Kern Wiskunde B deel 2 - Hoofdstuk 11 - Integraalrekening oefentoetsen & antwoorden

Deze bewering is onjuist. $p=-1$  geeft $\frac{1}{p+1}=\frac{1}{0}$ en delen door nul is niet mogelijk.Deze bewering is onjuist. Als $f\left( x \right)<0$ op $\left[ a,b \right]$, dan ligt de grafiek van $f$ onder de $x$-as op het interval $\left[ a,b \right]$. De integraal $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\,dx}$ zou dan een negatieve uitkomst geven, maar een oppervlakte kan niet negatief zijn (de uitkomst van een integraal kan wel negatief zijn, maar een oppervlakte niet).De oppervlakte is te berekenen met $-\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\,dx}$. De middens van de rechthoeken zijn x1=0,5{{x}_{1}}=0,5x1​=0,5, x2=1,5{{x}_{2}}=1,5x2​=1,5, x3=2,5{{x}_{3}}=2,5x3​=2,5, x4=3,5{{x}_{4}}=3,5x4​=3,5 en x5=4,5{{x}_{5}}=4,5x5​=4,5.∑k=15f(xk)⋅Δx=f(0,5)⋅1+f(1,5)⋅1+f(2,5)⋅1+f(3,5)⋅1+f(4,5)⋅1\sum\limits_{k=1}^{5}{f\left( {{x}_{k}} \right)\cdot \Delta x=f\left( 0,5 \right)\cdot 1}+f\left( 1,5 \right)\cdot 1+f\left( 2,5 \right)\cdot 1+f\left( 3,5 \right)\cdot 1+f\left( 4,5 \right)\cdot 1k=1∑5​f(xk​)⋅Δx=f(0,5)⋅1+f(1,5)⋅1+f(2,5)⋅1+f(3,5)⋅1+f(4,5)⋅1=3,45+4,05+4,25+4,05+3,45=19,25=3,45+4,05+4,25+4,05+3,45=19,25=3,45+4,05+4,25+4,05+3,45=19,25Een benadering van de oppervlakte is 19,2519,2519,25De grenzen zijn x=0x=0x=0 en x=5x=5x=5.De oppervlakte kunnen we berekenen met de integraal ∫05(−15x2+x+3)dx\int\limits_{0}^{5}{\left( -\tfrac{1}{5}{{x}^{2}}+x+3 \right)dx}0∫5​(−51​x2+x+3)dxWe gebruiken de optie ∫dx\int{dx}∫dx van de grafische rekenmachine om de integraal te berekenen.∫05(−15x2+x+3)dx=19,166⋯\int\limits_{0}^{5}{\left( -\tfrac{1}{5}{{x}^{2}}+x+3 \right)dx}=19,166\cdots 0∫5​(−51​x2+x+3)dx=19,166⋯De oppervlakte van het gebied GGG is ongeveer 19,219,219,2  We schrijven eerst $f(x)={{x}^{5}}+\sqrt[3]{x}$ als $f(x)={{x}^{5}}+{{x}^{\tfrac{1}{3}}}$We gebruiken $f\left( x \right)={{x}^{p}}\,\,\,\Rightarrow \,\,\,F\left( x \right)=\frac{1}{p+1}{{x}^{p+1}}+c$$F(x)=\tfrac{1}{6}{{x}^{6}}+\tfrac{1}{\tfrac{4}{3}}{{x}^{\tfrac{4}{3}}}+c=\tfrac{1}{6}{{x}^{6}}+\tfrac{3}{4}{{x}^{\tfrac{4}{3}}}+c=\tfrac{1}{6}{{x}^{6}}+\tfrac{3}{4}\cdot \sqrt[3]{{{x}^{4}}}+c$ (vergeet de constante $c$ niet)We gebruiken $f\left( x \right)=\cos \left( x \right)\,\,\,\Rightarrow \,\,\,F\left( x \right)=\sin \left( x \right)+c$ en $g\left( x \right)=f\left( ax+b \right)\,\,\,\Rightarrow \,\,\,G\left( x \right)=\tfrac{1}{a}\cdot F\left( ax+b \right)+c$$G(x)=\tfrac{1}{4}\cdot 3\sin (4x)+c=\tfrac{3}{4}\sin (4x)+c$We schrijven eerst $h(x)=\frac{5}{{{x}^{2}}}-7$ als $h(x)=5{{x}^{-2}}-7$We gebruiken $f\left( x \right)={{x}^{p}}\,\,\,\Rightarrow \,\,\,F\left( x \right)=\frac{1}{p+1}{{x}^{p+1}}+c$$H(x)=5\cdot \tfrac{1}{-1}{{x}^{-1}}-7x+c=-5{{x}^{-1}}-7x+c=-\frac{5}{x}-7x+c$We gebruiken $f\left( x \right)={{g}^{x}}\,\,\,\Rightarrow \,\,\,F\left( x \right)=\frac{1}{\ln \left( g \right)}\cdot {{g}^{x}}+c$ $J(x)=50\cdot \frac{1}{\ln \left( 2 \right)}\cdot {{2}^{x}}+c=\frac{50}{\ln \left( 2 \right)}\cdot {{2}^{x}}+c$We gebruiken $f\left( x \right)={{x}^{p}}\,\,\,\Rightarrow \,\,\,F\left( x \right)=\frac{1}{p+1}{{x}^{p+1}}+c$ en $g\left( x \right)=f\left( ax+b \right)\,\,\,\Rightarrow \,\,\,G\left( x \right)=\tfrac{1}{a}\cdot F\left( ax+b \right)+c$$K(x)=\tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot \tfrac{1}{6}\cdot {{(2x+1)}^{6}}+c=\tfrac{1}{4}{{(2x+1)}^{6}}+c$We gebruiken $f\left( x \right)=\frac{1}{x}\,\,\,\Rightarrow \,\,\,F\left( x \right)=\ln \left| x \right|+c$ en $g\left( x \right)=f\left( ax+b \right)\,\,\,\Rightarrow \,\,\,G\left( x \right)=\tfrac{1}{a}\cdot F\left( ax+b \right)+c$$L(x)=\tfrac{1}{5}\cdot \ln \left| 5x+1 \right|+c$ $\int\limits_{1}^{4}{{{x}^{2}}\sqrt{x}}\,dx=\int\limits_{1}^{4}{{{x}^{2}}\cdot {{x}^{\tfrac{1}{2}}}}\,dx=\int\limits_{1}^{4}{{{x}^{2\tfrac{1}{2}}}}\,dx=\int\limits_{1}^{4}{{{x}^{\tfrac{5}{2}}}}\,dx$$\int\limits_{1}^{4}{{{x}^{\tfrac{5}{2}}}}\,dx=\left[ \frac{1}{\tfrac{7}{2}}{{x}^{\tfrac{7}{2}}} \right]_{1}^{4}=\left[ \frac{2}{7}{{x}^{3}}\sqrt{x} \right]_{1}^{4}$$\left[ \frac{2}{7}{{x}^{3}}\sqrt{x} \right]_{1}^{4}=\frac{2}{7}\cdot {{4}^{3}}\sqrt{4}-\left( \frac{2}{7}\cdot {{1}^{3}}\sqrt{1} \right)$$=\frac{2}{7}\cdot 64\cdot 2-\frac{2}{7}$$=\frac{256}{7}-\frac{2}{7}$$=\frac{254}{7}\,\,\,\left( =36\frac{2}{7} \right)$$\int\limits_{1}^{3}{{{5}^{x}}}\,dx=\left[ \tfrac{1}{\ln \left( 5 \right)}\cdot {{5}^{x}} \right]_{1}^{3}$$=\tfrac{1}{\ln \left( 5 \right)}\cdot {{5}^{3}}-\tfrac{1}{\ln \left( 5 \right)}\cdot {{5}^{1}}$$=\tfrac{1}{\ln \left( 5 \right)}\cdot 125-\tfrac{1}{\ln \left( 5 \right)}\cdot 5$$=\tfrac{125}{\ln \left( 5 \right)}-\tfrac{5}{\ln \left( 5 \right)}=\tfrac{120}{\ln \left( 5 \right)}$$\int\limits_{1}^{e}{\frac{2}{x}}\,dx=\left[ 2\ln \left| x \right| \right]_{1}^{e}$$=2\ln \left( e \right)-2\ln \left( 1 \right)$$=2\cdot 1-0=2$ De oppervlakte van $G$ berekenen we met $O\left( G \right)=\int\limits_{-1}^{2}{f\left( x \right)dx}$$O\left( G \right)=\int\limits_{-1}^{2}{f\left( x \right)dx}$$=\int\limits_{-1}^{2}{\left( -{{x}^{4}}+{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+x+5 \right)dx}$$=\left[ -\frac{1}{5}{{x}^{5}}+\frac{1}{4}{{x}^{4}}+\frac{2}{3}{{x}^{3}}+\frac{1}{2}{{x}^{2}}+5x \right]_{-1}^{2}$$=-\frac{32}{5}+4+\frac{16}{3}+2+10-\left( \frac{1}{5}+\frac{1}{4}-\frac{2}{3}+\frac{1}{2}-5 \right)$$=-\frac{96}{15}+\frac{60}{15}+\frac{80}{15}+\frac{30}{15}+\frac{150}{15}-\left( \frac{12}{60}+\frac{15}{60}-\frac{40}{60}+\frac{30}{60}-\frac{300}{60} \right)$$=\frac{224}{15}-\left( -\frac{283}{60} \right)=\frac{896}{60}+\frac{283}{60}=\frac{1179}{60}=\frac{393}{20}$ Oppervlakte $OABC$:De lengte van $OA$ is $p$ en de lengte van $OC$ is dan $\sqrt{p}$. De oppervlakte van rechthoek $OABC$ is $p\sqrt{p}$.Oppervlakte $W$:$O\left( W \right)=\int\limits_{0}^{p}{\left( \sqrt{x} \right)\,dx}=\int\limits_{0}^{p}{\left( {{x}^{\frac{1}{2}}} \right)\,dx}$$=\left[ \frac{2}{3}{{x}^{1\frac{1}{2}}} \right]_{0}^{p}$$=\frac{2}{3}{{p}^{1\frac{1}{2}}}-\left( 0 \right)=\frac{2}{3}{{p}^{1\frac{1}{2}}}=\frac{2}{3}p\sqrt{p}$Oppervlakte $V$:$O\left( V \right)=O\left( OABC \right)-O\left( W \right)$$=p\sqrt{p}-\frac{2}{3}p\sqrt{p}$$=\frac{1}{3}p\sqrt{p}$We zien dat $O\left( W \right)=2\cdot O\left( V \right)$ voor elke waarde van $p$. Als F(x)=ln⁡(ex+1)−xF\left( x \right)=\ln \left( {{e}^{x}}+1 \right)-xF(x)=ln(ex+1)−x een primitieve is van fff, dan moet gelden F′(x)=f(x){F}'\left( x \right)=f\left( x \right)F′(x)=f(x).F′(x)=1ex+1⋅ex−1F'\left( x \right)=\frac{1}{{{e}^{x}}+1}\cdot {{e}^{x}}-1F′(x)=ex+11​⋅ex−1=exex+1−1=\frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1}-1=ex+1ex​−1=exex+1−ex+1ex+1=\frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+1}-\frac{{{e}^{x}}+1}{{{e}^{x}}+1}=ex+1ex​−ex+1ex+1​=ex−(ex+1)ex+1=\frac{{{e}^{x}}-\left( {{e}^{x}}+1 \right)}{{{e}^{x}}+1}=ex+1ex−(ex+1)​=ex−ex−1ex+1=\frac{{{e}^{x}}-{{e}^{x}}-1}{{{e}^{x}}+1}=ex+1ex−ex−1​=−1ex+1=\frac{-1}{{{e}^{x}}+1}=ex+1−1​=f(x)=f\left( x \right)=f(x)We zien dat F′(x)=f(x){F}'\left( x \right)=f\left( x \right)F′(x)=f(x), dus F(x)=ln⁡(ex+1)−xF\left( x \right)=\ln \left( {{e}^{x}}+1 \right)-xF(x)=ln(ex+1)−x is een primitieve van fff.Een schets laat zien dat het gebied onder de xxx-as ligt.De oppervlakte berekenen we met de integraal −∫0af(x) dx-\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)\,}dx−0∫a​f(x)dx (Let op! We vermenigvuldigen de integraal met −1-1−1, want het gebied ligt onder de xxx-as)−∫0af(x) dx=−∫0a−1ex+1 dx-\int\limits_{0}^{a}{f\left( x \right)\,}dx=-\int\limits_{0}^{a}{\frac{-1}{{{e}^{x}}+1}\,}dx−0∫a​f(x)dx=−0∫a​ex+1−1​dx =−∫0a−1ex+1 dx=-\int\limits_{0}^{a}{\frac{-1}{{{e}^{x}}+1}\,}dx=−0∫a​ex+1−1​dxWe hebben gezien dat F(x)=ln⁡(ex+1)−xF\left( x \right)=\ln \left( {{e}^{x}}+1 \right)-xF(x)=ln(ex+1)−x een primitieve is van fff, dus−∫0a−1ex+1 dx=−[ln⁡(ex+1)−x]0a=[−ln⁡(ex+1)+x]0a-\int\limits_{0}^{a}{\frac{-1}{{{e}^{x}}+1}\,}dx=-\left[ \ln \left( {{e}^{x}}+1 \right)-x \right]_{0}^{a}=\left[ -\ln \left( {{e}^{x}}+1 \right)+x \right]_{0}^{a}−0∫a​ex+1−1​dx=−[ln(ex+1)−x]0a​=[−ln(ex+1)+x]0a​[−ln⁡(ex+1)+x]0a=−ln⁡(ea+1)+a−(−ln⁡(e0+1)+0)\left[ -\ln \left( {{e}^{x}}+1 \right)+x \right]_{0}^{a}=-\ln \left( {{e}^{a}}+1 \right)+a-\left( -\ln \left( {{e}^{0}}+1 \right)+0 \right)[−ln(ex+1)+x]0a​=−ln(ea+1)+a−(−ln(e0+1)+0)=−ln⁡(ea+1)+a−(−ln⁡(1+1))=-\ln \left( {{e}^{a}}+1 \right)+a-\left( -\ln \left( 1+1 \right) \right)=−ln(ea+1)+a−(−ln(1+1))=−ln⁡(ea+1)+a+ln⁡(2)=-\ln \left( {{e}^{a}}+1 \right)+a+\ln \left( 2 \right)=−ln(ea+1)+a+ln(2)=a−ln⁡(ea+1)+ln⁡(2)=a-\ln \left( {{e}^{a}}+1 \right)+\ln \left( 2 \right)=a−ln(ea+1)+ln(2)Voor a>0a>0a>0 is ln⁡(ea+1)>ln⁡(ea)\ln \left( {{e}^{a}}+1 \right)>\ln \left( {{e}^{a}} \right)ln(ea+1)>ln(ea) en ln⁡(ea)=a\ln \left( {{e}^{a}} \right)=aln(ea)=a, dus a−ln⁡(ea+1)<0a-\ln \left( {{e}^{a}}+1 \right)<0a−ln(ea+1)<0Hieruit volgt dat a−ln⁡(ea+1)+ln⁡(2)<ln⁡(2)a-\ln \left( {{e}^{a}}+1 \right)+\ln \left( 2 \right)<\ln \left( 2 \right)a−ln(ea+1)+ln(2)<ln(2)Dus de oppervlakte van dit vlakdeel is voor elke waarde van aaa kleiner dan ln⁡(2)\ln \left( 2 \right)ln(2) We berekenen eerst de grenzen door de vergelijking $10-\frac{1}{2}{{x}^{2}}={{x}^{2}}-6x+10$ op te lossen.$~10-\frac{1}{2}{{x}^{2}}={{x}^{2}}-6x+10$$1\frac{1}{2}{{x}^{2}}-6x=0$$1\frac{1}{2}x\left( x-4 \right)=0$$x=0\,\,\,\vee \,\,\,x=4$De bovenste grafiek is $f$ en de onderste $g$.De oppervlakte berekenen we met de integraal $O\left( G \right)=\int\limits_{0}^{4}{\left( f\left( x \right)-g\left( x \right) \right)\,dx}$ $\int\limits_{0}^{4}{\left( 10-\frac{1}{2}{{x}^{2}}-\left( {{x}^{2}}-6x+10 \right) \right)dx}=\int\limits_{0}^{4}{\left( -1\frac{1}{2}{{x}^{2}}+6x \right)dx}$ $=\left[ -\frac{1}{2}{{x}^{3}}+3{{x}^{2}} \right]_{0}^{4}$$=-\frac{1}{2}\cdot {{4}^{3}}+3\cdot {{4}^{2}}-\left( 0 \right)=-32+48=16$ Het verbruik kunnen we berekenen met de integraal $\int\limits_{0}^{15}{v(t)}\,dt=\int\limits_{0}^{15}{2{{e}^{-0,2t}}}\,dt$$\int\limits_{0}^{15}{2{{e}^{-0,2t}}}\,dt=\left[ 2{{e}^{-0,2t}}\cdot \tfrac{1}{-0,2} \right]_{0}^{15}=\left[ -10{{e}^{-0,2t}} \right]_{0}^{15}$$=-10{{e}^{-0,2\cdot 15}}-\left( -10{{e}^{-0,2\cdot 0}} \right)$$=-10{{e}^{-3}}+10{{e}^{0}}$$=-10{{e}^{-3}}+10\approx 9,5$In de eerste 15 minuten is er ongeveer 9,5 liter brandstof verbruikt.We moeten de vergelijking $\int\limits_{0}^{x}{2{{e}^{-0,2t}}}\,dt=5$ oplossen voor $x$.$\int\limits_{0}^{x}{2{{e}^{-0,2t}}}\,dt=5$$\left[ -10{{e}^{-0,2t}} \right]_{0}^{x}=5$$-10{{e}^{-0,2x}}-\left( -10{{e}^{0}} \right)=5$$-10{{e}^{-0,2x}}+10=5$$-10{{e}^{-0,2x}}=-5$${{e}^{-0,2x}}=\tfrac{1}{2}$$-0,2x=\ln \left( \tfrac{1}{2} \right)$$x=-5\ln \left( \tfrac{1}{2} \right)\approx 3,5$Na ongeveer 3,5 minuten is er 5 liter brandstof verbruikt.