Kern Wiskunde B deel 2 - Hoofdstuk 12 - Parametervoorstellingen oefentoetsen & antwoorden

Deze bewering is juist. Deze bewering is onjuist. $\vec{v}\left( t \right)$ is een vector. De baanversnelling is de lengte van de snelheidsvector, dus $v\left( t \right)=\left| \vec{v}\left( t \right) \right|$. De baansnelheid van een punt kun je berekenen met $v\left( t \right)=\left| \vec{v}\left( t \right) \right|=\sqrt{{{\left( {x}'\left( t \right) \right)}^{2}}+{{\left( {y}'\left( t \right) \right)}^{2}}}$ . Het snijpunt ligt op $l$, dus $x = 4 + \lambda$ en $y = -1 + 2\lambda$.Substitueren in $m$ geeft:$2(4+\lambda )-3(-1+2\lambda )=12$$8+2\lambda +3-6\lambda =12$$-4\lambda =1$$\lambda =-\frac{1}{4}$$\lambda =-\frac{1}{4}$ substitueren in $l$ geeft:$l: \binom{x}{y} = \binom{4}{-1} -\frac{1}{4}\binom{1}{2}=\binom{3\tfrac{3}{4}}{  -1\tfrac{1}{2} }$ De coördinaten van het snijpunt zijn $\left( 3\tfrac{3}{4},-1\tfrac{1}{2} \right)$.Het snijpunt ligt op $l$, dus $x=3+\lambda $ en $y=2-\lambda $.Het snijpunt ligt op $m$, dus $x=-1+2\mu $ en $y=6+\mu $.Het snijpunt ligt op beide lijnen, dus $3+\lambda =-1+2\mu $ en $2-\lambda =6+\mu $Dit geeft het stelsel $\left\{ \begin{aligned} & 3+\lambda =-1+2\mu  \\  & 2-\lambda =6+\mu  \\ \end{aligned} \right.$ Het stelsel oplossen geeft $\begin{aligned} \left\{ {{\underline{\begin{aligned}   3+\lambda =-1+2\mu  & \\  2-\lambda =6+\mu  & \\ \end{aligned}}}_{+}} \right. & \\  5=5+3\mu  & \\  3\mu =0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, & \\  \mu =0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, & \\ \end{aligned}$$\mu =0$ geeft $m: \binom{x}{y} = \binom{-1}{6}+0\cdot\binom{2}{1}=\binom{-1}{6}$  De coördinaten van het snijpunt zijn $\left( -1,6 \right)$. Punt $P$ heeft coördinaten $\left( x\left( 1 \right),y\left( 1 \right) \right)$.$x\left( 1 \right)=2\cdot 1+3=5$ en $y\left( 1 \right)=-4\cdot 1+1=-3$De coördinaten zijn $\left( 5,-3 \right)$.Laten we de eindpunten $A$ en $B$ noemen.Dan is $A\left( x\left( -2 \right),y\left( -2 \right) \right)$en $B\left( x\left( 3 \right),y\left( 3 \right) \right)$Dit geeft $A\left( -1,9 \right)$ en $B\left( 9,-11 \right)$De afstandsformule  $\left| AB \right|=\sqrt{{{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right)}^{2}}}$ geeft:$\left| AB \right|=\sqrt{{{\left( 9--1 \right)}^{2}}+{{\left( -11-9 \right)}^{2}}}$$\left| AB \right|=\sqrt{{{\left( 10 \right)}^{2}}+{{\left( -20 \right)}^{2}}}$$\left| AB \right|=\sqrt{100+400}$$\left| AB \right|=\sqrt{500}\,\,\,\left( =10\sqrt{5} \right)$ Punt $B$ ligt op de $x$-as, dus moet gelden $y(t)=0$.$y\left( t \right)=0$ geeft ${{t}^{3}}-3t=0$${{t}^{3}}-3t=0$$t\left( {{t}^{2}}-3 \right)=0$$t=0\ \vee \ {{t}^{2}}=3$$t=0\ \vee \ t=\sqrt{3}\ \vee \ t=-\sqrt{3}$Er zijn dus drie momenten waarop $P$ de $x$-as passeert. We zoeken de bijbehorende $x$-coördinaten door de gevonden $t$-waarden in te vullen in $x(t)$.$x\left( 0 \right)=-4$, $x\left( \sqrt{3} \right)=-1$ en $x\left( -\sqrt{3} \right)=-1$Voor $t=0$ snijdt de baan van $P$ de $x$-as in punt $A(-4,0)$, want ${{x}_{A}}<{{x}_{B}}$ en voor $t=\sqrt{3}$ en $t=-\sqrt{3}$ in punt $B(-1,0)$.De coördinaten van $A$ zijn ($(-4,0)$ (zie de vorige opgave).Voor het vinden van de coördinaten van $C$ en $D$ lossen we de vergelijkingen $x\left( t \right)=0$ op, want de punten bevinden zich op de $y$-as.$x\left( t \right)=0$ geeft ${{t}^{2}}-4=0$${{t}^{2}}-4=0$${{t}^{2}}=4$$t=2\ \vee \ t=-2$Invullen in $y\left( t \right)$ voor de $y$-coördinaten geeft:$y\left( -2 \right)=-2$ en $y\left( 2 \right)=2$, dus $C(0,-2)$ en $D(0,2)$.De oppervlakte van driehoek $ACD$ berekenen met $Op{{p}_{\Delta ACD}}=\frac{1}{2}\cdot \left| OA \right|\cdot \left| CD \right|$$\left| OA \right|=0--4=4$ en $\left| CD \right|=2--2=4$$Op{{p}_{\Delta ACD}}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4=8$ Bij een cirkel met middelpunt $M(3, -2)$ en straal $4$ horen de bewegingsvergelijkingen $\left\{ \begin{aligned} & x\left( t \right)=3+2\cos \left( t \right) \\  & y\left( t \right)=-2+2\sin \left( t \right) \\ \end{aligned} \right.$.De beweging is met de klok mee, dus $\left\{ \begin{aligned} & x\left( t \right)=3+2\cos \left( -t \right) \\  & y\left( t \right)=-2+2\sin \left( -t \right) \\ \end{aligned} \right.$Op een kwart van de cirkel, oftewel bij $t=\tfrac{1}{2}\pi $ is het punt onderaan de cirkel. Je kunt dus $\tfrac{1}{2}\pi $ bij $t$ optellen zodat het punt onderaan de cirkel begint:$\left\{ \begin{aligned} & x\left( t \right)=3+2\cos \left( -\left( t+\tfrac{1}{2}\pi  \right) \right) \\ & y\left( t \right)=-2+2\sin \left( -\left( t+\tfrac{1}{2}\pi  \right) \right) \\ \end{aligned} \right.$In 6 seconden doorloopt het punt de cirkel één keer, dus de periode is 6:$\left\{ \begin{aligned} & x\left( t \right)=3+2\cos \left( -\left( \tfrac{2\pi }{6}t+\tfrac{1}{2}\pi  \right) \right) \\  & y\left( t \right)=-2+2\sin \left( -\left( \tfrac{2\pi }{6}t+\tfrac{1}{2}\pi  \right) \right) \\ \end{aligned} \right.$Dit is te herleiden tot $\left\{ \begin{aligned} & x\left( t \right)=3+2\cos \left( -\tfrac{1}{3}\pi t-\tfrac{1}{2}\pi  \right) \\ & y\left( t \right)=-2+2\sin \left( -\tfrac{1}{3}\pi t-\tfrac{1}{2}\pi  \right) \\ \end{aligned} \right.$. We moeten eerst bepalen op welk tijdstip punt $P$ het punt $A$ passeert.Voor het vinden van dit tijdstip lossen we de vergelijkingen $y\left( t \right)=0$ op, want punt $A$ bevindt zich op de $x$-as.$y\left( t \right)=0$ geeft ${{t}^{2}}-4=0$${{t}^{2}}-4=0$${{t}^{2}}=4$$t=2\ \vee \ t=-2$Om te bepalen welk tijdstip bij $A$ hoort, berekenen we de $x$-coördinaten.Invullen in $x\left( t \right)$ voor de $x$-coördinaten geeft:$x\left( -2 \right)=-2$ en $x\left( 2 \right)=2$$t=-2$ hoort bij $A$, want ${{x}_{A}}<{{x}_{B}}$.  Baansnelheid:De snelheidsvector is $\vec{v}(t) =\binom{x'(t)}{y'(t)}=\binom{3t^2 - 3}{2t}$Als $t=-2$, dan is de snelheidsvector van $P$  $\vec{v}(-2) = \binom{3(-2)^2 - 3}{2 \cdot (-2)} = \binom{3 \cdot 4 - 3}{-4} = \binom{12 - 3}{-4} = \binom{9}{-4}$De snelheid is dan  $v\left( -2 \right)=\left| \vec{v}\left( -2 \right) \right|=\left| \binom{9}{-4} \right|=\sqrt{{{9}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}}=\sqrt{81+16}=\sqrt{97}$  Baanversnelling:De versnellingsvector is $\vec{a}(t) = \vec{v}'(t) = \binom{x''(t)}{y''(t)} = \binom{6t}{2}$ Als $t=-2$, dan is de versnellingsvector van $P$  $\vec{a}(-2) = \binom{6 \cdot -2}{2} = \binom{-12}{2}$De baanversnelling berekenen we met ${{a}_{b}}\left( t \right)=v'\left( t \right)=\frac{\vec{v}\left( t \right)\cdot \vec{a}\left( t \right)}{v\left( t \right)}$ $\vec{v}(-2) = \binom{9}{-4}$, $\vec{a}(-2) = \binom{-12}{2}$ en $v\left( -2 \right)=\sqrt{97}$ geeft:$a_b(-2) = \frac{\binom{9}{-4} \cdot \binom{-12}{2}}{\sqrt{97}}$ $= \frac{9 \cdot (-12) + (-4) \cdot 2}{\sqrt{97}}$ $= \frac{-108 - 8}{\sqrt{97}}$ $= \frac{-116}{\sqrt{97}}$Voor de baansnelheid geldt: $v(t) = \left| \vec{v}(t) \right| $ $= \left| \binom{3t^2 - 3}{2t} \right|$ $= \sqrt{(3t^2 - 3)^2 + (2t)^2}$De snelheid is $2$, dus $\sqrt{{{\left( 3{{t}^{2}}-3 \right)}^{2}}+{{\left( 2t \right)}^{2}}}=2$Oplossen voor $t$ geeft:$\sqrt{{{\left( 3{{t}^{2}}-3 \right)}^{2}}+{{\left( 2t \right)}^{2}}}=2$${{\left( 3{{t}^{2}}-3 \right)}^{2}}+{{\left( 2t \right)}^{2}}=4$$9{{t}^{4}}-18{{t}^{2}}+9+4{{t}^{2}}=4$$9{{t}^{4}}-14{{t}^{2}}+5=0$Stel $u={{t}^{2}}$$9{{u}^{2}}-14u+5=0$$D={{\left( -14 \right)}^{2}}-4\cdot 9\cdot 5=16$$u=\frac{14-4}{18}\ \vee \ u=\frac{14+4}{18}$$u=\frac{10}{18}=\frac{5}{9}\ \vee \ u=\frac{18}{18}=1$${{t}^{2}}=\frac{5}{9}\ \vee \ {{t}^{2}}=1$$t=\sqrt{\frac{5}{9}}\ \vee \ t=-\sqrt{\frac{5}{9}}\ \vee \ t=1\ \vee \ t=-1$We gaan de GR gebruiken.Invoer: ${{Y}_{1}}=\sqrt{{{\left( 3{{X}^{2}}-3 \right)}^{2}}+{{\left( 2X \right)}^{2}}}$Optie: Minimum geeft $X=-0,8819...$ en $X=0,8819...$ en $Y=1,8856...$De minimale baansnelheid is $1,886$ voor $t\approx -0,88$ en $t\approx 0,88$ De richtingscoëfficiënt van de raaklijn berekenen we met $rc=\frac{{y}'\left( t \right)}{{x}'\left( t \right)}$ .${x}'\left( t \right)=2t$ en ${y}'\left( t \right)=3{{t}^{2}}-9$$rc=\frac{{y}'\left( 1 \right)}{{x}'\left( 1 \right)}=\frac{-6}{2}=-3$We hebben nu voor de raaklijn $y=-2\tfrac{1}{2}x+b$.Nu hebben we een punt op de raaklijn nodig.$t=1$ geeft $x\left( 1 \right)=-3$ en $y\left( 1 \right)=-8$, dus een punt op de raaklijn (en op de kromme) is $\left( -3,-8 \right)$. $\left( -3,-8 \right)$ substitueren in $y=-3x+b$ geeft:$-8=-3\cdot -3+b$$-7=9+b$$b=-16$Een vergelijking van de raaklijn is $y=-3x-16$.Een raaklijn is horizontaal als ${y}'\left( t \right)=0$ en ${x}'\left( t \right)\ne 0$.${y}'\left( t \right)=0$ geeft: $3{{t}^{2}}-9=0$ $3{{t}^{2}}=9$ ${{t}^{2}}=3$ $t=-\sqrt{3}\ \vee \ t=\sqrt{3}$Voor beide $t$-waarden geldt ${x}'\left( t \right)\ne 0$. Een raaklijn is verticaal als ${x}'\left( t \right)=0$ en ${y}'\left( t \right)\ne 0$.${x}'\left( t \right)=0$ geeft: $2t=0$ $t=0$Voor $t=0$ geldt ${y}'\left( t \right)\ne 0$. We zoeken de coördinaten van het punt, dus $t=0$ invullen de bewegingsvergelijkingen geeft:$x\left( 0 \right)=-4$ en $y\left( 0 \right)=0$.De coördinaten zijn $\left( -4,0 \right)$. $R=4$ en $r=1$ geeft $\left\{ \begin{aligned} & x\left( t \right)=5\cos \left( t \right)-\cos \left( 5t \right) \\ & y\left( t \right)=5\sin \left( t \right)-\sin \left( 5t \right) \\  \end{aligned} \right.$We zoeken de keerpunten, dus ${x}'\left( t \right)=0\,\,\,\wedge \,\,\,{y}'\left( t \right)=0$${x}'\left( t \right)=-5\sin \left( t \right)+5\sin \left( 5t \right)$${y}'\left( t \right)=5\cos \left( t \right)-5\cos \left( 5t \right)$${x}'\left( t \right)=0$ geeft:$-5\sin \left( t \right)+5\sin \left( 5t \right)=0$$-5\sin \left( t \right)=-5\sin \left( 5t \right)$$\sin \left( t \right)=\sin \left( 5t \right)$$t=5t+k\cdot 2\pi \,\,\,\vee \,\,\,t=\pi -5t+k\cdot 2\pi $$-4t=0+k\cdot 2\pi \,\,\,\vee \,\,\,6t=\pi +k\cdot 2\pi $$t=0+k\cdot \tfrac{1}{2}\pi \,\,\,\vee \,\,\,t=\tfrac{1}{6}\pi +k\cdot \tfrac{1}{3}\pi $Op het interval $0\le t\le 2\pi $ geeft dit:$t=0,\,\,t=\tfrac{1}{6}\pi ,\,\,t=\tfrac{1}{2}\pi ,\,\,t=\tfrac{5}{6}\pi ,\,\,t=\pi ,\,\,t=\tfrac{7}{6}\pi ,\,\,t=\tfrac{3}{2}\pi ,\,\,t=\tfrac{11}{6}\pi ,\,\,t=2\pi $${y}'\left( t \right)=0$ geeft:$5\cos \left( t \right)-5\cos \left( 5t \right)=0$$5\cos \left( t \right)=5\cos \left( 5t \right)$$\cos \left( t \right)=\cos \left( 5t \right)$$t=5t+k\cdot 2\pi \,\,\,\vee \,\,\,t=-5t+k\cdot 2\pi $$-4t=0+k\cdot 2\pi \,\,\,\vee \,\,\,6t=0+k\cdot 2\pi $$t=0+k\cdot \tfrac{1}{2}\pi \,\,\,\vee \,\,\,t=0+k\cdot \tfrac{1}{3}\pi $Op het interval $0\le t\le 2\pi $ geeft dit:$t=0,\,\,t=\tfrac{1}{3}\pi ,\,\,t=\tfrac{1}{2}\pi ,\,\,t=\tfrac{2}{3}\pi ,\,\,t=\pi ,\,\,t=\tfrac{4}{3}\pi ,\,\,t=\tfrac{3}{2}\pi ,\,\,t=\tfrac{5}{3}\pi ,\,\,t=2\pi $${x}'\left( t \right)=0\,\,\,\wedge \,\,\,{y}'\left( t \right)=0$ als: $t=0,\,\,t=\tfrac{1}{2}\pi ,\,\,t=\pi ,\,\,t=\tfrac{3}{2},\,\,t=2\pi $$\left\{ \begin{aligned} & x\left( 0 \right)=4 \\ & y\left( 0 \right)=0 \\ \end{aligned} \right.\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\left( 4,0 \right)$$\left\{ \begin{aligned} & x\left( \tfrac{1}{2}\pi  \right)=0 \\  & y\left( \tfrac{1}{2}\pi \right)=4 \\ \end{aligned} \right.\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\left( 0,4 \right)$$\left\{ \begin{aligned} & x\left( \pi  \right)=-4 \\ & y\left( \pi  \right)=0 \\ \end{aligned} \right.\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\left( -4,0 \right)$$\left\{ \begin{aligned} & x\left( \tfrac{3}{2}\pi  \right)=0 \\ & y\left( \tfrac{3}{2}\pi  \right)=-4 \\ \end{aligned} \right.\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\left( 0,-4 \right)$$\left\{ \begin{aligned} & x\left( 2\pi  \right)=4 \\  & y\left( 2\pi  \right)=0 \\ \end{aligned} \right.\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\left( 4,0 \right)$$t=0$ en $t=2\pi $ geeft hetzelfde punt (namelijk $\left( 4,0 \right)$, dus er zijn vier keerpunten.De vier scherpe punten (cuspen) zijn de vier keerpunten.