Polaris Natuurkunde - Hoofdstuk 12 - Medische beeldvorming oefentoetsen & antwoorden

Echografie gebruikt ultrasone geluidsgolven in plaats van ioniserende straling (zoals röntgenstraling), wat het veilig maakt voor zowel moeder als kind. Het geluid weerkaatst op overgangen tussen weefsels met verschillende dichtheden, zoals huid, spieren en vruchtwater. De teruggekaatste geluidsgolven worden omgezet in beelden, waarmee de arts de ontwikkeling van de foetus zonder schadelijke straling kan volgen.Bij MRI wordt gebruikgemaakt van een sterk magnetisch veld en radiogolven om de ligging van waterstofatomen (vooral in water) in beeld te brengen. Voor het maken van een afbeelding is het belangrijk dat de MRI weet waar de signalen vandaan komen. Dat kan alleen als het magnetisch veld plaatsafhankelijk (dus niet overal gelijk) is. Hierdoor hebben waterstofatomen op verschillende plekken een iets andere resonantiefrequentie, waardoor de MRI-locatie-informatie uit de signalen kan halen en een beeld kan opbouwen.Tracers worden gebruikt om processen in het lichaam te volgen, bijvoorbeeld in de schildklier of bij tumoren. Alleen gammastralers zijn geschikt omdat deze straling diep uit het lichaam naar buiten kan dringen en dus van buitenaf te detecteren is met een gammacamera. Alfa- en bètastraling hebben een veel kleiner doordringend vermogen en worden al na een paar millimeter in het lichaam geabsorbeerd, waardoor ze niet bruikbaar zijn voor detectie van buitenaf.Dosis (D): de hoeveelheid energie (in joule) die per kilogram weefsel wordt geabsorbeerd. Eenheid: gray (Gy).Equivalente dosis (H): houdt rekening met het type straling (bijv. alfa, bèta, gamma). Bepaal je door de dosis te vermenigvuldigen met een weegfactor voor de stralingssoort. Eenheid: Sievert (Sv).Effectieve dosis (E): houdt ook rekening met de gevoeligheid van het orgaan of weefsel. Je telt de equivalente doses per orgaan op, vermenigvuldigd met de weegfactoren voor de organen. Deze geeft dus een schatting van het totale gezondheidsrisico door straling. Ook in Sievert (Sv). Bij echografie worden ultrasone geluidsgolven het lichaam in gestuurd. Deze golven worden teruggekaatst op overgangen tussen weefsels waar de geluidssnelheid verandert. De echo’s die zo ontstaan, worden opgevangen en gebruikt om een beeld te maken van de binnenkant van het lichaam.De terugkaatsing ontstaat vooral door verschillen in geluidssnelheid tussen materialen, niet zozeer door het verschil in dichtheid alleen. Wanneer geluidsgolven van het ene weefsel naar het andere gaan, verandert de geluidssnelheid. En hoe groter die verandering, hoe sterker de reflectie.Tussen lucht en huid is de verandering in geluidssnelheid extreem groot, waardoor bijna alle geluid wordt teruggekaatst nog vóór het lichaam in. Dit zou leiden tot een sterk storend signaal (ruis) en een onscherp of onbruikbaar beeld.Daarom wordt er gel op de huid aangebracht: deze gel heeft een geluidssnelheid die veel beter overeenkomt met die van de huid, zodat het geluid bijna volledig het lichaam in kan gaan. Zo voorkom je sterke reflectie aan het oppervlak en krijg je een helder echobeeld van de inwendige structuren.Gegeven:$d = 0{,}50\,\text{mm} = 5{,}0 \cdot 10^{-4}\,\text{m}$ $v = 1{,}5 \cdot 10^3\,\text{m/s}$ (geluidssnelheid in water)Gevraagd:$f_\text{max}$ waarmee een bloedvat van $0{,}50\,\text{mm}$ zichtbaar is. Formules:$\lambda = 2 \cdot d$$v = f \cdot \lambda$ Berekening:$\lambda = 2 \cdot 5{,}0 \cdot 10^{-4} = 1{,}0 \cdot 10^{-3}\,\text{m}$$f = \dfrac{v}{\lambda} = \dfrac{1{,}5 \cdot 10^3}{1{,}0 \cdot 10^{-3}} = 1{,}5 \cdot 10^6\,\text{Hz}$Conclusie:De maximale frequentie waarmee bloedvaten van $0{,}50\,\text{mm}$ zichtbaar zijn is $1{,}5\,\text{MHz}$. Gegeven:ΔBΔx=10μT/mm=10−6 T/mm \dfrac{\Delta B}{\Delta x} = 10 \mu T /mm = 10^{-6} \ T/mm ΔxΔB​=10 μT/mm=10−6 T/mmγ=42,6⋅106 Hz/T \gamma = 42,6\cdot10^6 \ Hz/T γ=42,6⋅106 Hz/TGevraagd:ΔfΔx \dfrac{\Delta f}{\Delta x} ΔxΔf​Formule:ΔfΔx=γ⋅ΔBΔx\frac{\Delta f}{\Delta x} = \gamma \cdot \frac{\Delta B}{\Delta x}ΔxΔf​=γ⋅ΔxΔB​BerekeningΔfΔx=42,6⋅106⋅10⋅10−6=426\ Hz/mm\frac{\Delta f}{\Delta x} = 42,6 {\cdot} 10^6 \cdot 10 {\cdot} 10^{-6} = 426\  Hz/mmΔxΔf​=42,6⋅106⋅10⋅10−6=426 Hz/mmConclusie: De frequentie neemt toe met 426 Hz per millimeter.Gegeven:ΔfΔx=426 Hz/mm \dfrac{\Delta f}{\Delta x} = 426\ Hz/mm ΔxΔf​=426 Hz/mmΔf=1,0 kHz=1000 Hz \Delta f = 1,0\ kHz = 1000\ HzΔf=1,0 kHz=1000 HzGevraagd:Δx \Delta x ΔxFormule:Δx=Δf(ΔfΔx)\Delta x = \frac{\Delta f}{\left (\dfrac{\Delta f}{\Delta x} \right)}Δx=(ΔxΔf​)Δf​BerekeningΔx=1000426=2,35 mm\Delta x = \frac{1000}{426} = 2,35\ mm Δx=4261000​=2,35 mmConclusie:De MRI kan plakjes weefsel van ongeveer 2,35 mm breed afzonderlijk meten.Doordat het magnetisch veld lineair verandert met de positie, verandert ook de precessiefrequentie van de protonen. Elk plakje in het lichaam heeft daardoor een unieke frequentie. De ontvanger meet welke frequenties aanwezig zijn en koppelt elke frequentie aan een positie in het lichaam. Op die manier ontstaat een beeld van hoe het signaal verdeeld is over één richting in het lichaam. $\rm {^{18}_9F \to\ ^{18}_8O + \beta^+}$Kankercellen hebben een verhoogde stofwisseling en nemen daardoor meer glucose op dan normale cellen. Door de positronstraler te koppelen aan een glucosemolecuul, hoopt de straling zich op in kankercellen, waardoor ze goed zichtbaar worden op de scan.Gegeven:Beginactiviteit: $A_0 = 1,5\cdot 10^6\ s^{-1}$Halveringstijd: $T_{1/2} = 110\ min$Verstreken tijd: $t = 90\ min$Gevraagd:Aantal fotonen per seconde op tijdstip t = 90 min.Formule(s):$ A(t) = A_0 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{t / T_{1/2}}$ $ N_{\text{fotonen}} = 2 \cdot A(t) $Berekening:$A(90) = 1{,}5 {\cdot} 10^6 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{90/110} $ $ \frac{90}{110} = 0{,}818 \quad \Rightarrow \quad \left( \frac{1}{2} \right)^{0{,}818} \approx 0{,}56 $$A(90) \approx 1{,}5 {\cdot} 10^6 \cdot 0{,}56 = 8{,}4 \cdot 10^5 $$N_{\text{fotonen}} = 2 \cdot 8{,}4 {\cdot} 10^5 = 1{,}7 \cdot 10^6$Conclusie:  90 min na toediening worden er nog ongeveer $1,7 \cdot 10^6$ fotonen per seconde uitgezonden. Gegeven:$A = 4,0 \cdot 10^6\ Bq$$t = 30\ min = 1800\ s$Gevraagd:Aantal uitgezonden deeltjes $N$Formule:$N = A \cdot t$Berekening:$N = 4{,}0 {\cdot} 10^6 \cdot 1800 = 7{,}2 \cdot 10^9$ConclusieEr zijn $7,2 \cdot 10^9$ $\alpha$-deeltjes uitgezonden.Gegeven:$N = 7,2 \cdot 10^9$$E = 5,0\ MeV = 8,0 \cdot 10^{-13}\ J$$m = 200\ g = 0,200\ kg$Gevraagd:Equivalente dosis $H$ in SvFormules:$E_{\text{totaal}} = N \cdot E$$D = \frac{E_{\text{totaal}}}{m}$$H = D \cdot w_R$Berekening:$E_{\text{totaal}} = 7,2 {\cdot} 10^9 \cdot 8,0 {\cdot} 10^{-13} = 5,76\ \text{J}$$D = \frac{5,76}{0,200} = 28,8\ \text{Gy}$$H = 28,8 \cdot 20 = 576\ \text{Sv}$Conclusie:De equivalente dosis aan de hand is $576$~SvHoewel de steen een hoge activiteit heeft en $\alpha$-deeltjes veel schade kunnen veroorzaken in weefsel, hebben $\alpha$-deeltjes een zeer klein doordringend vermogen. Ze worden al tegengehouden door een paar centimeter lucht, kleding of de buitenste laag dode huidcellen.  De berekening gaat ervan uit dat alle uitgezonden $\alpha$-deeltjes volledig worden geabsorbeerd in de hand, wat in werkelijkheid niet zo is. Slechts een klein deel van de deeltjes bereikt daadwerkelijk het levende weefsel.  Daarom is de werkelijk geabsorbeerde dosis veel kleiner dan de theoretisch berekende waarde.(De activiteit was gemeten aan de buitenkant van de steen, dus de absorptie door de steen zelf is geen reden.) Gegeven:Halveringsdikte van botten $d_{1/2} = 2,5\ cm$Initiële intensiteit $I_0 = 100\%$Dikte van het bot $d = 4,2\ cm$Gevraagd:Intensiteit van de röntgenstraal na doorgang door het bot $I$Formule:De intensiteit na doorgang door een materiaal wordt gegeven door:$I = I_0 \cdot 0,5^{d/d_{1/2}}$Berekening:$I = 100 \cdot 0,5^{4,2 / 2,5} = 100 \cdot 0,5^{1,68} = 100 \cdot 0,312 = 31,2\%$Conclusie:De intensiteit van de röntgenstraal na 4,2 cm bot is ongeveer 31,1% van de oorspronkelijke intensiteit.Gegeven:$I_0 = 100 \%$$d_{\text{spier}} = 2,0\ cm$ en $d_{1/2,\ \text{spier}} = 3,0\ cm$$d_{\text{bot}} = 4,2\ cm$ en $d_{1/2,\ \text{bot}} = 2,5\ cm$Gevraagd:Intensiteit $I$ na beide lagen.Formule:$I = I_0 \cdot 0,5^{d_{\text{spier}} / d_{1/2,\ \text{spier}}} \cdot 0,5^{d_{\text{bot}} / d_{1/2,\ \text{bot}}}$Berekening:$I = 100 \cdot 0,5^{2,0 / 3,0} \cdot 0,5^{4,2 / 2,5} = 100 \cdot 0,5^{0,67} \cdot 0,5^{1,68}$$I = 100 \cdot 0,63 \cdot 0,312 = 100 \cdot 0,1966 = 19,6\%$Conclusie:Na doorgang door 2,0 cm spierweefsel en 4,2 cm bot is de intensiteit nog ongeveer 19,6% van de oorspronkelijke waarde.Als de intensiteit van de straling te laag is, bereikt er te weinig straling de detector. Hierdoor ontstaat er een slecht contrast of te donker beeld. Er is dan onvoldoende verschil te zien tussen de verschillende weefsels (zoals spieren en botten), wat een goede diagnose bemoeilijkt.De getallen $0,5$ en $ 2^{-1}$ zijn aan elkaar gelijk. Dus:$0,5^{d/d_{1/2}} = (2^{-1})^{d/d_{1/2}} = 2^{-d/d_{1/2}} $Beide formules beschrijven dus dezelfde exponentiële afname van intensiteit, maar met een andere wiskundige notatie. Doordat het magneetveld lineair verandert met $ x $, verschilt de precessiefrequentie van de protonen per positie in het lichaam. De RF-puls heeft een vaste frequentie en zal daarom alleen protonen in resonantie brengen op de plek waar de lokale waarde van $ B(x) $ precies overeenkomt met deze frequentie. Door het aanpassen van de RF-frequentie of de gradiënt kan men bepalen op welke positie protonen aangeslagen worden. Dit maakt plaatsselectie mogelijk in de MRI.Gegeven:$ f = 63,94\, MHz$ $\gamma = 42,6\cdot10^6 \, Hz/T$$B_0 =1,50\, T$$G = 10\, \mu T/mm$Gevraagd:De positie $x$ waar gemeten wordt. Formule:$f = \gamma \cdot B \quad \Rightarrow \quad B = \frac{f}{\gamma}$Berekening:Stap 1: Bereken het bijbehorende magneetveld:$B = \frac{63,94 {\cdot} 10^6}{42,6 {\cdot} 10^6} = 1,50\, T$Stap 2: Bereken de positie $x$ waarbij dit magneetveld optreedt:$B(x) = B_0 + G \cdot x \quad \Rightarrow \quad 1,501 = 1,50 + 10 \cdot 10^{-6} \cdot x \Rightarrow x = \frac{0,001}{10 \cdot 10^{-6}} = 100\, mm$Conclusie:Protonen worden aangeslagen op de positie $x = 100\, mm $, waar het totale magneetveld gelijk is aan 1,501 T. Vervalvergelijking:$^{99m}_{43}Tc \to ^{99}_{43}Tc + \gamma$Dit is een gammastralingsverval. Het atoom verandert niet van element, maar verliest energie door het uitzenden van een gammafoton.Gegeven:$m = 0,20\ mg =  2,0\cdot10^{-7}\ kg$$m_{\text{atoom}} = 1,65\cdot10^{-25}\ kg$$T_{1/2} = 6,0\ uur = 2,16\cdot10^{4} \ s$Gevraagd: Beginactiviteit $A_0$Formules:$N = \frac{m}{m_{\text{atoom}}}$$A_0 = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}\cdot N$Berekening:$N = \frac{2,0 \cdot 10^{-7}}{1,65 \cdot 10^{-25}} = 1,21 \cdot 10^{18} $$A_0 = \frac{\ln 2}{2,16 {\cdot} 10^4} \cdot 1,21 {\cdot} 10^{18} = 3,9 \cdot 10^{13} \, \text{Bq}$Conclusie: De beginactiviteit is ongeveer 3,9×10¹³ Bq.Bij SPECT wordt direct gammastraling gedetecteerd die bij het radioactieve verval vrijkomt. Bij PET is juist een positron nodig dat annihileert met een elektron, waarbij twee fotonen ontstaan. Die detectiemethode is complexer en vereist positronstralers. SPECT gebruikt enkelvoudige gammastraling die eenvoudiger te registreren is met een gamma-camera.Gegeven:Beginactiviteit $A_0 = 3,9\cdot 10^{13}\ Bq$Halveringstijd $T_{1/2} = 6,0\ uur = 2,16\cdot 10^4\ s$Verstreken tijd $t = 4,0\ uur = 1,44\cdot 10^4\ s$Gevraagd: Activiteit op t = 4,0 uur, in fotonen per secondeFormule:$A(t) = A_0 \cdot \frac{1}{2}^{t / T_{1/2}}$Berekening:$t / T_{1/2} = \frac{1,44 \cdot 10^4}{2,16 \cdot 10^4} = 0,667$$A(t) = 3,9 {\cdot} 10^{13} \cdot \frac{1}{2}^{0,667} = 3,9 {\cdot} 10^{13} \cdot 0,58 = 2,3 \cdot 10^{13}$Conclusie: Op dat moment worden er ongeveer 2,3 × 10¹³ gammastralen per seconde uitgezonden. Gegeven: $ P = 4,0\cdot10^{10} \, Watt $$t = 365 \cdot 24 \cdot 3600 = 3,15\cdot10^7 \, s$Gevraagd: $ E$ in joule.Formule: $E = P \cdot t$Berekening:$E = 4,0 {\cdot} 10^{-10} \cdot 3,15 {\cdot} 10^{7} = 1,26 \cdot 10^{-2} \, J$Conclusie: In één jaar komt \(1,3\cdot10^{-2} \text{joule} \) vrij aan stralingsenergie.Gegeven$E_{\text{totaal}} = 1,26\cdot 10^{-2}\, \text{joule} $Geabsorbeerd: 15% $E = 0,15 \cdot 1,26 {\cdot} 10{-2} = 1,89\cdot 10{-3}\, \text{joule}$$m = 4,0\cdot10{-2}\, \text{kilogram} $$ w_R = 1 $ (voor gammastraling)Gevraagd: $ H $ in sievert Formules:$D = \frac{E}{m} $$ H= D \cdot w_R $Berekening:$D = \frac{1,89\cdot10{-3}}{4,0\cdot10^{-2}} = 4,72510^{-2}\, \text{Gy}$ $H = 4,725 {\cdot} 10^{-2} \cdot 1 = 4,725\cdot 10^{-2}\, \text{Sv}= 47,25 \, mSv$Conclusie: De equivalente dosis bedraagt 47 millisievert per jaar. Dit ligt ruim boven de limiet van 1,0 millisievert. Het dragen van deze hanger levert dus een onaanvaardbaar hoge stralingsdosis op.