Getal en Ruimte 12e ed - Hoofdstuk 5 - De stelling van Pythagoras oefentoetsen & antwoorden

a) Dat het een rechthoekige driehoek is. b) Als $a^2+b^2=c^2$, dan is hoek $C$ recht. c) Zes. d) De oppervlakte van de driehoek e) In een cirkel met middellijn $AB$ en een punt $C$ op de cirkel geldt dat $\triangle ABC$ rechthoekig is met $\angle C = 90^\circ$. In de eerste figuur geldt: De zijde met lengte 13 is de schuine zijde De stelling van Pythagoras luidt hier: $12^2 + (andere \, rechthoekszijde)^2 = 13^2$ Dus is de onbekende zijde: $\sqrt{13^2-12^2} = 5$ In de tweede figuur krijg je: $9^2 + 10^2 = (schuine \, zijde)^2$ $\sqrt{8^2+10^2} \approx 12,806$.   Tip: om te herkennen welke zijde links staat in de stelling van Pythagoras, $(ene \, rechthoekszijde)^2 + (andere \, rechthoekszijde)^2 = (schuine \, zijde)^2$, bedenk dat de schuine zijde de langste is.  We gebruiken eerst de stelling van Thales: bij alle punten op de cirkelbogen is de hoek een rechte hoek. Daardoor is de stelling van Pythagoras bruikbaar om de rode zijden te berekenen: $AC = \sqrt{4, 139^2+1,693^2} \approx 4, 471864$ $AB = \sqrt{4,569^2+9, 454^2} \approx 10, 500185$ $BC = \sqrt{6,305^2+ 6,964^2} \approx 9, 394164$ Volgens de omgekeerde stelling van Pythagoras is hoek $C$ recht als $AC^2+BC^2=AB^2$. We hebben $AC^2+BC^2 \approx 108, 24788$ en $AB^2 \approx 110, 63884$. Dus de omgekeerde stelling van Pythagoras gaat niet op, en dus is hoek $C$ geen rechte hoek. Zie de figuur. Als je $r$ de straal van de cirkel neemt, dan is $x=r-30$. Je krijgt dus een rechthoekige driehoek met Pythagoras: $r^2 = (r-30)^2+40^2$. Dit geeft $r^2=r^2-60r+900+1600$. Dus $60r = 900 + 1600 = 2500$. Dus $r = 2500/60 = 41\tfrac{2}{3}$. Dus de diameter van de buis is twee keer zoveel, oftewel $83\tfrac{1}{3}$. Bedenk eerst $BC = \sqrt{4^2+3^2}=5$. Uit de bach-stelling volgt $AS = 4\times 3 / 5 = 2, 4$. Uit Pythagoras in $\triangle ASC$ volgt $CS = \sqrt{3^2-2,4^2} = 1,8$. Uit (bijvoorbeeld) de hpq-stelling volgt $SD = CS^2/AS = 3,24 / 2,4 = 1,35$ Tenslotte Pythagoras in $\triangle CDS$: $CD = \sqrt{1, 35^2+1, 8^2} = 2,25$. Zie de onderstaande afbeeldingen. We geven hieronder in het blauw een voorbeeld van een mogelijk antwoord. Je mag jouw doorsnede op een andere plek hebben getekend, maar let goed op dat alle lijnen van jouw doorsnedes evenwijdig lopen aan de vlakken QRS. Tip: als je de lengte van een lichaamsdiagonaal moet berekenen, gebruik dan de uitgebreide stelling van Pythagoras, want dat is de snelste manier. a) $AG$ is een lichaamsdiagonaal van een balk die lengte $8$,  breedte $14$ en hoogte $20$ heeft.  Daarom geldt de uitgebreide stelling van Pythagoras: $AG^2 = 8^ + 14^2 + 20^2 = 64 + 196 + 400 = 660$ $AG = \sqrt{660} = 25,6904… = 25,69$ b) $EI$ is de lichaamsdiagonaal van een kleinere balk met lengte $8$, breedte $7$ (de helft van $14$) en hoogte $20$ : Ook nu geldt daarom de uitgebreide stelling van Pythagoras: $EI^2 = 8^ + 7^2 + 20^2 = 64 + 49 + 400 = 513$ $EI = \sqrt{513} = 22,6495… = 22,65$.