Getal en Ruimte 12e ed - Hoofdstuk 2 - Vlakke meetkunde oefentoetsen & antwoorden

a) Oppervlakte driehoek = $\frac{1}{2}$ x zijde x bijbehorende hoogte. b) Lijn $l$, want loopt door het midden van lijnstuk $AB$ en staat loodrecht op lijnstuk $AB$. c) De 3 bissectrices van de hoeken in de driehoek. d) Oppervlakte cirkel = $\pi \cdot straal^2 $ . e) Oppervlakte parallellogram = zijde x bijbehorende hoogte. f) Oppervlakte trapezium = $\frac{1}{2}(a+b) \cdot h$ of Oppervlakte trapezium = $\frac{1}{2}$ x som van de evenwijdige zijden x hoogte. Hier wordt gevraagd om de cirkel te tekenen met middelpunt $A$ en straal 5 (cm): Eis 1: de middelloodlijn is een loodlijn op lijnstuk $AB$. Eis 2: de middelloodlijn snijdt lijnstuk $AB$ in het midden.   De drie hoeken van een driehoek liggen op de omgeschreven cirkel: de rest van de driehoek ligt binnen de omgeschreven cirkel. De ingeschreven cirkel raakt de drie zijden en ligt verder helemaal binnen de driehoek.   De verhouding tussen de diameter en de omtrek van een cirkel is $1 : \pi$, of De verhouding tussen de diameter en de omtrek van een cirkel is $1 : 3,1415...$.   Als je de parallellogram met behulp van een diagonaal door midden deelt, ontstaan er twee dezelfde driehoeken. De oppervlakte van zo’n driehoek is $\frac{1}{2}$ x zijde x bijbehorende hoogte. De oppervlakte van de parallellogram is tweemaal zo groot en dus gelijk aan zijde x bijbehorende hoogte. Zie de afbeelding. De punten die precies op afstand $2$ van de $y$-as liggen zijn hierin getekend als verticale stippellijnen. De punten uit vraag b) zijn dik en rood getekend. a) De punten die even ver van $P$ als van $Q$ liggen vormen de middelloodlijn van lijnstuk $PQ$:b) Zie uitwerking vraag c) hieronder.c) In de afbeelding zie je nog een tweede middelloodlijn (op lijnstuk $PR$). Het punt waar de twee middelloodlijnen elkaar snijden, is het middelpunt van de omgeschreven cirkel. Zet je passerpunt daar vast en zet het potlood van de passer in punt $Q$ : de cirkel die je dan tekent, is de omgeschreven cirkel. c) In de afbeelding zie je nog een bissectrice getekend, dat is de bissectrice van $\angle P$. Het punt waar de twee bissectrices elkaar snijden, is het middelpunt van de ingeschreven cirkel. Teken een lijnstuk loodrecht op de $x$-as en noem het snijpunt met de $x$-as $K$. Zet nu je passerpunt vast in het middelpunt en zet het potlood van de passer in punt $K$ : de cirkel die je dan tekent, is de ingeschreven cirkel. a) De omtrek is $1,82$ meter, dat is $182$ centimeter; De formule is: omtrek cirkel $= \pi \cdot$ diameter; Daarom geldt $182 = \pi \cdot$ diameter; Aan beide zijden van de $=$ deel je nu door $\pi$ dus $\frac{182}{\pi} =$ diameter; De diameter is $58$ centimeter. b) De formule is: oppervlakte cirkel $= \pi \cdot straal ^2$; De straal is de helft van de diameter:  $58:2=29$ centimeter; Oppervlakte cirkel is dus $\pi \cdot 292=2642 \, cm^2 =26 \, dm^2$. Tip: Let op dat je in deze laatste stap nog omrekent van $cm^2$ naar $dm^2$! a) Links in de figuur zie je een parallellogram met zijde $4 + 2 = 6$ en bijbehorende hoogte $2$ ; De formule is: oppervlakte parallellogram = zijde x bijbehorende hoogte ; Dus oppervlakte parallellogram = $6 x 2 = 12$ . b) Rechts in de figuur zie je een trapezium met evenwijdige zijden van $6$ en van $6 - 2 - 1 = 3$ lang; De hoogte is $2$; De formule is: oppervlakte trapezium = $\frac{1}{2}$ x som van de evenwijdige zijden x hoogte; Dus oppervlakte trapezium = $\frac{1}{2} x (6 + 3) x 2 = 9$. c) Je kunt dit op drie manieren berekenen. Manier 1: Als je van de parallellogram uit vraag a) het driehoekje met zijde $2$ en hoogte $2$ afhaalt, houd je van de oppervlakte van de parallellogram $12 - \frac{1}{2} x 2 x 2 = 10$ over; De rest van de figuur bestaat dan nog uit een rechthoek van lengte $6$ en hoogte $2$. De totale oppervlakte is daarom $10 + 6 x 2 = 22$. Manier 2: De figuur past in een rechthoek van lengte $6 + 6 = 12$ en breedte $2$. Deze rechthoek heeft oppervlakte $12 x 2 = 24$. Maar nu zit er een driehoek te veel in: deze zit links boven en heeft zijde $2$ en hoogte $2$. De oppervlakte van de getekende figuur is daarom $24 - \frac{1}{2} x 2 x 2 = 22$. Manier 3 (alleen vwo): De figuur bestaat uit de parallellogram van vraag a) plus het trapezium van vraag b) plus een driehoekje met zijde $1$ en hoogte $2$ . De totale oppervlakte is: $12 + 9 + \frac{1}{2} x 1 x 2 = 22$ .