Moderne Wiskunde 12e ed deel B - Hoofdstuk 11B - Vergelijkingen en ongelijkheden oefentoetsen & antwoorden

a) $D=b^2-4ac$, bij een kwadratische vergelijking van de vorm $ax^2+bx+c=0$. b)  1. Isoleer de breuk (= zorg dat die alleen komt te staan) 2. Gebruik bordjes OF vermenigvuldig beide kanten met de noemer van de breuk. 3. Los op (en geef antwoord op de vraag).  c) Door ze gelijk te stellen en de vergelijking te herleiden op nul. Als de discriminant $D=0$ dan raken ze elkaar. d)   Dan zijn er twee oplossingen $x=-\sqrt[n]{c} \vee x=\sqrt[n]{c}$. a)  Ongelijkheidsnotatie: $-2 \leq x \leq 1$ Intervalnotatie:$[-2,1] $  b)  Ongelijkheidsnotatie: $x<-2$ of $x >2$ Intervalnotatie: $\langle \leftarrow ; -2 \rangle  \bigcup \langle 2; \rightarrow \rangle$ c)  Ongelijkheidsnotatie: $x \leq 1$ Intervalnotatie: $\langle \leftarrow ; 1 ]$ d)  Ongelijkheidsnotatie: $x <-2$ of $x>2$ Intervalnotatie: $\langle \leftarrow ; -2 \rangle  \bigcup \langle 2; \rightarrow \rangle$ a) De vergelijking x4=56x^4=56x4=56 heeft twee oplossingen.De positieve oplossing is x=564≈2,74x=\sqrt[4]{56}\approx2,74x=456​≈2,74.De negatieve oplossing is x=−564≈−2,74x=-\sqrt[4]{56}\approx-2,74x=−456​≈−2,74.b) De vergelijking x5=−10x^5=-10x5=−10 heeft één oplossing.De oplossing is x=−105≈−1.58x=\sqrt[5]{-10}\approx-1.58x=5−10​≈−1.58. a)  Voor 2017: vul in t=0. Dat geeft: $N= 425$. Voor 2021: vul in t=5. Dat geeft: $N= 78$.  b)  N = 275, dus je krijgt de vergelijking: $ \frac{450}{1+8 \cdot 0,5^{0,25t}}-25 = 275$. We bekijken het eerst als vergelijking met een breuk. Isoleer dus eerst de breuk: $ \frac{450}{1+8 \cdot 0,5^{0,25t}} = 300$ We kunnen bordjes gebruiken, want de variabele staat alleen in de noemer. Dus: $1+8 \cdot 0,5^{0,25t}=1,5$ (want bordje op de plek van de noemer, en de noemer moet gelijk zijn aan $\frac{450}{300}=1,5$ Nu hebben we een exponentiële vergelijking. Isoleer eerst de macht: $8 \cdot 0,5^{0,25t}=0,5$ $0,5^{0,25t}=\frac{0,5}{8}=\frac{1}{16}$ Zorg aan beide kanten voor een macht met hetzelfde grondtal: $0,5^{0,25t}=0,5^4$ Dan is $0,25t=4$, dus $t=16$ Conclusie: in 2032.   a)  $5 \cdot 2^{3x}-7=33$ Isoleer de macht: $5 \cdot 2^{3x}=40$ $2^{3x}=8$ Schrijf ook de rechterkant als macht van 2: $2^{3x}=2^3$ Exponenten zijn gelijk, dus dat geeft $3x=3$. Dus $x=1$. b) $3^{2-x}+38=281$ Isoleer de macht: $3^{2-x}=243$ Beide kanten als macht van 3: $3^{2-x}=3^5$ Dus $2-x=5$ $-x=3$ $x=-3$ c)   $5+3\sqrt{4-2x}=41$ Isoleer eerst de wortel: $3\sqrt{4-2x}=36$ $\sqrt{4-2x}=12$ Bordje leggen geeft: $\sqrt{144}=12$, dus $4-2x=144$ $-2x=140$, dus $x=-70$ d) $\frac{18}{\sqrt{x-3}}=12$ Bordje op de plek van de wortel: $\frac{18}{1\frac{1}{2}}=12$, dus $\sqrt{x-3}=1\frac{1}{2}$ Opnieuw een bordje: $\sqrt{2\frac{1}{4}}=1\frac{1}{2}$ (want bedenk: $1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$, en $(\frac{3}{2})^2)=\frac{9}{4}=2\frac{1}{4}$ Dat geeft: $x-3=2\frac{1}{4}$, dus $x=5\frac{1}{4}$. a) We moeten een ongelijkheid oplossen: $f_5 < k$, oftewel $x^2+5x+7 < 3$ Hierbij hoort de vergelijking: $x^2+5x+7 = 3$ Oplossen geeft:  $x^2+5x+4 = 0$ $(x+1)(x+4)=0$ (of via de ABC-formule) $x=-1 \vee x=-4$ Snijpunten zijn (-1,3) en (-4,3) Vanuit de schets zien we dat $f_5$ onder $k$ ligt tussen $x=-1$ en $x=-4$. Conclusie: $\langle -4, -1 \rangle$. b) Raken betekent: de discriminant $D=0$. Stel $f_p$ en $k$ gelijk: $x^2+px+7=3$ Herleid tot =0: $x^2+px+4=0$ Discriminant is: $D = b^2-4ac = p^2-4\cdot 1 \cdot 4 = p^2-16$ Discriminant gelijk stellen aan 0: $p^2-16=0$ $p^2=16$ $p=4 \vee p=-4$ Conclusie: de grafiek en de lijn raken elkaar voor $p=4 \vee p=-4$. Zie eventueel de onderstaande grafiek van deze situatie. c)  Dan moet dus de grafiek boven de lijn liggen (zodat er geen snijpunten zijn).  Je ziet aan de schets bij de opgave dat de grafiek van $f_1$ boven die van $f_6$ ligt, dus het geldt sowieso voor waarden van $p<4$.  Als we p steeds kleiner maken komen we echter uit bij $p=-4$; voor $p \leq -4$ komt de grafiek op of onder de lijn te liggen en zijn er snijpunten. Conclusie: voor $-4 < p < 4$, ofwel $\langle -4, 4 \rangle$. a)  Stel de vergelijking op:  2x2+20=14x2x^2+20 = 14x2x2+20=14x  Los op:  2x2−14x+20=02x^2-14x+20 = 02x2−14x+20=0 Deel beide kanten door 2 (of gebruik direct de ABC-formule): x2−7x+10=0x^2-7x+10=0x2−7x+10=0 Dubbele haakjes: (x−2)(x−5)=0(x-2)(x-5)=0(x−2)(x−5)=0 Dus x=2∨x=5x=2 \vee x=5x=2∨x=5 Coördinaten (vind je het makkelijkst door in te vullen bij de rechter functie, 7x7x7x): (2,14) en (5,35) Schets: een dalparabool en een stijgende lijn: Oplossing: 2<x<52 < x < 52<x<5 b)  Stel de vergelijking op: (x−2)2=9(x-2)^2 =9(x−2)2=9 Los op: x−2=−3∨x−2=3x-2 = -3 \vee x-2 = 3x−2=−3∨x−2=3 (Let op de negatieve oplossing!) x=−1∨x=5x=-1 \vee x=5x=−1∨x=5 Schets: een dalparabool en een rechte lijn: Oplossing: x≤−1x \leq -1x≤−1 of x≥5x \geq 5x≥5 c)  Stel de vergelijking op: −x2=2x+1-x^2 = 2x+1−x2=2x+1 Los op: −x2−2x−1=0-x^2-2x-1=0−x2−2x−1=0 x2+2x+1=0x^2+2x+1=0x2+2x+1=0 (x+1)(x+1)=0(x+1)(x+1)=0(x+1)(x+1)=0 (of gebruik de ABC-formule) x=−1x=-1x=−1 (dus er is maar één oplossing) Schets: een bergparabool en een stijgende lijn: Oplossing: x<−1x<-1x<−1 of x>−1x>-1x>−1 (Let op: hier telt het raakpunt op x=−1x=-1x=−1 niet mee in het interval, want daar is de parabool niet kleiner dan de lijn maar eraan gelijk). a)2x5+8=722x^5+8=722x5+8=722x5=642x^5=642x5=64x5=32x^5=32x5=32x=325=2x=\sqrt[5]{32}=2x=532​=2b) 300+x4=15300+x^4=15300+x4=15Eerst de getallen naar één kant:x4=−275x^4=-275x4=−275Deze vergelijking heeft geen oplossing (want een even macht kan niet negatief worden)c)(x−5)4−81=0(x-5)^4-81=0(x−5)4−81=0Isoleer de macht:(x−5)4=81(x-5)^4=81(x−5)4=81Gebruik hier bordjes om het getal tussen haakjes te vinden:(x−5)=814∨(x−5)=−814(x-5)=\sqrt[4]{81} \vee (x-5)=-\sqrt[4]{81}(x−5)=481​∨(x−5)=−481​Dat geeft:x−5=3∨x−5=−3x-5=3 \vee x-5 = -3x−5=3∨x−5=−3x=8∨x=2x=8 \vee x=2x=8∨x=2d)8x2−2=08x^2-2=08x2−2=0Isoleer de macht:8x2=28x^2=28x2=2x2=14x^2=\frac{1}{4}x2=41​x=14∨ x=−14x=\sqrt{\frac{1}{4}} \vee  x=-\sqrt{\frac{1}{4}}x=41​​∨ x=−41​​x=12∨x=−12x=\frac{1}{2} \vee x=-\frac{1}{2}x=21​∨x=−21​