Kern Wiskunde A Deel 2 - Hoofdstuk 11 - Kansverdelingen oefentoetsen & antwoorden

Deze bewering is juist. Deze bewering is onjuist. De standaardafwijking van een kansverdeling kun je berekenen door de wortel te nemen van de variantie. Deze bewering is onjuist. Je kunt een binomiale verdeling goed benaderen met een normale verdeling als geldt:  $n\cdot p>5$ en $n\cdot \left( 1-p \right)>5$. Verwachtingswaarde $E\left( Y \right)= 0  \cdot 0,1 + 1 \cdot 0,25 + 2 \cdot 0,3 + 3 \cdot 0,2 + 4 \cdot 0,15 = 2,05$We gaan nu de grafische rekenmachine gebruiken.Voer in: lijst 1 $=\left\{ 0,1,2,3,4 \right\}$ en lijst 2 $=\left\{ 0.1,0.25,0.3,0.2,0.15 \right\}$Optie 1-var-stats geeft:$\sigma \left( Y \right)=1,203\cdots \approx 1,20$. Je ziet hiwe ook dat $E\left( Y \right)=2,05$.$E\left( T \right)=7\cdot 2,05=14,35$$\sigma \left( T \right)=\sqrt{7}\cdot 1,203\cdots =3,183\cdots \approx 3,18$$M$ is binomiaal verdeeld met $n=7$ en $p=P\left( Y=3 \right)=0,2$.$E\left( M \right)=7\cdot 0,2=1,4$$\sigma \left( M \right)=\sqrt{7\cdot 0,2\cdot \left( 1-0,2 \right)}=1,058\cdots \approx 1,06$ We gebruiken de grafische rekenmachine: $\text{Opp}=\text{normalcdf}\left( l,r,\mu ,\sigma  \right)$We zien dat $\mu =80$, $\sigma =7$, $l=75$ en $r=90$.Invoeren in de GR geeft: $\text{Opp}=\text{normalcdf}\left( 75,90,80,7 \right)\approx 0,686$We gebruiken de grafische rekenmachine: $\text{Opp}=\text{normalcdf}\left( l,r,\mu ,\sigma  \right)$We zien dat $\mu =80$, $\sigma =7$, $l=90$ en $r={{10}^{99}}$.Invoeren in de GR geeft: $\text{Opp}=\text{normalcdf}\left( {{90,10}^{99}},80,7 \right)\approx 0,077$We willen een grenswaarde berekenen. Daarvoor gebruiken de “invNorm” We gebruiken de grafische rekenmachine: $\text{Opp}=\text{invNorm}\left( \text{op}{{\text{p}}_{l}},\mu ,\sigma  \right)$We zien dat $\mu =80$, $\sigma =7$, $l=75$ en $\text{op}{{\text{p}}_{l}}=0,234$.Invoeren in de GR geeft: $\text{Opp}=\text{invNorm}\left( 0.234,80,7 \right)\approx 74,9$ $X$ is het aantal mensen met het gen.$X$ is binomiaal verdeeld met $n=12$ en $p=0,08$.$P(X=3)=\binom{12}{3}\cdot {{0,08}^{3}}\cdot {{(1-0,08)}^{9}}\approx 0,053$.$P\left( X\ge 4 \right)=1-P\left( X\le 3 \right)$We gebruiken de optie binomcdf op de grafische rekenmachine.$P\left( X\ge 4 \right)=0,012$ T=C+DT=C+DT=C+DEr zijn 5⋅4=205\cdot 4=205⋅4=20 mogelijkheden bij het trekken zonder terugleggen.De mogelijkheden zijn:De kansverdeling is dan:E(C)=E(D)=2+4+6+8+105=6E\left( C \right)=E\left( D \right)=\frac{2+4+6+8+10}{5}=6E(C)=E(D)=52+4+6+8+10​=6E(C)+E(D)=12E\left( C \right)+E\left( D \right)=12E(C)+E(D)=12E(T)=220⋅6+220⋅8+420⋅10+420⋅12+420⋅14+220⋅16+220⋅18=12E\left( T \right)=\frac{2}{20}\cdot 6+\frac{2}{20}\cdot 8+\frac{4}{20}\cdot 10+\frac{4}{20}\cdot 12+\frac{4}{20}\cdot 14+\frac{2}{20}\cdot 16+\frac{2}{20}\cdot 18=12E(T)=202​⋅6+202​⋅8+204​⋅10+204​⋅12+204​⋅14+202​⋅16+202​⋅18=12 (mag ook met GR)Dus E(T)=E(C)+E(D)E\left( T \right)=E\left( C \right)+E\left( D \right)E(T)=E(C)+E(D)Var(C)\text{Var}\left( C \right)Var(C) en Var(D)\text{Var}\left( D \right)Var(D):De kans op elke kaart is 15=0,2\frac{1}{5}=0,251​=0,2Voer in: lijst 1 ={2,4,6,8,10}=\left\{ 2,4,6,8,10 \right\}={2,4,6,8,10} en lijst 2 ={0.2,0.2,0.2,0.2,0.2}=\left\{ 0.2,0.2,0.2,0.2,0.2 \right\}={0.2,0.2,0.2,0.2,0.2}Optie 1-var-stats geeft: Var(C)=Var(D)=8\text{Var}\left( C \right)=\text{Var}\left( D \right)=8Var(C)=Var(D)=8Var(T)\text{Var}\left( T \right)Var(T) :Voer in: lijst 1 ={6,8,10,12,14,16,18}=\left\{ 6,8,10,12,14,16,18 \right\}={6,8,10,12,14,16,18} en lijst 2 ={0.1,0.1,0.2,0.2,0.2,0.1,0.1}=\left\{ 0.1,0.1,0.2,0.2,0.2,0.1,0.1 \right\}={0.1,0.1,0.2,0.2,0.2,0.1,0.1}Optie 1-var-stats geeft: Var(T)=12\text{Var}\left( T \right)=12Var(T)=12De toevalsvariabelen CCC en DDD zijn afhankelijk. De getrokken kaart wordt niet teruggelegd en dit heeft invloed op de tweede kaart die wordt getrokken.We zien ook dat  Var(T)≠Var(C)+Var(D)\text{Var}\left( T \right)\ne \text{Var}\left( C \right)\text{+Var}\left( D \right)Var(T)=Var(C)+Var(D), dit is omdat CCC en DDD afhankelijk zijn. De uitgaven zijn normaal verdeeld met $\mu =8,37$ en $\sigma =2,14$We willen de oppervlakte onder de normaalkromme met rechtergrens $6,00$ en linkergrens $-{{10}^{99}}$Invoeren in de GR geeft:$\text{Opp}=\text{normalcdf}\left( -{{10}^{99}},6,8.37,2.14 \right)\approx 0,134$Dus $13,4\%$ van de bezoekers geeft minder dan € 6,00 uit aan etenswaren De uitgaven zijn normaal verdeeld met $\mu =8,37$ en $\sigma =2,14$We willen de oppervlakte onder de normaalkromme met linkergrens $6,50$ en rechtergrens $7,50$ Invoeren in de GR geeft:$\text{Opp}=\text{normalcdf}\left( 6.5,7.5,8.37,2.14 \right)\approx 0,151$Dus $15,1\%$ van de bezoekers geeft een bedrag van tussen de € 6,50 en € 7,50 uit aan etenswaren.De uitgaven zijn normaal verdeeld met $\mu =8,37$ en $\sigma =2,14$We willen de oppervlakte onder de normaalkromme met linkergrens $10,00$ en rechtergrens ${{10}^{99}}$.Invoeren in de GR geeft:$\text{Opp}=\text{normalcdf}\left( {{10,10}^{99}},8.37,2.14 \right)\approx 0,223$Dus $22,3\%$ van de bezoekers geeft een bedrag van meer dan € 10,00 uit aan etenswaren.Dit zijn  $882\cdot 0.223\approx 196$ bezoekers (let op… we ronden af naar beneden).De uitgaven zijn normaal verdeeld met $\mu =8,37$ en $\sigma =2,14$We willen de rechtergrens $X$ van het deel met een oppervlakte van $0,25$ onder de normaalkromme met linkergrens $8,50$.We gaan de vergelijking $\text{0}\text{,25}=\text{normalcdf}\left( 8,5,X,8.37,2.14 \right)$ oplossen.GR:Invoer: ${{Y}_{1}}=0,25$ en ${{Y}_{2}}=\text{normalcdf}\left( 8,5,X,8.37,2.14 \right)$Optie: $\text{Calc }\to \text{ intersect geeft }X=9,981\cdots $Uitkomst: Er wordt maximaal € 9,98 uitgegeven.  Omdat het gaat om een discrete waarde (aantal bezoekers), passen we de continuïteitscorrectie toe: $P(X<100)\approx P(Y<99,5)$De optie normalcdf geeft $P(Y<99,5)=0,2099\cdots $Ongeveer $21,0\%$ van de bezoekersContinuïteitscorrectie: $P(X=120)\approx P(119,5<Y<120,5)$De optie normalcdf geeft $P(119,5<Y<120,5)\approx 0,023$Continuïteitscorrectie: $P(X>130)\approx P(Y>130,5)$De optie normalcdf geeft $P(Y>130,5)\approx 0,116$ $X=$score van een leerling met wiskunde A of B$\bar{X}$ is normaal verdeeld met $\mu \left( {\bar{X}} \right)=68,4$ en $\sigma \left( {\bar{X}} \right)=\frac{5,2}{\sqrt{6}}\text{ }$Bereken met de GR geeft:$P\left( \bar{X}>70 \right)=\text{normalcdf}\left( {{70,10}^{99}},68.4,\frac{5.2}{\sqrt{6}} \right)\approx \text{0}\text{.226}$$Y=$score van een leerling zonder wiskunde$\bar{Y}$ is normaal verdeeld met $\mu \left( {\bar{Y}} \right)=61,3$ en $\sigma \left( {\bar{Y}} \right)=\frac{6,4}{\sqrt{8}}\text{ }$Bereken met de GR geeft:$P\left( \bar{Y}<60 \right)=\text{normalcdf}\left( -{{10}^{99}},60,61.3,\frac{6.4}{\sqrt{8}} \right)\approx \text{0}\text{.283}$De totale geschatte tijd $T$ voor het maken van de rekentoets is $T=X+Y$$T$ is normaal verdeeld met $\mu \left( T \right)=50+40=90$ minuten en $\sigma \left( T \right)=\sqrt{{{6}^{2}}+{{3}^{2}}}=\sqrt{45}$ minuten.Niet op tijd af, dus $T>100$Bereken met de GR geeft:$P\left( T>100 \right)=\text{normalcdf}\left( {{100,10}^{99}},90,\sqrt{45} \right)=\text{0}\text{.0680}\ldots $Dus 6,8% van de leerlingen zal de toets niet op tijd afkrijgen.