5}{6}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ } \right)=\tfrac{1}{2}$ We herleiden eerst de formule naar de vorm y=d+asin⁡(b(x−c))y=d+a\sin \left( b\left( x-c \right) \right)y=d+asin(b(x−c)).y=−1+2sin⁡(2(x−12  ⁣ ⁣π ⁣ ⁣ ))=−1+2sin⁡(2x−  ⁣ ⁣π ⁣ ⁣ )y=-1+2\sin \left( 2\left( x-\tfrac{1}{2}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ } \right) \right)=-1+2\sin \left( 2x-\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ } \right)y=−1+2sin(2(x−21​ π ))=−1+2sin(2x− π )De evenwichtsstand is −1-1−1.De amplitude is 222.Het maximum is −1+2=1-1+2=1−1+2=1 en het minimum is −1−2=−3-1-2=-3−1−2=−3.De toppen liggen op de lijnen y=1y=1y=1 en y=−3y=-3y=−3.De evenwichtsstand is d=1−32=−1d=\frac{1-3}{2}=-1d=21−3​=−1De periode is 2  ⁣ ⁣π ⁣ ⁣ 2=  ⁣ ⁣π ⁣ ⁣ \frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{2}}=\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }22 π ​= π .De grafiek heeft een beginpunt bij x=12  ⁣ ⁣π ⁣ ⁣ x=\tfrac{1}{2}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }x=21​ π . De grafiek gaat dus stijgend door het beginpunt bij x=12  ⁣ ⁣π ⁣ ⁣ x=\tfrac{1}{2}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }x=21​ π .Tussen de toppen en de snijpunten met de evenwichtsstand ligt steeds een kwart periode. Dat is hier 14  ⁣ ⁣π ⁣ ⁣ \tfrac{1}{4}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }41​ π .Een maximum is dus bij x=34  ⁣ ⁣π ⁣ ⁣ x=\tfrac{3}{4}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }x=43​ π  en een minimum is bij x=14  ⁣ ⁣π ⁣ ⁣ x=\tfrac{1}{4}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }x=41​ π  Het beginpunt ligt tussen een minimum en maximum en de periode is   ⁣ ⁣π ⁣ ⁣ \text{ }\!\!\pi\!\!\text{ } π Vermenigvuldigen met 222 ten opzichte van de x-as geeft y=2sin⁡(x)y=2\sin \left( x \right)y=2sin(x)Vermenigvuldigen met 12\tfrac{1}{2}21​ ten opzichte van de y-as geeft y=2sin⁡(2x)y=2\sin \left( 2x \right)y=2sin(2x)De grafiek 12  ⁣ ⁣π ⁣ ⁣ \tfrac{1}{2}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }21​ π  naar rechts verschuiven geeft y=2sin⁡(2(x−12  ⁣ ⁣π ⁣ ⁣ ))y=2\sin \left( 2\left( x-\tfrac{1}{2}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ } \right) \right)y=2sin(2(x−21​ π ))De grafiek 111 omlaag verschuiven geeft y=−1+2sin⁡(2(x−12  ⁣ ⁣π ⁣ ⁣ ))y=-1+2\sin \left( 2\left( x-\tfrac{1}{2}\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ } \right) \right)y=−1+2sin(2(x−21​ π )) $\angle PTS=\angle Q$ en $\angle TPS=\angle QPR$, dus $\Delta PQR\sim\Delta PTS$.Uit de gelijkvormigheid volgt  $\frac{PQ}{PT}=\frac{QR}{TS}=\frac{PR}{PS}$.We stellen $PT=x$, dus $PR=x+4$.$\frac{PQ}{PT}=\frac{PR}{PS}$ geeft $\frac{10}{x}=\frac{x+4}{4}$De vergelijking $\frac{10}{x}=\frac{x+4}{4}$ oplossen geeft:$x\left( x+4 \right)=40$${{x}^{2}}+4x=40$${{x}^{2}}+4x-40=0$${{\left( x+2 \right)}^{2}}-4-40=0$${{\left( x+2 \right)}^{2}}=44$$x+2=\sqrt{44}\,\,\,\vee \,\,\,x+2=-\sqrt{44}$$x=\sqrt{44}-2\,\,\,\vee \,\,\,x=-\sqrt{44}-2$$x=-\sqrt{44}-2$ voldoet niet, want de lengte van een zijde kan niet negatief zijn.$PT=x=\sqrt{44}-2$ $AB=AD+BD$$AD$ is een zijde van $\vartriangle ADC$.$\Delta ADC$ is een ${{30}^{\circ }}-{{60}^{\circ }}-{{90}^{\circ }}$-driehoek.Er geldt: $CD:AD:AC=1:\sqrt{3}:2$.Hieruit volgt dat $AD=\sqrt{3}\cdot CD=\sqrt{3}\cdot 5=5\sqrt{3}$$BD$ is een zijde van $\vartriangle BCD$.$\vartriangle BCD$ is een ${{45}^{\circ }}-{{45}^{\circ }}-{{90}^{\circ }}$-driehoek.Er geldt: $CD:BD:BC=1:1:\sqrt{2}$.Hieruit volgt dat $CD=BD=5$$AB=AD+BD=5\sqrt{3}+5$ In $\vartriangle BCD$ geldt $\tan \left( {{80}^{\circ }} \right)=\frac{CD}{4}$ , dus $CD=4\cdot \tan \left( {{80}^{\circ }} \right)=22,685\cdots $In $\Delta ADC$ geldt $\sin \left( \angle A \right)=\frac{22,685\cdots }{25}$ , dus $\angle A\approx {{65}^{\circ }}$. De evenwichtsstand is $\frac{6+0,4}{2}=3,2$.De amplitude is $6-3,2=2,8$.De periode is één dag, dus $\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{1}}=2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$.Als de minimumtemperatuur bereikt wordt om 03:00 uur, dan stijgt de grafiek (een kwart periode later) om 09:00 uur door de evenwichtsstand.Dat is bij $t=\tfrac{9}{24}=0,375$Een formule is $T=3,2+2,8\sin \left( 2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }\left( t-0,375 \right) \right)$